拓端tecdat：Python金融時間序列模型ARIMA 和GARCH 在股票市場預測應用

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這篇文章討論了自回歸綜合移動平均模型 (ARIMA) 和自回歸條件異方差模型 (GARCH) 及其在股票市場預測中的應用。

介紹

一個 ARMA (AutoRegressive-Moving Average) 有兩部分，AR(p)部分和MA(q)部分，表示如下

其中 L 是滯后算子，ϵi 是白噪聲。它可以通過 Box-Jenkins method. 我們可能會使用 PACF 繪制識別 AR 滯后階數 p，和 ACF 圖以識別 MA 滯后階數 q；或使用信息，例如 AIC 和 BIC 做模型選擇。

ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) 是 ARMA 的拓展，通過為非平穩過程添加階數為 d 的積分部分。

ARIMA是針對價格水平或收益率的，而GARCH（廣義自回歸條件異方差）則試圖對波動率或收益率平方的聚類進行建模。它將ARMA項擴展到方差方面。
 

作為隨機波動率模型的離散版本，GARCH也能捕捉到股票市場的厚尾效應。因此，將ARIMA和GARCH結合起來，預計在模擬股票價格時比單獨一個模型更適合。在這篇文章中，我們將把它們應用於標普500指數的價格。

ARIMA

首先，眾所周知，股票價格不是平穩的；而收益可能是平穩的。ADF單位根檢驗結果。

1.  
   # 價格是已知的非平穩的；收益是平穩的
2.  
   import adfuller
3.  
    
4.  
   rsut = aduler(close)
5.  
   prnt(f'ADF Satitic: {reslt[]}, pale: {rslt1]}') # null 假設：單位根存在；不能拒絕 null。
6.  
    
7.  
   relt = adfler(histet)
8.  
   prnt(f'ADF Statistic: {reut[0]}, pvaue: {rslt[1]}') # 拒絕單位根的空假設 ==> 平穩

收益序列的 ADF p 值為 0，拒絕單位根的原假設。因此，我們在 ARIMA(p, d, q) 中接受 d=1，下一步是識別滯后 p 和 q。ACF 和 PACF 圖表明滯后最多 35 個工作日。如果我們按照圖表進行擬合，將有太多參數無法擬合。一種解決方案是使用每周或每月圖表。在這里，我們將最大滯后時間限制為 5 天，並使用 AIC 選擇最佳模型。

1.  
   for p in rage(6):
2.  
   for q in rage(6):
3.  
   ry:
4.  
   mft = fit(disp=0)
5.  
   ic[(p, q)] = fiaic
6.  
   except:
7.  
   pass

下一步是擬合模型並通過殘差統計評估模型擬合。殘差仍然顯示出一些自相關，並且沒有通過正態性檢驗。由於滯后階數限制，這在某種程度上是預料之中的。

盡管如此，讓我們繼續最后一步並使用模型進行預測。下面比較了對測試集的收益率預測和實際收益率。

收益率預測以 0% 為中心，置信區間在 ±2% 之間。結果並不是特別令人印象深刻。畢竟，市場正在經歷一個動盪的階段，在預測時間窗口內甚至下跌了 6%。

GARCH

讓我們看看加入GARCH效果是否會產生更好的結果。建模過程類似於ARIMA：首先識別滯后階數；然后擬合模型並評估殘差，最后如果模型令人滿意，就用它來預測。

我們將 AR 滯后和 GARCH 滯后都限制為小於 5。結果最優階為 (4,2,2)。

1.  
    
2.  
   for l in rage(5):
3.  
   for p in rage(1, 5):
4.  
   for q in rage(1, 5):
5.  
   try:
6.  
   mdl = arch(is_et, man='ARX', vol='Garch', p=p, o=0, q=q, dist='Nomal')
7.  
   fit(last_obs=spldat)
8.  
   dc_ic[(l, p, q)] =aic
9.  
   except:
10.  
    pass

接下來讓我們根據選擇的最佳參數來擬合模型，如下所示。證實了均值模型是AR(4)，方差模型是GARCH(2, 2)。一些系數在統計上不顯着。

最后但並非最不重要的是，預測區間從±4%下降到±3%，然后又反彈到±5%，這清楚地表明了模型的波動性集群。請注意，這里是單步滾動預測，應該比靜態的多期預測要好。
 

趨勢平穩和差分平穩

趨勢平穩，即確定性趨勢，具有確定性均值趨勢。相反，差分平穩具有隨機趨勢。前者可以用OLS估計，后者需要先求差分。

考慮一個簡單的過程

如果 φ<1，則過程是趨勢平穩的；也就是說，如果我們減去趨勢 at，則過程變得平穩。若φ=1，則差分平穩。將第二個方程代入第一個方程很容易看出隨機性，並將方程改寫為

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