1.矩阵

1.1 矩阵及其运算

1.1.1 矩阵及其运算

　　a_ij表示第i行第j列元素，A = (a_ij)_m×n或A_m×n

• 实矩阵：元素是实数、负矩阵：元素是复数
• 零矩阵：元素全为0，不同阶数的零矩阵是不相等的
• 行矩阵：只有一行的矩阵、列矩阵：只有一列的矩阵
• 方阵：行数和列数相等的矩阵，A_n
• 对角矩阵：对角线上的元素不全为0，A = diag(a₁₁, a₂₂, ... , a_nn)
• 单位矩阵：方阵，主对角元素全为1，其余元素都为0，I_n
• 数量矩阵：kI_n
• 上三角矩阵（方阵）、下三角矩阵（方阵）
• 系数矩阵、增广矩阵

1.1.2 矩阵的线性运算

同型矩阵：A_m×n, B_m×n

A与B相等：同型且对应元素相等

矩阵的线性运算：加法、减法、数乘

1.1.3 矩阵的乘法

A_m×tB_t×n = C_m×n = (c_ij)_m×n

• 两个上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵

• 两个下三角矩阵的成绩仍为下三角矩阵
• 矩阵乘法不满足交换律
• 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵
• 矩阵乘法不满足消去律
• 线性变换：Y = AX

• 恒等变换：A = I
• 旋转变换：将点（x, y）逆时针旋转φ角

• 方阵的幂：A^k
• 方阵的多项式：f(A) = a_kA^k + a_k-1A^k-1 + a_k-2A^k-2 + ... + a₁A + a₀I

1.1.4 矩阵的转置

 

 

  

• 对称矩阵：A = A^T 
• 反对称矩阵：A = -A^T

1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换

1.2.1 引入

• 齐次方程组：AX = 0
• 非齐次方程组：AX = b

1.2.2 高斯消元法与初等变换

　　线性方程组的初等变换：

• 交换方程次序
• 以不等于0的数乘某个方程
• 一个方程加上另一个方程的k倍

　　矩阵的初等行变换：

• 对调两行
• 以不等于0的数乘某一行的所有元素
• 把某一行的所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去

矩阵的初等变换：初等行变换+初等列变换

高斯消元法：对增广矩阵实施行初等变换化为简化行阶梯型矩阵

简化行阶梯矩阵：行阶梯矩阵、每一非零行的第一个非零元素为数1，且1所在的列的其余元素均为0

矩阵的等价：A经过有限次初等变换变成B，A和B等价

1.2.3 初等矩阵

　　由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵

 

1.3 逆矩阵

1.3.1 逆矩阵的定义

　　AA^-1 = A^-1A = I

1.3.2 逆矩阵的运算性质

1.3.3 用行初等变换求逆矩阵

　　设A为n阶矩阵，则下列命题等价

• A可逆
• AX = 0只有零解
• A与I行等价
• A可表为有限个初等矩阵的乘积

　　推论：设A为n阶矩阵，则AX = b有唯一解的充要条件是A可逆

用初等行变换求逆时，不能夹杂任何列变换

在求矩阵的逆时，若作行初等变换是，出现全行为0则可知矩阵不可逆

1.4 分块矩阵

1.4.1 分块矩阵的定义

　　将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元元素的形式上的矩阵称为分块矩阵

1.4.2 分块矩阵的运算规则

　　加法、数乘

　　乘法：前一个矩阵列的分法和后一个矩阵的行的分法相同

　　转置：

 　　逆：