首先，你先不要想統計的知識，我們講一個平時生活里的例子，比如你是一個非常喜歡鞋子的人，你每個禮拜每一天都想穿上不一樣的鞋子，比如周一穿高跟鞋，周二穿運動鞋，等等。
但是你只有7雙鞋，所以，在禮拜一的時候，你可以在7雙鞋子里隨便挑一雙穿，到了禮拜二，你可以在剩下的6雙里面挑一雙穿，到了禮拜六，只剩下2雙給你挑了，過完禮拜六，只剩下一雙鞋了，你只能穿這雙，因為你沒有其他的鞋子可以挑了。所以，這7雙鞋子里面，你能夠自由挑選的是 7-1 ＝ 6雙。
T test 的degree of freedom
回到統計中的自由度。有一組數需要填入10個數字，假設沒有任何約束，你可以填寫任何的數。但是如果我告訴你，你填的這些數的平均值必須是6.5。那這10個數，你會怎么填呢？
前9個數，你可以隨機填寫：
舉例一： 40, -2.3, -31, -86, 5, 6, 7, -16, 105
舉例二： 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2
但到了第十個數，你就不能隨機填寫了，由於這10個數的平均數是6.5，所以第十個數必須是：
舉例一： 40, -2.3, -31, -86, 5, 6, 7, -16, 105 -> 第十個數必須是 37.3
舉例二： 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2 -> 第十個數必須是 57.8
你有沒有注意到，這10個數的，你能夠隨機填寫的是10-1=9個數。一旦確定有平均數存在，無論是幾個數，你能夠自由填寫的都是n-1。我們說有n-1的自由度，n是樣本量。
Chi-Square Test 的degree of freedom
我們看一下另一個情景，卡方檢驗是用來檢驗分類變量是否是獨立的一種檢驗方式。在這個檢驗中，自由度是指在contingency 表可以自由填寫的數，同時這個contingency表也有自己的約束，即每行每列的加總是定值。每個空格內的數，是這個現象觀察到的次數。
下面是一個2*2的contingency table：
| 吸煙 | 不吸煙 | Total | |
|---|---|---|---|
| 男 | ？ | 170 | |
| 女 | 80 | ||
| Total | 150 | 100 |
你有沒有發現，當你填了一個數后，剩下的3個數，就已經事先由每行或每列加總的數決定好了。比如我在男吸煙那里天了120，那么利用Total的值我們可以得出：男不吸煙顯然是 170 - 120 ＝ 50， 女吸煙是 150 - 120 ＝ 30， 女不吸煙是 100 - 50 = 50
同樣，我們再看一下2*3的contingency table：
| 愛打牌 | 愛打游戲 | 愛打麻將 | Total | |
|---|---|---|---|---|
| 男 | ？ | ？ | 170 | |
| 女 | 130 | |||
| Total | 150 | 100 | 50 |
這個例子中，只要填了2個值，剩下的4個數的數值也可以同時計算出來。
總結以上的例子，如果我們有r行，c列的表格，我們可以自由填寫的有(r－1)(c－1)個數，這就是卡方檢驗的自由度計算公式。
來源：簡書