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原文出處：拓端數據部落公眾號
本文提供了一個在統計模型中使用馬可夫轉換模型模型的例子，來復現Kim和Nelson（1999）中提出的一些結果。它應用了Hamilton（1989）的濾波器和Kim（1994）的平滑器。
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%matplotlib inline
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import numpy as np
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import pandas as pd
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import statsmodels.api as sm
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from pandas_datareader.data import DataReader
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from datetime import datetime
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DataReader(start=datetime(1947, 1, 1), end=datetime(2013, 4, 1))
Hamilton (1989) 馬爾可夫轉換模型（Markov -switching model）
這是對Hamilton(1989)介紹馬可夫轉換模型（Markov -switching model）的開創性論文的復現。該模型是一個4階的自回歸模型，其中過程的平均值在兩個區制之間切換。可以這樣寫。
每個時期，區制都根據以下的轉移概率矩陣進行轉換。
其中 pij是從區制 i 轉移到區制 j 的概率。
該模型類別是時間序列部分中的MarkovAutoregression。為了創建這個模型，我們必須指定k_regimes=2的區制數量，以及order=4的自回歸階數。默認模型還包括轉換自回歸系數，所以在這里我們還需要指定switch_ar=False。
創建后，模型通過極大似然估計進行擬合。使用期望最大化（EM）算法的若干步驟找到好的起始參數，並應用准牛頓（BFGS）算法來快速找到最大值。
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[2]:
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#獲取數據
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hamilton= pd.read('gndata').iloc[1:]
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# 繪制數據
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hamilton.plot()
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# 擬合模型
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Markovreg(hamilton)
summary()
我們繪制了經過過濾和平滑處理的衰退概率。濾波指的是基於截至並包括時間tt（但不包括時間t+1,...,Tt+1,...,T）的數據對時間t的概率估計。平滑化是指使用樣本中的所有數據對時間t的概率進行估計。
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fig, axes = plt.subplots(2, figsize=(7,7))
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ax = axes[0]
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ax.plot(margl_prob[0])
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ax = axes[1]
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ax.plot(smoomarginal_pro[0])
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根據估計的轉移矩陣，我們可以計算出衰退與擴張的預期持續時間。
print(expected_du)
在這種情況下，預計經濟衰退將持續約一年（4個季度），擴張約兩年半。
Kim, Nelson, and Startz (1998) 三狀態方差轉換模型。
這個模型展示了帶有區制異方差（方差轉換）和無平均效應的估計。
模型是:
由於沒有自回歸成分，這個模型可以用MarkovRegression類來擬合。由於沒有平均效應，我們指定趨勢='nc'。假設轉換方差有三個區制，所以我們指定k_regimes=3和switching_variance=True（默認情況下，方差被假定為在不同區制下是相同的）。
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raw = pd.read_table(ew ,engine='python')
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# 繪制數據集
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plot( figsize=(12, 3))
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res_kns.summary() 
下面我們繪制了處於每個區制中的概率；只有在少數時期，才有可能出現高方差區制。
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fig, axes = plt.subplots(3, figsize=(10,7))
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ax.plot(smoothed_proba[0])
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ax.plot(smoothed_proba[2])
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ax.plot(smoothed_proba[3])
Filardo (1994) 時變的轉移概率
這個模型展示了用時變的轉移概率進行估計。
在上述模型中，我們假設轉移概率在不同時期是不變的。在這里，我們允許概率隨着經濟狀況的變化而變化。否則，該模型就是Hamilton（1989）的馬爾可夫自回歸。
每個時期，區制現在都根據以下的時變轉移概率矩陣進行轉移。
其中 pij,tipij,t 是在 t 期間從區制 i 轉移到區制 j 的概率，並定義為。
與其將轉移概率作為最大似然法的一部分進行估計，不如估計回歸系數βij。這些系數將轉移概率與預先確定的或外生的變量xt-1向量聯系起來。
[9]:
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# 用標准差進行標准化
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data['p']['1960-01-01':].std() / data['dlip'][:'1959-12-01'].std()
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# 繪制數據
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data['dlip'].plot( )
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data['dmdlleading'].plot( figsize=(13,3));
時變的轉移概率是由exog_tvtp參數指定的。
這里我們展示了模型擬合的另一個特點--使用隨機搜索的MLE起始參數。因為馬爾科夫轉換模型的特征往往是似然函數的許多局部最大值，執行初始優化步驟有助於找到最佳參數。
下面，我們規定對起始參數向量的20個隨機擾動進行檢查，並將最好的一個作為實際的起始參數。由於搜索的隨機性，我們事先設置了隨機數種子，以便結果復制。
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markovreg(data, k=2, order=4)
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fit(search=20)
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summary()
下面我們繪制了經濟運行在低生產狀態下的平滑概率，並再次將NBER的衰退情況納入其中進行比較。
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ax.plot(smoo_marg_prob[0])
利用時間變化的轉移概率，我們可以看到低生產狀態的預期持續時間如何隨時間變化。
exp_dura[0].plot( figsize=(12,3));
在經濟衰退期間，低生產狀態的預期持續時間要比經濟擴張時高得多。
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