簡單了解 Ptychography 疊層成像技術

參考論文：
Konijnenberg, S. (2017). An introduction to the theory of ptychographic phase retrieval methods. Advanced Optical Technologies, 6(6), 423–438. https://doi.org/10.1515/aot-2017-0049

the phase problem

物理學問題：我們對波的測量是有限制的，具體來說，比如有一個單色光\(U=|U| e^{i \phi}\)，我們其實只能測量\(U^2\)，不能測量\(\phi\)（phase）。

干涉法間接得到相位：two fields \(U_{1}=\left|U_{1}\right| e^{i \phi_{1}}\) and \(U_{2}=\left|U_{2}\right| e^{i \phi_{2}}\)，觀察到的強度是：

\[\left|U_{1}+U_{2}\right|^{2}=\left|U_{1}\right|^{2}+\left|U_{2}\right|^{2}+2\left|U_{1}\right|\left|U_{2}\right| \cos \left(\phi_{1}-\phi_{2}\right) \]

這個技術的問題：笨重，容易被擾動（甚至因此可以用來測量地球引力）

Single-intensity phase retrieval algorithms

有：a complex-valued transmission function \(\psi(\mathbf{x})\)，its Fourier transform as \(\Psi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)\)，the intensity pattern measured in the far field \(\left|\Psi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)\right|^{2}\)
那么有兩個對 \(\psi(\mathbf{x})\)的約束：

• a support constraint \(S\) in the object domain;
• an amplitude constraint \(\left|\Psi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)\right|\) in the Fourier domain.
  （在S范圍之外， \(\psi(\mathbf{x})=0\)）

那么可以用ER（error reduction）算法，在兩個domain之間反復橫跳進行調整，迭代地更新 \(\psi(\mathbf{x})\)。文章接着對ER算法從 feasibility problem 和 cost minimization problem 的角度進行了證明和解釋，並且從這兩個角度可以分別進行算法的改良。

Ptychographical phase retrieval algorithms

用多個wave。
其中一個wave：

\[\psi_{j}(\mathbf{x})=O(\mathbf{x}) P\left(\mathbf{x}-\mathbf{X}_{j}\right) \]

照亮未知的物體O(x) with a known probe P(x) that is shifted to different positions Xj
同樣可以用ER算法去迭代更新，因為重疊部分的存在能夠更魯棒。

Fourier ptychography

計算O(x)的傅里葉變換\(\hat{O}\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)\)而不是它本身。

3D object

前面的公式基於物體是薄片的假設。
multislice method：把3D物體假設成很多切片，每一片滿足薄物體假設

\[\Psi_{j}\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)=\mathcal{F}\left\{O_{N}(\mathbf{x}) \mathcal{P}_{\Delta_{z}} O_{N-1}(\mathbf{x}) \mathcal{P}_{\Delta_{z}} \ldots O_{2}(\mathbf{x}) \mathcal{P}_{\Delta_{z}} O_{1}(\mathbf{x}) P\left(\mathbf{x}-\mathbf{X}_{j}\right)\right\} \]

在第n個slice，入射波為：

\[P_{j, n}(\mathbf{x})=\mathcal{P}_{\Delta_{z}} O_{n-1}(\mathbf{x}) \mathcal{P}_{\Delta_{z}} \ldots O_{2}(\mathbf{x}) \mathcal{P}_{\Delta_{z}} O_{1}(\mathbf{x}) P\left(\mathbf{x}-\mathbf{X}_{j}\right) \]

可以遞歸地定義出射光：

\[\psi_{j, n}(\mathbf{x})=P_{j, n}(\mathbf{x}) O_{n}(\mathbf{x}) \]

3D Fourier ptychography：

\(v(\mathbf{x})\)是要重建的3D信息，\(V\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)\)是它的傅里葉變換，\(\mathbf{k}_{\text {scat }}\) 是長度為\(\frac{1}{\lambda}\)指向散射方向的向量，\(\mathbf{k}_{\text {inc }}\)指向入射光方向，則：

\[U\left(\mathbf{k}_{\text {scat }}\right)=V\left(\mathbf{k}_{\text {scat }}-\mathbf{k}_{\text {inc }}\right) \]

改變入射光方向 \(\mathbf{k}_{\text {inc }}\)就可以探測物體的不同部分。

個人理解和補充：通篇最沒有理解清楚的一點是：為什么采集到的是傅里葉變換的結果。沒有查到衍射成像的原理，參考知乎：簡單認識傅里葉光學，最重要的一句話：當以單色平面波垂直照明透鏡前焦面的樣品時，在透鏡后焦面上的分布，正比於樣品復振幅分布的傅里葉變換。以及這篇專欄，最重要的一句話：對於Fraunhoffer衍射光的強度是孔徑函數傅里葉變換的幅值。通過這兩句話能夠勉強理解論文的邏輯。不過物理學比較無所謂...總之就是有了新的deconvolution的思路，是ER方法以及后面的數學分析，以及有了一點點從衍射出發的思路。