【數字電子技術基礎】邏輯代數基礎

本文轉載自查看原文 2021-10-03 23:27 182 筆記/ 邏輯代數/ 數電/ 數學

三種基本運算

與

\(Y=A \space AND\space B = A\&B = A\cdot B = AB\)

邏輯與運算，實現與運算的電子器件成為與門。

或

\(Y = A \space OR \space B = A + B\)

非

\(Y = NOT A = \overline{A} = A^\prime\)

常用的復合邏輯運算

與非：\(Y=(A\cdot B)^\prime\)

或非：\(Y = (A+B)^\prime\)

與或非：\(Y = (A\cdot B + C \cdot D)^\prime\)

異或：\(Y=A\oplus B=(A^\prime \cdot B) + (A\cdot B^\prime)\)

同或：\(Y=A\odot B=(A\oplus B)^\prime=((A^\prime\cdot B)+(A\cdot B^\prime))^\prime=(A^\prime\cdot B)^\prime\cdot(A\cdot B^\prime)^\prime\\=(A+B^\prime)\cdot(A^\prime+B)=A\cdot A^\prime + A\cdot B + A^\prime\cdot B^\prime + B\cdot B^\prime=A\cdot B + A^\prime \cdot B^\prime\)

邏輯代數的基本公式和常用公式

基本公式

分配律：\(A+BC=(A+B)(A+C)\)，\(A+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)\)

反演律：\((AB)^\prime=A^\prime+B^\prime\)，\((A+B)^\prime=A^\prime B^\prime\)

常用公式

\(A+AB=A\)

\(A+AB=A(1+B)=A\)

\(A(A+B)=A\)

\(AA+AB=A+AB=A(1+B)=A\)

\(AB+AB^\prime=A\)

\(AB+AB^\prime=A(B+B^\prime)=A\)

\(A+A^\prime B = A + B\)

\(A+A^\prime B=(A+A^\prime)(A+B)=A+B\)

\(AB+A^\prime C + BC=AB+A^\prime C\)，\(AB+A^\prime C + BCD=AB + A^\prime C\)
\(A(AB)^\prime=AB^\prime\)\(A^\prime (AB)^\prime=A^\prime\)

\(A(AB)^\prime=A(A^\prime + B^\prime)=AA^\prime+AB^\prime\)

\(A^\prime (AB)^\prime=A^\prime(A^\prime+B^\prime)=A^\prime A^\prime+A^\prime B^\prime=A^\prime+A^\prime B^\prime=A^\prime(1+B^\prime)=A^\prime\)

邏輯代數的基本定理

代入定理

在任何一個包含A的邏輯式中，用另外一個邏輯式代替A的位置，則等式依然成立。這是數字電路可以模塊化互聯的理論基礎。

因為邏輯式A無論多么復雜他的值僅僅只能是0或者1，同樣其他邏輯式也是一樣的，因此代替之后等式依然成立。

例如：\(A+BC=(A+B)(A+C)\)，用CD代替C可得\(A+BCD=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)\)；

\((A\cdot B)^\prime=A^\prime + B^\prime\)，用\(B\cdot C\)代替B可得\((A\cdot BC)^\prime=A^\prime + (BC)^\prime = A^\prime + B^\prime + C^\prime\).

反演定理

對於任意邏輯式\(Y\)，要求他的反函數\(Y\Rightarrow Y^\prime\)，則將‘與’改成‘或’，1改成0，需要注意的是不屬於單變量的取反操作不改變，變換的順序是先括號，然后與最后或。

例如：\(Y=A^\prime (B+C)+CD\)，則\(Y^\prime = (A+B^\prime C^\prime)(C^\prime+D^\prime)=AC^\prime + AD^\prime + B^\prime C^\prime\).

對偶定理

邏輯式Y的對偶式\(Y\Rightarrow Y^D\)，或變與，與變或，0變1，1變0。

若邏輯式\(F=G\)，則\(F^D=G^D\).

例如：\(F=A+BC，G=(A+B)(A+C)\)，有\(F^D=A^\prime (B^\prime + C^\prime)=A^\prime B^\prime+A^\prime C^\prime\)、\(G^D=A^\prime B^\prime+A^\prime C^\prime\)，\(F^D=G^D\).

邏輯函數

邏輯函數的表示方法

真值表、邏輯圖、邏輯式、波形圖。

邏輯式

將輸入輸出之間的邏輯關系用與或非的運算式進行表示。例如\(Y=(AB+CD)^\prime\).

不同的邏輯式表示的可能是同一個真值表。

邏輯圖

用邏輯圖形符號表示邏輯運算關系。

波形圖

將輸入變量所有取值組合與對應輸出按時間順序排列畫成波形。

邏輯函數表示方法之間的轉換

真值表->邏輯式

將Y=1的輸入變量取值取出來，將取值組合與起來，其中取值為1的為原變量，取值為0的為反變量，最后將他們或起來即可。

例如：

其中ABC取值為011，101，110的時候Y=1，則有\(Y=A^\prime BC+AB^\prime C + ABC^\prime\).

邏輯圖->邏輯式

從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯運算式。

把邏輯圖看成一張圖，則邏輯式的計算順序按照拓撲排序結果進行計算。

例如：

則有

\(Y=((A+B)^\prime +(A^\prime + B^\prime) ^\prime)^\prime=(A^\prime B^\prime + AB)^\prime=(A^\prime B^\prime)^\prime (AB)^\prime\\=(A+B)(A^\prime B^\prime)=AA^\prime + AB^\prime + A^\prime B + BB^\prime=A^\prime B + AB^\prime=A \oplus B\)

邏輯函數的最簡式

最簡與或邏輯式

包含的與項最少；
每個與項的因子也已經最少。

例如：

\(Y = ABC+B^\prime C + ACD=ABC+B^\prime C=(AB+B^\prime)C=(A+B^\prime)C=AC+B^\prime C\)

\(Y=AC+B^\prime C + BD^\prime + CD^\prime + A(B+C^\prime)+A^\prime BCD^\prime + AB^\prime DE=AC+B^\prime C + BD^\prime + CD^\prime + A(B^\prime C)^\prime + AB^\prime DE\\ =AC+A+B^\prime C + BD^\prime +CD^\prime + AB^\prime DE=A+B^\prime C + BD^\prime + CD^\prime=A+B^\prime C + BD^\prime\)

邏輯函數的最小項之和標准形式

最小項

n變量邏輯函數的最小項m：m為與項、包含n個因子、每個變量都以原變量或反變量的形式在m中出現一次。

例如：兩變量AB的最小項有：\(A^\prime B^\prime\)，\(A^\prime B\)，\(AB^\prime\)，\(AB\)，分別使他們函數值為1的取值組合為：00，01，10，11，因此這四個最小項的編號分別為\(m_0\)，\(m_1\)，\(m_2\)，\(m_3\).

性質

任意輸入變量取值，有且只有一個最小項的值為1
全體最小項之和為1
任意兩個最小項之積為0
兩個相鄰的最小項（只有一個因子不同的最小項）之和可以合並，只留下公共因子：\(AB^\prime+AB=A\)

與或式->最小項之和

\(Y(A,B,C)=ABC^\prime + BC = ABC^\prime + BC(A+A^\prime)=ABC^\prime +ABC+A^\prime BC=\sum m(3,6,7)\)

最大項

n變量邏輯函數的最大項M：M為或項、包含n個因子、n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現一次。

例如：兩變量AB的最小項有：\(A^\prime +B^\prime\)，\(A^\prime +B\)，\(A+B^\prime\)，\(A+B\)，分別使他們函數值為0的取值組合為：11，10，01，00，因此這四個最大項的編號分別為\(M_3\)，\(M_2\)，\(M_1\)，\(M_0\).

性質

任意輸入變量取值，有且只有一個最大項的值為0
全體最大項之積為0
任意兩個最大項之和為1
兩個相鄰的最大項之積可以合並，只留下公共因子：\((A+B)(A+B^\prime)=AA+AB^\prime+AB+BB^\prime=A\)

或與式->最大項之積

\(Y(A,B,C)=(A+B+C^\prime)(B+C)=(A+B+C^\prime)(AA^\prime+B+C)\\=(A+B+C^\prime)(A+B+C)(A^\prime +B+C)=\prod_{i=0,1,4} M_i\).

最小項與最大項的關系

同一編號的\(m_i\)和\(M_i\)互為反函數。

最小項之和->最大項之積：\(Y=\sum m_i\)，\(Y^\prime=(\sum m_i)^\prime=\sum_{k\neq i}m_k\)，\(Y=(\sum_{k\neq i}m_k)^\prime = \prod_{k \neq i}m_k^\prime=\prod _{k\neq i}M_k\).

例如：\(Y=A^\prime BC^\prime + AB^\prime C + ABC^\prime +ABC=\sum_{i=2,5,6,7} m_i=\prod_{i=0,1,3,4}M_i\).

最大項之積變換為最小項之和也同理，例如：

\(Y=(A+B+C)(A+B+C^\prime)=\prod_{i=0,1}M_i = \sum_{i=2,3,4,5,6,7}m_i\)

卡諾圖

卡諾圖邏輯函數最小項之和的一種圖形表示。

用\(2^n\)個小方格分別表示n變量所有最小項，卡諾圖使得幾何位置相鄰的最小項在邏輯上也是相鄰的。

注意，1.相鄰的變量取值需要為格雷碼；2.集合相鄰包括上下左右相鄰、上下環相鄰、左右環相鄰，對折位置重合相鄰。

例如五變量的卡諾圖可以是這樣的：

從紅線處折疊，那么\(m_9\)和\(m_{13}\)是重疊的，所以他們兩個在邏輯上是相鄰的。

對於卡諾圖需要注意，如果讓ABC成為列，DE成為行也是可以的，同理ABCD成為列，E成為行，無論如何變化方格的總數是不變的，都是\(2^5\)個。

卡諾圖表示邏輯函數

方法1

將邏輯函數表示為最小項之和的形式；
在卡諾圖上將這些最小項對應的方格填入1，其余方格填入0.

例如：\(Y=(ABC)=\sum_{i=5,6,7} AB^\prime C+ABC^\prime+ABC\)，那么他的卡諾圖為

方法2

確定使每個與項為1的所有輸出變量取值，行在卡諾圖上對應方格填入1；
其余方格填入0.

例如：\(Y=C+AB^\prime\)，那么只要\(C\)為1，\(Y\)的取值就是1；同理只要\(AB^\prime\)為1，\(Y\)的取值也是1。所以只需要在\(C\)為1的行或列填入1，在\(AB^\prime\)所在的行或列填入1即可。注意，卡諾圖設計的時候應該將\(C\)放在一行，\(AB^\prime\)放在一行（大概？）