我寫了一個 對 二元隱函數 數值求解 的 程序 。
項目地址 ： https://github.com/kelin-xycs/StepApproach
進入 項目頁面 后 點擊 右邊綠色 的 “Clone or download” 按鈕 就可以下載 項目文件 了 。 項目中 只有一個 程序文件 StepApproach.html ， 用 Html5 + javascript 寫的， 用 瀏覽器 打開 就可以運行 。
二元隱函數 就是一個 二元方程， 就是 一個方程 有 2 個 未知數， 把 未知數 看作 變量， 那 二元方程 就是 二元隱函數 。
一個未知數 看作 自變量， 另一個 未知數 看作 因變量 。
我們把 自變量 統稱為 x， 因變量 統稱為 y 。
這樣， 二元隱函數 可以 表示成 ： y = f ( x, y ) ， 或者 x = f ( x, y ) ， 或者 f ( x, y ) = C , C 為 常量 。
比如， 我們可以看看 一個 極坐標系 的 二元隱函數 ： ρ = tan ( θ + ρ ) ， θ 為 自變量， ρ 為 因變量 。
也可以寫成 ： y = tan ( x + y ) 。
對 二元隱函數 求解 就是 求 當 x = 某值 時， y 的 值 是多少 。
我寫的 程序 默認就是 對 y = tan ( x + y ) 這個 二元隱函數 求解 的 ， 效果如下 ：
x 表示 當 x = 某值 時 的 x， 就是 求 這個 x 對應 的 y 。
y 初始值 表示 數值求解 用於 匹配 的 y 的 初始值 ， 記為 y₀ 。
數值求解 的 算法 是這樣， 從 y₀ 開始， 用 y₀ 加上 一定 的 步長， 得到一個 y 值， 記為 y1， 把 y1 和 x 代入 方程， 計算得出 方程 等式兩邊 的 值， 然后求 等式兩邊 的 值 的 差 的 絕對值， 記為 diff 。 如果 diff 很小， 說明 等式兩邊 相差小， 則 y1 比較符合 x 對應 的 y， 即 y1 比較接近 理論解 。
如果 diff 很大， 說明 等式兩邊 相差大， 則 y1 不太符合 x 對應 的 y， 即 y1 比較遠離 理論解 。
所以， diff 也表示計算精度 。 diff 越小，計算精度越高， diff 越大，計算精度越低 。
上述過程 稱為 一個步長 的 匹配， 在完成一個步長的 匹配 后， 計算機 會 增加一個 步長， 即 讓 y₀ 加上 2 個步長， 即 ：
y2 = y₀ + 步長 * 2
把 y2 和 x 代入方程， 求 diff， 這和 y1 的 過程 一樣 ， 同理， 求
y3 = y₀ + 步長 * 3
y4 = y₀ + 步長 * 4
y5 = y₀ + 步長 * 5
……
的 diff， diff 最小 的 yn 就是 最終輸出 的 解 。
而 求多少個 yn 呢？ 這由 步數 決定， 比如 可以設定 步數 為 10， 或者 100 等等 。
這樣 求出來 的 解 還是 很粗略 的， 為了 提高 解 的 精度， 可以 設定 一個 新的 步長 和 步數， 再進行一輪 匹配 。
新一輪 的 步長 應該 比 上一輪 小， 表示 更 精細 的 匹配 。
用 上一輪 的 解（上一輪 中 diff 最小的 yn） 作為 下一輪 的 初始值 y₀ 。
這樣 經過 若干輪 匹配 之后， 得到 的 解 就 比較 精確 了 ， 或者說 diff 很小 。
這個算法 稱為 跨越逼近法， 又稱為 離散統計逼近法 。
這個算法 的 時間復雜度 是 O ( 第 1 輪 步數 + 第 2 輪 步數 + …… + 第 n 輪 步數 ) 。
如果 進行 9 輪 匹配， 每輪 步數 是 10， 則 時間復雜度 是 O ( 9 * 10 ) = O ( 90 ) 。
上面的 匹配過程 是 y₀ + 步長 * n， 實際上， 還有 y₀ - 步長 * n ， 也就是 負方向匹配 ， 匹配 是 雙向 的， y₀ + 步長 * n 是 正方向匹配 。
所以， 在 時間復雜度 中， O ( 1 ) 包含了 2 次匹配， 一次 是 正向匹配， 一次 負向匹配 。
但是， 為了 體現 步長 * 步數 的 關系， 在 計算 時間復雜度 時 沒有區分 正向負向匹配， 把 正負向 2 次 匹配 算作 一次 操作 O ( 1 ) 。