二元函數 是 z = f ( x, y ) ， 或者 f ( x, y, z ) = 0 ，
比如， z = f ( x, y ) ， 有 2 個 自變量 x, y， 有 1 個 因變量 y， 這是 二元函數 。
或者， f ( x, y, z ) = 0 ， 這種， 跟 z = f ( x, y ) 也 差不多， 可以叫 二元隱函數 。
不過 ， f ( x, y, z ) = 0 是 一個方程， 和 x, y 對應 的 z 可能 不止一個， 這是 和 z = f ( x, y ) 的 區別 。
比如 ， 球面 x ² + y ² + z ² = r ² , r 為常量 ， 是一個 方程， 也是 隱函數 。
z = 根號 ( r² - x ² - y ² ) 就是 半個球面， 另外 半個球面 是 z = - 根號 ( r ² - x ² - y ² ) 。
總之呢， 把 ( x, y ) 的 集合 看作 p 的 集合， p 是一個 ( x, y, 0 ) 處 的 點， 0 是 z 坐標 。
z = f ( x, y ) 可以看作 寫成 z = f ( p ) ，
給 p 指定 一個 定義域， 這個 定義域 是 xy 平面 上 的 一個 區域， 也 可以說 是 一個 平面圖形，
則 在 定義域 內， z = f ( p ) 的 極值點 在哪里， 有幾個 ？
z = f ( p ) 是 定義域 上方（下方） 的 曲面， 極值點 就是 曲面 上 的 峰頂 和 谷底 。
這個 問題 也和 霍奇猜想 有關 。
z = f ( p ) 的 定義域 是 二維平面 上 的 一個 區域， 這種 函數 稱為 二維自變量 函數 。 這種 函數 的 自變量 是一個 元組 ( x, y ) ， p = ( x, y ) 。
同理， 可以有 三維自變量 函數， 比如 a = f ( p ) , p = ( x, y, z ) 。
還可以有 四維自變量函數， 五維自變量函數， …… ， n 維自變量函數 。
z = f ( p ) 是 一個 二維自變量函數， 也是 一個 二元函數， 用哪個叫法都可以 。
z = f ( p ) 是 三維坐標系 里 的 一個 曲面， 可以想象， 以 xy 平面 為 “底面”， 曲面 在 z 方向上 高低起伏， 就像是 喀斯特地貌 上 的 一個個 小山峰， 這些 小山峰 的 頂點 就是 極值點 。
用 直觀 和 邏輯 分析一下， 可以知道， 作一些 平面， 垂直於 xy 平面， 這些 平面 過 小山峰 的 頂點 和 曲面 相交， 得到 的 相交線 稱為 垂面交線， 垂面交線 也是 函數曲線 。 對於 每條 垂面交線， 小山峰 的 頂點 就是 垂面交線 的 極值點 。
即， 曲面 的 極值點 也是 過 該 極值點 的 每一條 垂面交線 的 極值點 。
進一步， 可以發現， 如果 曲面 上 的 一點 不是 極值點， 則 過 該點 任意 取 兩條 垂面交線， 該點 必然 不會同時 是 這兩條 垂面交線 的 極值點 。
反過來， 可以說， 過 曲面 上 的 一點 取 任意 兩條 垂面交線， 若 該點 對 兩條 垂面交線 都是 極值點， 則 該點 是 曲面 的 極值點 。
也可以說， 過 曲面 上 的 一點 取 任意 兩條 垂面交線， 若 該點 是 兩條 垂面交線 的 極值點， 則 該點 是 曲面 的 極值點 。
這可以 稱為 二元函數極值定理 。
二元函數極值定理 表示 曲面 上 兩條 垂面交線 可以 決定 曲面 的 極值點， 曲面 上 兩條 垂面交線 相交， 若 交點 是 兩條 垂面交線 的 極值點， 則 交點 是 曲面 的 極值點 。
垂面 垂直於 xy 平面， 可以平行於 xz 平面 或 yz 平面 。 我們可以讓 兩個垂面 一個 平行於 xz 平面， 一個 平行於 yz 平面， 此時， 二元函數極值定理 可以寫成 偏導數 的 形式 ：
對於 二元函數 z = f ( x, y ) ， 若 ( X₀, Y₀ ) 處 的 偏導數 ∂ z / ∂ x = 0 且 ∂ z / ∂ y = 0 ， 則 ( X₀, Y₀ ) 處 是 曲面 的 極值點 。
也可以 嚴格一點 表達， 對於 二元函數 z = f ( x, y ) ， 當 x = X₀， y = Y₀ 時， 若 偏導數 ∂ z / ∂ x = 0 且 ∂ z / ∂ y = 0 ， 則 ( X₀, Y₀, z ) 是 極值點 。
嗯 …… 看來 偏導數 還是 有點用的 。
進一步， 可以推想， 對於 n 元函數， 極值條件 和 上述 的 二元函數 的 情形 也是 類似 的， 可以 表達為 ：
對於 n 元函數， y = f ( x1, x2, x3, …… , xn ) ， 若 在 ( X1, X2, X3, …… , Xn ) 處， 滿足 以下 方程組 ：
∂ y / ∂ x1 = 0
∂ y / ∂ x2 = 0
∂ y / ∂ x3 = 0
……
∂ y / ∂ xn = 0
則 ( X1, X2, X3, …… , Xn ) 處 是 y 的 極值點 。
這 稱為 n 元函數極值定理 。
應該指出， 滿足 二元函數極值定理 和 n 元函數極值定理 的 點 不一定 是 極值點， 也有可能是 駐點 （又稱為平穩點、穩定點或臨界點）， 可以參考 一元函數 駐點（又稱為平穩點、穩定點或臨界點） 的 概念 。
可以 用 一個 圖 簡單 的 看一下 一元函數 的 極值點 和 駐點 ：
三維曲面 和 高維曲面 上 的 駐點 的 情形 比 二維曲線（一元函數） 的 駐點 更復雜一些 。 可以把 z = sin x + sin y 的 曲面 畫出來 看看 。
我在 《關於 牛頓 一個晚上 搞定 最速降線》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12944582.html 的 文末 留 的 那道題 也可以看作 一個 二元函數極值問題 。
那道題 是 這樣 ：
如圖， 光線 從 A 點 出發， 沿 AC 以 速度 v1 到達 C 點， 沿 CD 以 速度 v2 到達 D 點， 沿 DB 以 速度 v3 到達 B 點，
A 點坐標 是 ( 0, 3h ) ， B 點 坐標 是 ( L, 0 ) ， C 點 坐標 是 ( xc, 2h ) ， D 點 坐標 是 ( xd, h ) ， h 、L 為 常量 。
問 C 點 D 點 的 橫坐標 xc 、xd 是 多少 時， 光 從 A 到 B 的 時間 最短 ？
這個題 在 本文 里 命名為 題 (1) 。
可以用 二元函數極值 的 思路 來 做這個題 ：
可以把 A 、B 、C 、D 四 個 點 的 坐標 改為 ( Xa, Ya ) 、( Xb, Yb ) 、( xc, Yc ) 、( xd, Yd ) ， xc, xd 為 變量， Xa, Ya, Xb, Yb, Yc, Yd 為 常量 。
為了便於敘述， 把 A 點 、B 點 、 C 點 、 D 點 的 y 坐標 記為 Ya, Yb, Yc, Yd， 原來 是 3h, 0, 2h, h ， 實際上， 到最后， 會發現 結論 和 y 坐標 的 具體取值 沒有關系 。
設 光 從 A 沿 AC - CD - DB 路徑到達 B 的 時間 為 t ，
t = AC / v1 + CD / v2 + DB / v3
= 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( Yc - Ya ) ² ] / v1 + 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( Yd - Yc ) ² ] / v2 + 根號 [ ( Xb - xd ) ² + ( Yb - Yd ) ² ] / v3
t = 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( Yc - Ya ) ² ] / v1 + 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( Yd - Yc ) ² ] / v2 + 根號 [ ( Xb - xd ) ² + ( Yb - Yd ) ² ] / v3 (1) 式
光 從 A 到 B 的 時間最短 就是 t 取 最小值， 這是 t 的 極值問題 。
(1) 式 中 xc, xd 為 自變量， t 為 因變量， 其它 為 常量 。 求 xc, xd 取什么值時， t 取極值 。
t 是 xc 、xd 的 函數， 記為 t = f ( xc, xd ) ， 這是一個 二元函數 。
根據 二元函數極值定理， 可以列方程組 ：
∂ t / ∂ xc = 0 1-1 式
∂ t / ∂ xd = 0 1-2 式
為了便於敘述， 這個 方程組 稱為 方程組 (1)， 方程組 (1) 的 解 就是 t 的 極值條件 。
1-1 式 可得 ：
∂ { 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( Yc - Ya ) ² ] / v1 + 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( Yd - Yc ) ² ] / v2 + 根號 [ ( Xb - xd ) ² + ( Yb - Yd ) ² ] / v3 } / ∂ xc = 0
∂ { 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( Yc - Ya ) ² ] / v1 } / ∂ xc + ∂ { 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( Yd - Yc ) ² ] / v2 } / ∂ xc + ∂ { 根號 [ ( Xb - xd ) ² + ( Yb - Yd ) ² ] / v3 } / ∂ xc = 0
∂ { 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( Yc - Ya ) ² ] / v1 } / ∂ xc + ∂ { 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( Yd - Yc ) ² ] / v2 } / ∂ xc + 0 = 0
∂ { 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( Yc - Ya ) ² ] / v1 } / ∂ xc + ∂ { 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( Yd - Yc ) ² ] / v2 } / ∂ xc = 0
1 / v1 * 1/2 * 1 / 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( Yc - Ya ) ² ] * ( 2 xc - 2 Xa ) + 1 / v2 * 1/2 * 1 / 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( Yd - Yc ) ² ] * ( 2 xc - 2 xd ) = 0
1 / v1 * ( xc - Xa ) / 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( Yc - Ya ) ² ] + 1 / v2 * ( xc - xd ) / 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( Yd - Yc ) ² ] = 0
1 / v1 * ( xc - Xa ) / 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( Yc - Ya ) ² ] - 1 / v2 * ( xd - xc ) / 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( Yd - Yc ) ² ] = 0
1 / v1 * ( xc - Xa ) / 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( Yc - Ya ) ² ] = 1 / v2 * ( xd - xc ) / 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( Yd - Yc ) ² ] (2) 式
因為
( xc - Xa ) / 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( Yc - Ya ) ² ] = sin θ1
( xd - xc ) / 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( Yd - Yc ) ² ] = sin θ2
所以， (2) 式 可化為 ：
sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2
同理， 1-2 式 可得 sin θ2 / v2 = sin θ3 / v3 ， 於是
sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2 (3) 式
sin θ2 / v2 = sin θ3 / v3 (4) 式
這就是 方程組 (1) 的 解 ， 也就是 t 的 極值條件， 也就是 本題 答案， 當 滿足 (3) 式 (4) 式 時， 光 從 A 到 B 的 時間 最短 。
其實 極值點 的 意義 是 峰值 谷值， 極值點 可能 不止 一個， 極值點 也不一定 是 最大值 最小值， 但 這些問題 我們暫不考慮， 在 下文 里 也一樣 。
接下來， 我們來解 最速降線 問題 。 這個課題 在 本文 命名為 題 (2) 。
如圖， 已知 A 、B 兩點， A 、B 的 位置 確定 。 A 點 坐標 是 ( Xa, Ya ) ， B 點 坐標 是 ( Xb, Yb ) 。
和 伯努利推導法 一樣， 在 A 、B 之間 的 y 方向 上 分為 等高 的 n + 1 層， ， n -> 無窮，
由 機械能守恆 可知， 小球 從 A 點 滾落， 在 ( x, y ) 處 的 速度 v = V ( x, y ) = 根號 [ 2 g ( Ya - y ) ] ，
在 每一層 的 分界線 取一個 點， 可得 n 個 點 P1, P2, P3 …… Pn ， 按 A, P1, P2, P3 …… Pn, B 這樣 的 順序 把 這些點 連起來， 可以 構成 一條 從 A 到 B 的 路徑， 稱為 APB 。
讓 小球 沿 APB 路徑 從 A 滾動 到 B， 求 當 P1, P2, P3 …… Pn 點 的 x 坐標 是 多少時， 小球 從 A 到 B 的 時間 最短 。
記 P1, P2, P3 …… Pn 的 坐標 為 ( x1, y1 ), ( x2, y2 ), ( x3, y3 ) …… ( xn, yn ) ，
規定 小球 從 A 到 P1 的 速度 是 V ( x1, y1 ) ， 從 P1 到 P2 的 速度 是 V ( x2, y2 ) ， 從 P2 到 P3 的 速度 是 V ( x3, y3 ) …… 以此類推 。
總之 就是 小球 從 第 n - 1 個 點 滾到 第 n 個 點 的 速度 是 V ( xn, yn ) 。
小球 最后 從 Pn 滾動 到 B 的 速度 是 V ( Xb, Yb ) 。
記
v1 = V ( x1, y1 )
v2 = V ( x2, y2 )
v3 = V ( x3, y3 )
……
vn = V ( xn, yn )
vb = V ( xb, yb )
設 小球 沿 APB 路徑 從 A 滾動 到 B 的 時間 為 t，
t = AP1 / v1 + P1P2 / v2 + P2P3 / v3 + …… + PnB / vb
AP1 / v1 = 根號 [ ( x1 - Xa ) ² + ( y1 - Ya ) ² ] / v1
P1P2 / v2 = 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² ] / v2
P2P3 / v3 = 根號 [ ( x3 - x2 ) ² + ( y3 - y2 ) ² ] / v3
……
PnB / vb = 根號 [ ( Xb - xn ) ² + ( Yb - yn ) ² ] / vb
Xa, Ya, Xb, Yb 為 常量， y1, y2, y3 …… yn 為 常量， x1, x2, x3 …… xn 是 變量 。
可以看到 ， t 是 x1, x2, x3 …… xn 的 函數， 可以記為 t = f ( x1, x2, x3 …… xn ) ， 是一個 多元函數 。
小球 從 A 到 B 的 時間最短 就是 t 的 極值， 根據 n 元函數極值定理 ， 可以 列方程組 ：
∂ t / ∂ x1 = 0 2-1 式
∂ t / ∂ x2 = 0
∂ t / ∂ x3 = 0
……
∂ t / ∂ xn = 0
這個方程組 稱為 方程組 (2) 。
先 化簡 2-1 式 ，
∂ t / ∂ x1 = 0
∂ { AP1 / v1 + P1P2 / v2 + P2P3 / v3 + …… + PnB / vb } / ∂ x1 = 0
∂ ( AP1 / v1 ) / ∂ x1 + ∂ ( P1P2 / v2 ) / ∂ x1 + ∂ ( P2P3 / v3 ) / ∂ x1 + …… + ∂ ( PnB / vb ) / ∂ x1 = 0 (5) 式
因為 P2P3, v3, P3P4, v4, P4P5, v5 …… PnB, vb 和 x1 無關， 所以
∂ ( P2P3 / v3 ) / ∂ x1 = 0
∂ ( P3P4 / v4 ) / ∂ x1 = 0
∂ ( P4P5 / v5 ) / ∂ x1 = 0
…… = 0
∂ ( PnB / vb ) / ∂ x1 = 0
於是， (5) 式 得 ：
∂ ( AP1 / v1 ) / ∂ x1 + ∂ ( P1P2 / v2 ) / ∂ x1 + 0 + …… + 0 = 0
∂ ( AP1 / v1 ) / ∂ x1 + ∂ ( P1P2 / v2 ) / ∂ x1 = 0
∂ { 根號 [ ( x1 - Xa ) ² + ( y1 - Ya ) ² ] / v1 } / ∂ x1 + ∂ { 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² ] / v2 } / ∂ x1 = 0
因為 v1 = V ( x1, y1 ) = 根號 [ 2 g ( Ya - y1 ) ] ， 可以看到， v1 和 x1 無關， 或者說， 對於一個 確定 的 y1， 無論 x1 如何變化， v1 不變， 所以， 相對於 x1， v1 為 常量， 可以 提到 偏導符號 ∂ { } 外面 來 。 v2 也是 同樣 。
接下來 的 推導過程 和 方程組 (1) 的 1-1 式 類似， 同理可得 ：
1 / v1 * ( x1 - Xa ) / 根號 [ ( x1 - Xa ) ² + ( y1 - Ya ) ² ] = 1 / v2 * ( x2 - x1 ) / 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² ]
sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2
方程組 (2) 的 其它 方程 同理 可得 ：
sin θ2 / v2 = sin θ3 / v3
sin θ3 / v3 = sin θ4 / v4
sin θ4 / v4 = sin θ5 / v5
……
sin θn / vn = sin θb / vb
即 sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2 = sin θ3 / v3 = …… = sin θn / vn = sin θb / vb = C ， C 為常量
寫成通式 sin θ / v = C ， C 為常量
啊， 這， 算是 證明了 最速降線 的 每個 微元 都 滿足 斯涅耳定理（折射定律） ？
再來看一個題 ， 這個題 在 本文 命名為 題 (3) 。
如圖， A 、B 兩點 固定， C 、D 兩點 位置任意， 按 A 、C 、D 、B 的 順序 把 4 個 點 連起來， 可以構成一條 從 A 到 B 的 路徑， 稱為 ACDB 。
問 C 、D 的 位置 為何 時， 路徑 ACDB 最短 ？
設 ACDB 長度 為 L， A、B、C、D 的 坐標 為 ( Xa, Ya ) 、( Xb, Yb ) 、( xc, yc ) 、( xd, yd ) 。
L = AC + CD + DB
= 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( yc - Ya ) ² ] + 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( yd - yc ) ² ] + 根號 [ ( Xb - xd ) ² + ( Yb - yd ) ² ]
L = 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( yc - Ya ) ² ] + 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( yd - yc ) ² ] + 根號 [ ( Xb - xd ) ² + ( Yb - yd ) ² ]
Xa, Ya, Xb, Yb 為 常量， xc, yc, xd, yd 為 變量 。
L 是 xc, yc, xd, yd 的 函數， 可以記為 L = f ( xc, yc, xd, yd ) ， 是 一個 四元函數 。
根據 n 元函數極值定理， L 的 極值條件 是 以下 方程組 ：
∂ L / ∂ xc = 0 3-1 式
∂ L / ∂ yc = 0 3-2 式
∂ L / ∂ xd = 0 3-3 式
∂ L / ∂ yd = 0 3-4 式
這個 方程組 稱為 方程組 (3) 。
化簡 3-1 式 ：
∂ { 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( yc - Ya ) ² ] + 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( yd - yc ) ² ] + 根號 [ ( Xb - xd ) ² + ( Yb - yd ) ² ] } / ∂ xc = 0
∂ { 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( yc - Ya ) ² ] } / ∂ xc + ∂ { 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( yd - yc ) ² ] } / ∂ xc + ∂ { 根號 [ ( Xb - xd ) ² + ( Yb - yd ) ² ] } / ∂ xc = 0
∂ { 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( yc - Ya ) ² ] } / ∂ xc + ∂ { 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( yd - yc ) ² ] } / ∂ xc + 0 = 0
∂ { 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( yc - Ya ) ² ] } / ∂ xc + ∂ { 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( yd - yc ) ² ] } / ∂ xc = 0
1/2 * 1 / 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( yc - Ya ) ² ] * ( 2 xc - 2 Xa ) + 1/2 * 1 / 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( yd - yc ) ² ] * ( 2 xc - 2 xd ) = 0
( xc - Xa ) / 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( yc - Ya ) ² ] + ( xc - xd ) / 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( yd - yc ) ² ] = 0
( xc - Xa ) / 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( yc - Ya ) ² ] - ( xd - xc ) / 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( yd - yc ) ² ] = 0
( xc - Xa ) / 根號 [ ( xc - Xa ) ² + ( yc - Ya ) ² ] = ( xd - xc ) / 根號 [ ( xd - xc ) ² + ( yd - yc ) ² ]
sin θ1 = sin θ2
同理， 3-2 式 可得 ： cos θ1 = cos θ2
3-3 式 可得 ： sin θ2 = sin θ3
3-4 式 可得 ： cos θ2 = cos θ3
於是， 方程組 (3) 的 解 是 ：
sin θ1 = sin θ2 (6) 式
cos θ1 = cos θ2 (7) 式
sin θ2 = sin θ3 (8) 式
cos θ2 = cos θ3 (9) 式
(6) 式 (8) 式 表示 C 、D 和 A 、B 在 一條直線上， 且 C 、D 在 A 、B 之間 。
(7) 式 (9) 式 也表示 C 、D 和 A 、B 在 一條直線上， 且 C 、D 在 A 、B 之間 。
(6) 式 和 (7) 式 等價， (8) 式 和 (9) 式 等價 。
所以， 結論是， 當 A 、B 、C 、D 在 一條直線上， 且 C 、D 在 A 、B 之間 時， 路徑 ACDB 最短 。
當然， 這個 結論 是 顯而易見 的， 兩點之間直線最短 嘛 。
接下來， 看看 曲面 上 的 短程線 。 短程線 就是 曲面 上 2 點 間 距離 最短 的 線（曲線 / 路徑） 。 這個課題 在 本文 命名為 題 (4) 。
設有 曲面 P， 曲面函數 是 z = P ( x, y ) ， 曲面 上 有 A 、B 兩點， 位置確定 。 A 、B 坐標 是 ( Xa, Ya, za ) 、( Xb, Yb, zb ) ，
其中， za = P ( Xa, Ya ) ， zb = P ( Xb, Yb ) ， Xa, Ya, Xb, Yb 為 常量 。
在 曲面 上 取一些點 ： P1, P2, P3 …… Pn ， 按 A, P1, P2, P3 …… Pn, B 的 順序 把 A 、B 和 這些點 連起來， 構成 一條 路徑， 稱為 APB 。
APB 是 一條 折線， 長度 記為 L 。
L = AP1 + P1P2 + P2P3 + …… + PnB
= 根號 [ ( x1 - Xa ) ² + ( y1 - Ya ) ² + ( z1 - za ) ² ] + 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² + ( z2 - z1 ) ² ] + 根號 [ ( x3 - x2 ) ² + ( y3 - y2 ) ² + ( z3 - z2 ) ² ] + …… + 根號 [ ( Xb - xn ) ² + ( Yb - yn ) ² + ( zb - zn ) ² ]
其中， z1 = P ( x1, y1 )， z2 = P ( x2, y2 )， z3 = P ( x3, y3 ) …… zn = P ( xn, yn )
所以， L 是 x1, y1, x2, y2, x3, y3 …… xn, yn 的 函數， 可以記為 L = f ( x1, y1, x2, y2, x3, y3 …… xn, yn ) ， 是 一個 多元函數 。
當 n 為 一個 確定 的 自然數 時， 可以來求 最短 的 APB， 即 確定出 P1, P2, P3 …… Pn 的 位置， 使得 APB 最短 。
求 最短 的 APB 就是 求 L 的 極值 ， 根據 n 元函數極值定理， 可以 列方程組 ：
∂ L / ∂ x1 = 0 4-1 式
∂ L / ∂ y1 = 0 4-2 式
∂ L / ∂ x2 = 0
∂ L / ∂ y2 = 0
∂ L / ∂ x3 = 0
∂ L / ∂ y3 = 0
……
∂ L / ∂ xn = 0
∂ L / ∂ yn = 0
這個 方程組 稱為 方程組 (4) 。
化簡 4-1 式 ：
∂ ( AP1 + P1P2 + P2P3 + …… + PnB ) / ∂ x1 = 0
∂ ( AP1 ) / ∂ x1 + ∂ ( P1P2 ) / ∂ x1 + ∂ ( P2P3 ) / ∂ x1 + …… + ∂ ( PnB ) / ∂ x1 = 0
因為 P2P3, P3P4, P4P5 …… PnB 和 x1 無關， 所以
∂ ( P2P3 ) / ∂ x1 = 0
∂ ( P3P4 ) / ∂ x1 = 0
∂ ( P4P5 ) / ∂ x1 = 0
…… = 0
∂ ( PnB ) / ∂ x1 = 0
於是
∂ ( AP1 ) / ∂ x1 + ∂ ( P1P2 ) / ∂ x1 + 0 + …… + 0 = 0
∂ ( AP1 ) / ∂ x1 + ∂ ( P1P2 ) / ∂ x1 = 0
∂ { 根號 [ ( x1 - Xa ) ² + ( y1 - Ya ) ² + ( z1 - za ) ² ] } / ∂ x1 + ∂ { 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² + ( z2 - z1 ) ² ] } / ∂ x1 = 0 (10) 式
同理， 4-2 式 可得 ：
∂ { 根號 [ ( x1 - Xa ) ² + ( y1 - Ya ) ² + ( z1 - za ) ² ] } / ∂ y1 + ∂ { 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² + ( z2 - z1 ) ² ] } / ∂ y1 = 0 (11) 式
方程組 (4) 其它 方程 可得到 類似 (10) 式 (11) 式 的 結果， 所以 方程組 (4) 的 化簡結果 是 ：
∂ { 根號 [ ( x1 - Xa ) ² + ( y1 - Ya ) ² + ( z1 - za ) ² ] } / ∂ x1 + ∂ { 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² + ( z2 - z1 ) ² ] } / ∂ x1 = 0
∂ { 根號 [ ( x1 - Xa ) ² + ( y1 - Ya ) ² + ( z1 - za ) ² ] } / ∂ y1 + ∂ { 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² + ( z2 - z1 ) ² ] } / ∂ y1 = 0
……
∂ { 根號 [ ( xn - xm ) ² + ( yn - ym ) ² + ( zn - zm ) ² ] } / ∂ xn + ∂ { 根號 [ ( Xb - xn ) ² + ( Yb - yn ) ² + ( zb - zn ) ² ] } / ∂ xn = 0 ， m = n -1
∂ { 根號 [ ( xn - xm ) ² + ( yn - ym ) ² + ( zn - zm ) ² ] } / ∂ yn + ∂ { 根號 [ ( Xb - xn ) ² + ( Yb - yn ) ² + ( zb - zn ) ² ] } / ∂ yn = 0 ， m = n -1
這個 方程組 就是 曲面短程線方程組 。 方程組 (4) 有 2n 個 方程， 曲面短程線方程組 也有 2n 個 方程， 兩者一一對應 。
曲面短程線方程組 有 2n 個 未知數 ： x1, y1, x2, y2, x3, y3 …… xn, yn ，
把 曲面函數 z = P ( x,y ) 代入 曲面短程線方程組， 可以 解出 x1, y1, x2, y2, x3, y3 …… xn, yn ， 也就是 得到了 P1, P2, P3 …… Pn 的 位置，
把 A, P1, P2, P3 …… Pn, B 連起來， 得到 折線 APB ， APB 是 A 、B 兩點間 節點數 為 n 的 折線 中 最短 的 那一條 。 或者說， APB 是 A 、B 兩點間 節點數 為 n 的 最短折線 。
這里 組成 折線 的 線段 是 直線線段， 這些 線段 的 端點 在 曲面 上， 但是 線段 不在 曲面 上， 像是一些 架在 曲面 上的 橋梁 。
當 n -> 無窮 時， 折線 APB 就成了 光滑曲線， 就是 短程線， 當然， 光滑曲線 是 在 曲面 上 的 。
曲面短程線方程組 有 2n 個 未知數， 2n 個 方程， 是 一個 多元方程組， 要 怎么解 呢 ？ 用 計算機 解 吧， 哈哈 。 大概 應該是用 計算機 數值方法 來 解 。
當 n 為 有限大小 的 自然數 時， 方程 的 解 是 n 個 點 P1, P2, P3 …… Pn ， 把 A, P1, P2, P3 …… Pn, B 連起來 就可以得到 近似的 短程線 。
這可以用於 離散繪制， 比如 計算機模擬繪制 。
剛剛也說了， 曲面短程線方程組 得到 的 解 是 一些點 P1, P2, P3 …… Pn ， 理論上， 連接 這些 點 的 線段 是 直線線段，
但 模擬繪制 時， 連接 A, P1, P2, P3 …… Pn, B 的 線段 不一定 是 直線線段， 可以 近似 的 選擇 曲面 上 的 曲線線段，
比如， 連接 P1, P2 ， 可以 選擇 P1, P2 之間 在 曲面 上 的 一條 曲線線段， 大概的， 盡量 讓 這條 曲線線段 短一點 就行 。
計算機 數值方法 解 n 元方程組， 當 n 很大時， 計算量（時間復雜度） 很大， 即使 用 跨越步進法， 計算量 還是會很大 。 但有一點好處是， 數值方法 解 n 元方程組 可以 使用 並行計算， 就是說 可以 分解 為 多個 小任務 並行計算 。 未來， 大規模並行計算 是 計算 的 基礎架構， 也是 一個 主流， 也是 普及 的， 可以用 大規模並行計算 或 網格計算 等 來 解 n 元方程組， 這就 很爽 了， 哈哈 。
以 P1 、P2 、P3 表示 相鄰 的 3 個 點， P1 、P2 、P3 的 坐標 為 ( x1, y1, z1 ) 、( x2, y2, z2 ) 、( x3, y3, z3 ) ， 則 曲面短程線方程組 可以 寫成 通式 ：
∂ { 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² + ( z2 - z1 ) ² ] } / ∂ x2 + ∂ { 根號 [ ( x3 - x2 ) ² + ( y3 - y2 ) ² + ( z3 - z2 ) ² ] } / ∂ x2 = 0 (12) 式
∂ { 根號 [ ( x2 - x1 ) ² + ( y2 - y1 ) ² + ( z2 - z1 ) ² ] } / ∂ y2 + ∂ { 根號 [ ( x3 - x2 ) ² + ( y3 - y2 ) ² + ( z3 - z2 ) ² ] } / ∂ y2 = 0 (13) 式
其中， z1 = P ( x1, y1 )， z2 = P ( x2, y2 )， z3 = P ( x3, y3 ) 。
(12) 式 (13) 式 就是 曲面短程線微元方程組， 這個 方程組 的 意義 是， 在 曲面 P 上， 由 P1 、P2 兩個點， 可以決定 P3 。 P1, P2, P3 連成 的 折線 稱為 P1P2P3， 在 曲面 上 可以 任意 取 一個 點 Px， 按 P1, Px, P3 的 順序 把 3 個點 連起來， 得到 的 折線 稱為 P1PxP3， 由於 Px 的 位置任意， 所以， P1PxP3 這樣 的 折線 有 無數條， P1P2P3 是 這些 折線 中 最短 的 。
也可以說， P1P2P3 是 P1, P3 間 用 2 條 直線線段 連起來 構成 的 折線 中 最短 的 那一條 。
同樣， 可以由 P1, P3 決定 P2， 也可以由 P2, P3 決定 P1， 得到 的 P1P2P3 都是 P1PxP3 中 最短 的 。
(12) 式 (13) 式 中 代入 曲面函數 y = P ( x, y ) 求偏導 化簡 后， 得到的是 2 個 方程， 這 2 個 方程 中 有 6 個 未知數 x1, y1, x2, y2, x3, y3 ，
已知 x1, y1, x2, y2 可以求 x3, y3 ， 這是 由 P1, P2 決定 P3 。
已知 x1, y1, x3, y3 可以求 x2, y2 ， 這是 由 P1, P3 決定 P2 。
已知 x2, y2, x3, y3 可以求 x1, y1 ， 這是 由 P2, P3 決定 P1 。
但是， 由 (12) 式 (13) 式 對 x2, y2 求偏導 決定了， 把 P1, P2, P3 連成 折線 的 順序 是 P1, P2, P3 ， 這樣 連起來 得到的 折線 P1P2P3 才具有 “最短” 的 意義， 也就是 P1, P3 間 通過 2 條 直線線段 構成 的 折線 中 最短 的 那一條 的 意義 。
進一步， 在 曲面 上， 可以 任選 2 個 點 P1, P2， 由 (12) 式 (13) 式 可以 得到 P3， 再由 P2, P3 通過 (12) 式 (13) 式 得到 P4， 再由 P3, P4 得到 P5， …… 一直到 Pn ，
把 P1, P2, P3, P4, P5 …… Pn 連起來 得到 一條 折線， 稱為 P1Pn， P1Pn 是 P1, Pn 間 節點數 為 n - 2 的 最短折線 。 這里 的 節點數 是 P1, Pn 間 的 節點數， 不包括 P1, Pn 2 個點， 所以， P1, Pn 間 的 節點數 是 n - 2 。
(12) 式 (13) 式 這種方程 不是 一般意義 上 的 微分方程， 可以稱為 微元方程， 具有 離散性質 。 在 一些時候， 微元方程 可能 轉化為 微分方程， 比如 上文 的 題 (1) 、題 (2) 、題 (3) 。
看一下 曲面短程線方程組 的 實際應用， 以 球面 為例， 在 曲面短程線方程組 中 代入 球面函數 y = 根號 ( r ² - x ² - y ² ) ， 可以得到 球面短程線方程組 。
在 曲面短程線微元方程組 中 代入 球面函數 y = 根號 ( r ² - x ² - y ² ) ， 可以得到 球面短程線微元方程組 。
最后， 留一道題， 這題 在 本文 命名為 題 (5) 。
這題 是 最速降線 的 空間版， 在 三維空間 里， 有 A 、B 兩點， 建立一個 三維坐標系 xyz， z 軸 是 豎直方向（ 和 重力方向 平行） 。
A 和 B 在 豎直方向 上 不在 一個平面 上， 這是 和 二維版 最速降線 的 區別， 二維版 的 最速降線 A 和 B 在 重力方向 上 在 同一個平面 。
A 點 比 B 點 高 ， 問 小球 從 A 沿着 怎樣 的 曲線 滾動 到 B 所用 的 時間 最短 ？ 當然， 這條 曲線 就是 A 、B 間 的 最速降線， 也是 空間 中 的 最速降線 。