期望

期望：

符號/定義：

概率：

\(P(A)\) 表示事件 \(A\) 發生的概率：

1. 對於離散的情況，假設一共有 \(n\) 種情況均勻隨機，其中 \(m\) 種使得事件 \(A\) 成立，那么 \(P(A)=\frac{m}{n}\) 。
   因此，概率在很多情況下可以看成是計數。
   直接考慮概率也有優點，相當於約掉了很多東西，更方便處理問題。

2. 對於連續情況，我們可以使用面積/體積的比來計算概率。

期望：

對於隨機變量 \(x\) , \(E(x)\) 表示 \(x\) 的期望：

1. 對於離散的情況，它的值就是 每一種可能的值乘以對應概率
   如：扔一個標准的骰子，朝上的點數的期望是： \(1 \times \frac{1}{6}+2 \times \frac{1}{6}+....+6 \times \frac{1}{6}=3.5\)
   此時也可以認為它的值是：所有方案的和 \(/\) 總方案數

2. 對於連續的情況，我們可以使用積分手段計算期望。

基礎知識：

概率：

當 \(A,B\) 獨立時：

1. \(P(A \cap B)=P(A) \times P(B)\)
2. \(P(A \cup B)=P(A) + P(B)\)

\(P(A|B)\) 表示條件概率，即：我們假設 \(B\) 已經發生的條件下， \(A\) 多少概率發生。

\[P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

若 \(A_1,A_2,A_n\) 恰好能覆蓋所有情況，對於事件 \(B\) ,\(P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i)\)

相當於是分類討論，先按 \(A\) 分類，看 \(B\) 在這個條件下多少概率出現。

期望：

當 \(x,y\) 獨立，\(E(x+y)=E(x)+E(y)\)

同時，如果 \(x,y\) 前有對應常數，也可以這樣拆開，並把常數放在期望值 \(E\) 前。

在實際使用時，可以考慮拆成貢獻的形式，然后對於每一個貢獻獨立線性，加起來。

概率性質：

1. 設 \(\overline{A}\) 表示 \(A\) 不發生，則：

\[P(\overline{A})=1-P(A) \]

2. 設 \(P(B-A)\) 表示發生 \(B\) 同時不發生 \(A\)：
   若 \(A\) 包含在 \(B\) 中，則有：

   \[P(B-A)=P(B)-P(A) \]

   對任意兩個事件，則有：

   \[P(B-A)=P(B)-P(A \cap B) \]

3. 對任意兩個事件 \(P(A),P(B)\), 有公式：

   \[P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) \]

   該公式可以通過第一個公式代入獲得。

全期望公式：

\[E(Y)=\sum\limits_{\alpha \in I(X)} P(X=\alpha)E(Y|(X=\alpha)) \]

表示在滿足 \(X= \alpha\) 這個條件 \(A\) 下 \(Y\) 這個事件的期望。

\(I(X)\) 表示事件 \(Y\) 的幾種情況。

例子：

問題 \(1\)：

一棵樹有 \(n\) 個點, 將 \([1,n]\) 的排列隨機填入每個節點，整棵樹構成小根堆的概率有多大？

構成小根堆的定義是：根節點的數是子樹內最小，因此計算 \(s_i\) 為 \(i\) 的子樹大小，相乘即為答案，則答案就是 \(\prod_i s_i^{-1}\) 。

期望的性質：

對於非負實數變量 \(x\)，我們有 \(E(X)=\int_0^{\infty} P(X \geq x)\,dx\)

對於離散型變量，我們有 \(E(X)=\sum_1^{\infty} P(x \geq x)\)

期望具有線性： \(E(aX+b)=aE(x)+E(b)\)

例題：

[SHOI2014]概率充電器

樹形 \(dp\) + 期望好題，很值得做。

[SDOI2014]重建

矩陣樹定理，但需要式子的轉化