定理 2 (充分條件）設函數 $z=f(x, y)$ 在點 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，又 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 $, 令
$f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=A, f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=B, f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=C$
則 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 處是否取得極值的條件如下:
(1) $ A C-B^{2}>0$ 時具有極值, 且當 $ A<0$ 時有極大值, 當 $ A>0$ 時有極小值;
(2) $ A C-B^{2}<0$ 時沒有極值;
(3) $ A C-B^{2}=0$ 時可能有極值, 也可能沒有極值, 還需另作討論。
例 求函數 $f(x, y)=x^{3}-y^{3}+3 x^{2}+3 y^{2}-9 x$ 的極值。
解 先解方程組
$\left\{\begin{array}{c} f_{x}(x, y)=3 x^{2}+6 x-9=0 \\ f_{y}(x, y)=-3 y^{2}+6 y=0 \end{array}\right.$
求得駐點為 $ (1,0) 、(1,2) 、 (-3,0) 、 (-3,2) $ 。
再求出二階偏導數
$f_{x x}(x, y)=6 x+6, f_{x y}(x, y)=0, f_{y y}(x, y)=-6 y+6$
在點 $ (1,0)$ 處, $ A C-B^{2}=12 \cdot 6>0$ 又 $ A>0$ , 所以函數在 $ (1,0)$ 處有極小值 $ f(1,0)=-5$ ; 在點 $ (1,2)$ 處, $ A C-B^{2}=12 \cdot(-6)<0$ , 所以 $ f(1,2) $ 不是極值;
在點 $ (-3,0)$ 處, $ A C-B^{2}=-12 \cdot 6<0 $, 所以 $ f(-3,0)$ 不是極值;
在點 $ (-3,2)$ 處, $ A C-B^{2}=-12 \cdot(-6)>0$ 又 $ A<0$ 所以函數在 $ (-3,2)$ 處有極大值 $ f(-3,2)=31$ 。