問題：設\(\displaystyle f\left( x,y \right)\)是定義在區域\(\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1\)，\(\displaystyle 0\leqslant y\leqslant 1\)上的二元連續函數，\(\displaystyle f\left( 0,0 \right) =0\)，且在\(\displaystyle \left( 0,0 \right)\)處，\(\displaystyle f\left( x,y \right)\)可微，求極限
\[I=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\int_0^{x^2}{\text{d}t}\int_x^{\sqrt{t}}{f\left( t,u \right) \text{d}u}}{1-e^{-\frac{1}{4}x^4}} \]
過程如下：首先利用等價無窮小及交換二重積分次序，對極限式做出簡化
\[\begin{align*} I&=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\int_0^{x^2}{\text{d}t}\int_x^{\sqrt{t}}{f\left( t,u \right) \text{d}u}}{1-e^{-\frac{1}{4}x^4}} \\ &=-4\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\int_0^{x^2}{\text{d}t}\int_{\sqrt{t}}^x{f\left( t,u \right) \text{d}u}}{x^4} \\ &=-4\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\int_0^x{\text{d}u}\int_0^{u^2}{f\left( t,u \right) \text{d}t}}{x^4} \end{align*} \]
對於極限\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\int_0^x{\text{d}u}\int_0^{u^2}{f\left( t,u \right) \text{d}t}}{x^4}\)，使用洛必達法則及積分中值定理，有
\[\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\int_0^x{\text{d}u}\int_0^{u^2}{f\left( t,u \right) \text{d}t}}{x^4}&=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\int_0^{x^2}{f\left( t,x \right) \text{d}t}}{4x^3} \\ &=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x^2\cdot f\left( \xi ,x \right)}{4x^3} \\ &=\frac{1}{4}\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f\left( \xi ,x \right)}{x} \end{align*} \]
其中\(\displaystyle \xi \in \left( 0,x^2 \right)\)
根據二元函數\(\text{Taylor}\)公式，我們有
\[\begin{align*} f\left( \xi ,x \right) &=f\left( 0,0 \right) +f_x\left( 0,0 \right) \xi +f_y\left( 0,0 \right) x+o\left( \sqrt{\xi ^2+x^2} \right) \\ &=f_x\left( 0,0 \right) \xi +f_y\left( 0,0 \right) x+o\left( \sqrt{\xi ^2+x^2} \right) \end{align*} \]
所以有
\[I=-f_y\left( 0,0 \right) -\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f_x\left( 0,0 \right) \xi +o\left( \sqrt{\xi ^2+x^2} \right)}{x} \]
以下，我們來計算這兩個極限：
\[\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f_x\left( 0,0 \right) \xi}{x},\quad \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{o\left( \sqrt{\xi ^2+x^2} \right)}{x} \]
一方面，由於
\[0\leqslant \lim_{x\rightarrow 0^+} \left| \frac{f_x\left( 0,0 \right) \xi}{x} \right|\leqslant \lim_{x\rightarrow 0^+} \left| \frac{f_x\left( 0,0 \right) x^2}{x} \right|=\lim_{x\rightarrow 0^+} \left| f_x\left( 0,0 \right) x \right|=0 \]
所以有\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f_x\left( 0,0 \right) \xi}{x}=0\)
另一方面，由於
\[\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{o\left( \sqrt{\xi ^2+x^2} \right)}{\sqrt{\xi ^2+x^2}}=0 \\ 0\leqslant \frac{\sqrt{\xi ^2+x^2}}{x}=\sqrt{\frac{\xi ^2+x^2}{x^2}}\leqslant \sqrt{\frac{x^4+x^2}{x^2}}=\sqrt{x^2+1}\leqslant \sqrt{2} \end{equation*} \]
所以有
\[\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{o\left( \sqrt{\xi ^2+x^2} \right)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{\xi ^2+x^2}\cdot o\left( \sqrt{\xi ^2+x^2} \right)}{x\sqrt{\xi ^2+x^2}}=0 \]
因此有
\[\begin{align*} I&=-f_y\left( 0,0 \right) -\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f_x\left( 0,0 \right) \xi +o\left( \sqrt{\xi ^2+x^2} \right)}{x} \\ &=-f_y\left( 0,0 \right) -0-0 \\ &=-f_y\left( 0,0 \right) \end{align*} \]
故所求極限\(\displaystyle I=-f_y\left( 0,0 \right)\).