數理統計研究問題的方式，不是對所研究對象的全體(稱為總體)進行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進行觀察獲得數據(抽樣)，並通過這些數據對總體進行推斷。數理統計方法具有“部分推斷整體”的特征。
數學中的自由度一般是指能夠自由取值的變量個數。數理統計中的自由度是指當以樣本的統計量來估計總體的參數時，樣本中獨立或能自由變化的數據的個數，自由度通常記為df。數理統計上的這個定義可以從如下幾個方面來理解：
第一，“統計量”（如樣本數據的平均數X、樣本數據的標准差）是研究者通過調查樣本的數據人為地計算出來的，而“參數”（如總體均值μ、總體標准差δ）是被調查的總體所客觀存在的，這是兩者的區別。在統計學的理論層面上，要求或者假定統計量是參數的無偏估計，認為二者是相等的（在實際研究中，由於抽樣的偏差，可能導致兩者不相等，但對於這種情況，研究者是無法知道的，知道就沒有抽樣調查的必要了）。在理論假設下，統計量也就和參數一樣被看作是客觀的、確定的。
第二，既然在理論上統計量被要求是確定的，那么在實際層面上，計算統計量的那組數據就 不是完全自由的。這一點很重要，因為自由度中“自由”的含義就是相對這個“確定”條件而言的。正是統計量的這種“確定性”限制了與之相關的一組數據的自由度，也就是說，一組數據不是可以完全自由取值的，它必須支持“統計量與總體參數相等”的理論假設。這就是自由度存在的理由。
有必要舉例來進一步說明“獨立或能自由變化的數據”的含義。在心理、社會等領域的測量或者調查過程中，研究者設置了一些變量（如智商、收入等），這些變量是隨機變量。所謂隨機變量是指，在調查總體中，變量的取值范圍及其所對應的頻次（兩者合起來稱為變量的分布）是確定的，但在一次具體的抽樣調查中，變量的取值及其所對應的頻次則是不確定的，但在大樣本的抽樣調查中，變量的分布又是能體現總體的特征和規律的。
例如：研究者在調查某個城市在崗職女工的平均收入時，從總體40000萬人中，研究者隨機抽取了200人進行調查。在這個例子中，總體40000個在崗女工的收入的平均數是總體參數，是客觀的、確定的，盡管研究者不知道。通過隨機抽樣和問卷調查，研究者獲得了200人的收入的數據。運用這組數據可以算出樣本的平均數，它是統計量。由於在理論上要求統計量與參數相等，所以這200個數據中只有199個數據可以“自由”變動，所以，這組數據在求平均數這個統計量時的自由度就是：K=200-1=199。
第三，在上面的例子中，研究者只抽了一個200人的樣本，而在實際層面，這200人的收入是確定的，因為每個被調查者只有一個確定的收入。既然這樣，“199個數據可以自由變動”是什么意思呢？
這需要回到理論上去回答。在理論上，從20000人中隨機抽取200人有種抽取方法，也就是說，在理論上研究者可以得到個不同的、樣本容量均為200人的樣本，這個數據量是很大的（沒有必要確切知道它的值）。這樣，在理論上就存在很多組調查數據（雖然研究者確實只調查了一個200人的樣本，也只獲得了一組數據），每組都有200個數據。每組數據在理論上都有對應的統計量，正是這些統計量的分布，構成了統計學中所說的抽樣分布，它是基礎統計學的核心內容。所以，僅僅在理論上，這200個數據中的199個數據是可以隨不同樣本而變化的、自由的。當然，話說回來，這種自由並非是絕對的，它們也只能在總體的取值范圍內變動，例如，關於“收入”這個變量的取值就不可能為負值。
眾所周知，很多統計量的計算公式中都有自由度的概念，可為什么同樣是計算標准差，總體標准差的自由度是n，而樣本標准差的自由度就是n-1？為什么其它公式中的自由度還有n-2、n-3呢？它到底是什么含意？
在統計模型中，自由度指樣本中可以自由變動的變量的個數，當有約束條件時，自由度減少 自由度計算公式：自由度=樣本個數-樣本數據受約束條件的個數，即df=n-k（df自由度，n樣本個數，k約束條件個數），n-1是通常的計算方法，更准確的講應該是n-k，n表示“處理”的數量，k表示實際需要計算的參數的數量。如需要計算2個參數，則數據里只有n-2個數據可以自由變化。例如，一組數據，平均數一定，則這組數據有n-1個數據可以自由變化；如一組數據平均數一定，標准差也一定，則有n-2個數據可以自由變化。
第四，自由度是誰的？從前面的分析中可以知道，自由度產生於這樣的背景下：運用一組數據來求“統計量”。離開“一組數據”就不可能有“統計量”，不計算“統計量”，“一組數據”就失去了科學的價值。所以，“自由度”應該是“統計量”和“一組數據”所共同擁有的。當然，為了方便，我們說“統計量的自由度”或者“一組數據的自由度”也都是可以接受的。
第五，統計學上的自由度包括兩方面的內容：
首先，在估計總體的平均數時，由於樣本中的n個數都是相互獨立的，從其中抽出任何一個數都不影響其他數據，所以其自由度為n。
在估計總體的方差時，使用的是離差平方和。只要n-1個數的離差平方和確定了，方差也就確定了；因為在均值確定后，如果知道了其中n-1個數的值，第n個數的值也就確定了。這里，均值就相當於一個限制條件，由於加了這個限制條件，估計總體方差的自由度為n-1。例如，有一個有4個數據(n=4)的樣本, 其平均值m等於5,即受到m=5的條件限制,在自由確定4、2、5三個數據后, 第四個數據只能是9,否則m≠5。因而這里的自由度υ=n-1=4-1=3。推而廣之,任何統計量的自由度υ=n-限制條件的個數。
其次，統計模型的自由度等於可自由取值的自變量的個數。如在回歸方程中，如果共有p個參數需要估計，則其中包括了p-1個自變量（與截距對應的自變量是常量1）。因此該回歸方程的自由度為p-1。
在一個包含n個個體的總體中，平均數為m。知道了n-1個個體時，剩下的一個個體不可以隨意變化。為什么總體方差計算，是除以n而不是n-1呢？方差是實際值與期望值之差平方的期望值，所以知道總體個數n時方差應除以n，除以n-1時是方差的一個無偏估計。
上述從不同角度對自由度的概念與定義進行了闡述，我們認為，在統計學上，自由度是建立在統計量之上的概念，它是統計量的數學特征。至此，我們可以給出數理統計中自由度的科學定義：自由度是指在一組樣本數據中，能夠自由取值且不違反給定約束條件的樣本數值的個數。這樣，我們就較科學地將實際樣本容量和自由度區別開來。
下面將進一步舉例說明自由度在不同方面的應用。
一、樣本方差的自由度
許多教科書在列出樣本方差的計算公式時都沒有說分子n-1(n為樣本容量)就是自由度，也很少解釋清楚為什么是除以n-1而不是n。假設一個容量為10的樣本，如果沒有其他關於該樣本的信息或約束的話，任意從總體中抽取的10個觀察值都可以形成這樣的樣本。也就是說，這10個觀察值可以任意地被從總體中抽取的其他觀察值所取代。當我們想要計算樣本方差時，必須先算出樣本均值
，設=35。此時，這10個觀察值就不能任意地被總體中抽取的其他觀察值所取代了。因為n=350，10個觀察值的總和必須等於350。這樣一來，樣本中只有9個觀察值可以隨意改變，因為如果任意9個觀察值確定了，第10個觀察值也被這9個值確定了。因此在計算樣本方差時自由度等於9。有效樣本容量被減少為n-1，在此基礎上，我們可以很好地理解為什么作為均方差的樣本方差計算時，要用自由度來平均而非用n平均。這也說明了如果從樣本數據中估計了一個總體參數，自由度就會減少一個。因為樣本方差的自由度為n-1,所以在比較兩個獨立總體的均值大小的t檢驗中，合並方差的自由度等於n1+n2-2=(n1-1)+(n2-1)；在比較兩個獨立總體的方差大小的F檢驗中，F統計量的自由度為(n1-1，n2-1)，其中n1,n2分別為兩個樣本的容量。
二、獨立性檢驗中的自由度
在獨立性的卡方檢驗中，列聯表是必不可少的。 我們運用列聯表來說明其中自由度的思想。見表1，一張2×3的列聯表，它的行和與列和已經給定了。如果不能給出更多的頻數，這張表是有空缺的。如果填入一個頻數，如(n2,m2)=45,另一個頻數(n1,m2)就可以被確定(n1,m2)=45。倘若再給出一個頻數，那么整個列聯表就填列完整了。如令(n1,m1)=15，則(n2,m1)=5，(n2,m3)=20，(n1,m3)=20。對於2行3列的列聯表，只要給出2個獨立的必要的信息，我們就可以確定整張表的信息內容。也就是說列聯表有(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2個自由度。可以想象，一張r行c列的列聯表，在各行和與列和給定的情況下，我們只要填上任意(r-1)行(c-1)列的頻數，表中其他的頻數也會隨之確定下來，所以列聯表有(r-1)(c-1)個自由度。
總之，數理統計中的自由度對於整個統計學而言是一個很重要的概念，它在抽樣分布和假設檢驗中的作用尤其突出。統計量的自由度和檢驗該統計量是否顯著的臨界值之間的對應關系，從而為判斷是否顯著提供了一定的標准。全面地認識理解數理統計中自由度的含義和應用方向，對理解和在實際中應用數理統計學具有至關重要的作用。