【第02題】給定 n，求 1 + 2 + 3 + ... + n 的和 | 四種解法

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文章目錄

• 一、題目描述
• 二、解題思路
• 三、代碼詳解
• • 1、錯誤解法
  • 2、正確解法1：循環枚舉
  • 3、正確解法2：奇偶性判斷
  • 4、正確解法3：無符號整型
  • 5、正確解法4：64位整型

一、題目描述

  循環輸入，每輸入一個正整數 $n(n\le 65535)$，輸出 $1+2+3+...+n$ 的值，並且多輸出一個空行。當沒有任何輸入時，結束程序。

• 這個題中，你將會學到以下的內容：

二、解題思路

難度：🔴⚪⚪⚪⚪

• 由於 $n\le 65535$，不是很大，所以我們完全可以通過循環的方式遍歷 1 到 $n$，然后將遍歷到的數字加和后進行輸出。這樣的時間復雜度是 $O(n)$ 的。有關於時間復雜度相關的介紹，可以參考這篇文章：一文搞懂算法時間復雜度。
• 當然，這是一個等差數列的求和公式，所以有：
• $$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
• 這樣，只要知道 $n$ 的值，就可以在 $O(1)$ 的時間內求得最終的答案了。接下來，讓我們來看下代碼如何實現。

三、代碼詳解

1、錯誤解法

#include <stdio.h>
int main() {
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        int ans = n * (n + 1) / 2;   // (1)
        printf("%d\n\n", ans);
    }
    return 0;
}

• $(1)$ 這行代碼直接套用等差數列求和公式。但是這里有一個小問題。
• 因為當 $n$ 取最大值 $65535$ 時，$n\ast (n+1)=65535\ast 65536=(2^{16}-1)2^{16}=2^{32}-2^{16}$，而 $int$ 能夠表示的最大值為 $2^{31}-1$，所以產生了溢出。就變成了負數。至於為什么溢出會變成負數，可以了解補碼相關的知識：計算機補碼詳解。
• 接下來介紹四種正確做法。
  

2、正確解法1：循環枚舉

#include <stdio.h>
int main() {
    int n, ans;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        ans = 0;          // (1)
        while(n) {        // (2)
            ans += n;     // (3)
            --n;          // (4)
        }
        printf("%d\n\n", ans);
    }
    return 0;
}

• $(1)$ 初始化結果ans為0；
• $(2)$ 用一個while語句來執行循環，一直自減 n，直到n減為零為止；
• $(3)$ 將當前n的值累加給 ans（循環完畢，ans就是1到n的數的累加和）；
• $(4)$ --n等價於n = n - 1；
• 這種方法，就是普通的枚舉，正確性容易保證，但是時間復雜度略高，為 $O(n)$。

3、正確解法2：奇偶性判斷

#include <stdio.h>
int main() {
    int n, ans;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        if(n % 2 == 0) {           // (1)
            ans = n / 2 * (n+1);   // (2)
        } else {                   // (3)
            ans = (n+1) / 2 * n;   // (4)
        }
        printf("%d\n\n", ans);
    }
    return 0;
}

• 由於 $n$ 和 $n+1$ 的奇偶性必然不同，所以兩者相乘必然能被 2 整除。
• 所以我們可以得到如下情況：
• $$sum(n)=\{\begin{array}{ll}(n+1)/2\times n& n為奇數\\ n/2\times (n+1)& n為偶數\end{array}$$
• 也就是根據奇偶性來決定是用 $n$ 去除 2，還是 $n+1$ 去除 2，從而避免溢出。
• $(1)$ %在C語言中是取模的意思，a%b代表a除上b得到的余數，a%2 == 0則代表 a 為偶數，否則為奇數；這里的if判斷代表n是偶數；
• $(2)$ n為偶數時，n能被 2 整除，所以先計算 n/2，再乘上n+1；
• $(3)$ 這里用到了 else語句，代表接下來要進行n為奇數的處理；
• $(4)$ n為奇數時，n+1能被 2 整除，所以先計算 (n+1)/2，再乘上n；

4、正確解法3：無符號整型

#include <stdio.h>
int main() {
    unsigned int n;
    while (scanf("%u", &n) != EOF) {
        unsigned int ans = n * (n + 1) / 2; // (1)
        printf("%u\n\n", ans);
    }
    return 0;
}

• $(1)$ 由於無符號整型的范圍為 $[0,2^{32}-1]$，當 $n=65535$ 時，有：
• $$n\times (n+1)=2^{32}-2^{16}<2^{32}-1$$
• 所以不需要擔心溢出問題。

5、正確解法4：64位整型

#include <stdio.h>
int main() {
    long long n;
    while (scanf("%lld", &n) != EOF) {
        long long ans = n * (n + 1) / 2;  // (1)
        printf("%lld\n\n", ans);
    }
    return 0;
}

• $(1)$ long long是C語言中的64位整型，范圍比int大了一個平方量級，在$[-2^{63},2^{63}-1]$，所以也是能夠涵蓋 $n$ 最大的情況的。
  

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