1.矩陣

1.1 矩陣及其運算

1.1.1 矩陣及其運算

　　a_ij表示第i行第j列元素，A = (a_ij)_m×n或A_m×n

• 實矩陣：元素是實數、負矩陣：元素是復數
• 零矩陣：元素全為0，不同階數的零矩陣是不相等的
• 行矩陣：只有一行的矩陣、列矩陣：只有一列的矩陣
• 方陣：行數和列數相等的矩陣，A_n
• 對角矩陣：對角線上的元素不全為0，A = diag(a₁₁, a₂₂, ... , a_nn)
• 單位矩陣：方陣，主對角元素全為1，其余元素都為0，I_n
• 數量矩陣：kI_n
• 上三角矩陣（方陣）、下三角矩陣（方陣）
• 系數矩陣、增廣矩陣

1.1.2 矩陣的線性運算

同型矩陣：A_m×n, B_m×n

A與B相等：同型且對應元素相等

矩陣的線性運算：加法、減法、數乘

1.1.3 矩陣的乘法

A_m×tB_t×n = C_m×n = (c_ij)_m×n

• 兩個上三角矩陣的乘積仍為上三角矩陣

• 兩個下三角矩陣的成績仍為下三角矩陣
• 矩陣乘法不滿足交換律
• 兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣
• 矩陣乘法不滿足消去律
• 線性變換：Y = AX

• 恆等變換：A = I
• 旋轉變換：將點（x, y）逆時針旋轉φ角

• 方陣的冪：A^k
• 方陣的多項式：f(A) = a_kA^k + a_k-1A^k-1 + a_k-2A^k-2 + ... + a₁A + a₀I

1.1.4 矩陣的轉置

 

 

  

• 對稱矩陣：A = A^T 
• 反對稱矩陣：A = -A^T

1.2 高斯消元法與矩陣的初等變換

1.2.1 引入

• 齊次方程組：AX = 0
• 非齊次方程組：AX = b

1.2.2 高斯消元法與初等變換

　　線性方程組的初等變換：

• 交換方程次序
• 以不等於0的數乘某個方程
• 一個方程加上另一個方程的k倍

　　矩陣的初等行變換：

• 對調兩行
• 以不等於0的數乘某一行的所有元素
• 把某一行的所有元素的k倍加到另一行的對應元素上去

矩陣的初等變換：初等行變換+初等列變換

高斯消元法：對增廣矩陣實施行初等變換化為簡化行階梯型矩陣

簡化行階梯矩陣：行階梯矩陣、每一非零行的第一個非零元素為數1，且1所在的列的其余元素均為0

矩陣的等價：A經過有限次初等變換變成B，A和B等價

1.2.3 初等矩陣

　　由單位矩陣經過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣

 

1.3 逆矩陣

1.3.1 逆矩陣的定義

　　AA^-1 = A^-1A = I

1.3.2 逆矩陣的運算性質

1.3.3 用行初等變換求逆矩陣

　　設A為n階矩陣，則下列命題等價

• A可逆
• AX = 0只有零解
• A與I行等價
• A可表為有限個初等矩陣的乘積

　　推論：設A為n階矩陣，則AX = b有唯一解的充要條件是A可逆

用初等行變換求逆時，不能夾雜任何列變換

在求矩陣的逆時，若作行初等變換是，出現全行為0則可知矩陣不可逆

1.4 分塊矩陣

1.4.1 分塊矩陣的定義

　　將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣

1.4.2 分塊矩陣的運算規則

　　加法、數乘

　　乘法：前一個矩陣列的分法和后一個矩陣的行的分法相同

　　轉置：

 　　逆：