《寫給成年人的數學學習法》by 永野裕之

本文轉載自查看原文 2021-09-23 20:10 107 讀書筆記

《大人のための數學勉強法》永野裕之李俊譯

2021.9.15-2021.9.21 讀后雜記

這本書的中文譯名為《寫給全人類的數學魔法書》，而日文原意為《寫給成年人的數學學習法》。

此書的內容在我看來是非常非常之有用的。所以將其整理記錄。

書中幾乎所有的數學思想，都緊跟着相關數學習題，有助於我們理解。

第0部序言
第1部怎樣學好數學？
第2部在解題前應該掌握的知識
第3部遇到任何數學題都能夠解答的10種解題思路~
第4部解題方法綜合應用。
結語

第0部序言

很多人，認為數學好的人是有天賦的人，聰明的人，同時覺得自己在數學方面沒有才能。這種想法是錯誤的！

每個人都可以把數學學好，這並不要求我們有非凡的大腦，只要我們的智力正常，就可以學好數學。很多時候並不是我們沒有這方面的才能，而是我們掌握的學習方法不正確

將學會的知識教給別人。

For me 我們在教授的過程中，往往會注意到之前並沒有意識到的問題，教授他人可以加強自己對問題的理解，當然教學對象也可以是自己，記憶會更深刻。之前就很喜歡講給他人某項知識，一些人會去嘗試着理解，一些人則會~。

並不是所有人都有時間聽你講課，也並不是所有人都喜歡學習！尤其是在我們這個教育環境之下，學習是可怕的。所以漸漸只講給自己聽。自言自語。

我們為什么學數學，以前我不太懂。為了應試去學數學，很容易走到一種厭煩的境地。近幾年應試數學在學習中所占比重減小，尤其是在高考之后。自己出於興趣推導過導數的一些公式，看一些數學故事，以及一些國外的圖形化的數學概念視頻。慢慢感受到了數學之美，數學近乎於道。

愛因斯坦：“能夠忘掉在學校學到的知識，才算是教育。因為在校園里接受的只是最基礎的教育，學到的只是書本上的知識。要想真正學到人生有用的知識，就要自己去感悟，在實踐中獲得經驗與靈感。”

這本書第三部分會講適用於任何數學題的10種解題方法。

第1部怎樣學好數學？

1.1 死記硬背要不得

學數學不能死記硬背公式和解題方法，這不是數學的目的。要去發現數學里真的東西，體會思想。

體悟數學帶給你的美感，像聽一首歌。

1.2 代替死記硬背的方法

當你弄明白哪些地方你不明白，就意味着答案離你不遠了。所以要多問，為什么！

前提是，主動學習。

1.2.1 尋找或擴展概念之間的聯系

一次函數的圖像 y=ax+b 為直線， a表示斜率，b 表示與y軸的切線截距。

斜率 = $\frac{\triangle y}{\triangle x}$ , 不僅限於一次函數，在任何函數中都可以用得上。在一次函數之外，一般稱為“平均變化率”。當x無限趨近於0的時候，牛頓和萊布尼茨就從中得出了微分學的基本定理。

很多概念之間是有聯系的：
一次函數一次函數的圖像斜率的定義平均變化率微分學

平均變化率（自己證的）

一個二次函數圖像為曲線

\[y=x^2 + b \]

導數

\[\mathrm{d} y = 2x\mathrm{d} x \]

根據導數公式畫出導數的圖像，$x_{2} - x_{1}$之間的面積,就是這一段二次圖像的斜率之和

\[\int_{x_{1}}^{x_{2}}2x \mathrm{d} x \]

發現二次函數兩點間的斜率之和的平均等於一次函數兩點間的計算斜率的公式

\[\frac{\int_{x_{1}}^{x_{2}}2x \mathrm{d} x}{x_{2} - x_{1}} = \frac{\triangle y}{\triangle x} \]

我們在學習數學的過程中，要常常驗證定義和公式。驗證的過程中可以體會到前輩在發現它們時的驚訝和感動。自己動手來驗證，你就會有所感觸。這種感觸時知識向智慧的轉變。

1.3 對定理和公式進行驗證

問題不在於告訴他一個真理，而在於教他怎樣去發現真理。盧梭

我喜歡旅行，但不喜歡到達目的地。愛因斯坦

通常人們把登上山頂作為目的，把登山作為手段。或許兩者可以顛倒一下。三木谷浩史

結果並不是最關鍵的，重要的是它的過程。

For me 結果的意義由其過程賦予

在學習數學的過程中，如果說有什么東西值得背下來的話，那么就只有一個：對定義和公式的驗證方法。

在人類千百年來的實踐中，定理和公式是人類智慧的結晶。

1.3.1 勾股定理的驗證

直角三角形中：

\[a^2+b^2=c^2 \]

對於勾股定理的驗證至少有100種方法。

Pythagorean Theorem
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

1.3.2 平方的轉換

\[ax^2+bx+c=a(x+p)^2+q \]

十字相乘：(二次三項式) 交叉相乘平行相加

\[ax^2+bx+c \]

\[\frac{\begin{pmatrix} a_{1}x& + & c_{1}\\ & \times & \\ a_{2}x& + & c_{2} \end{pmatrix}}{b = a_{1}c_{2} + c_{1}a_{2}} \]

$a = a_{1}a_{2}$
$c = c_{1}c_{2}$
$b = a_{1}c_{2} + c_{1}a_{2}$ (十字相乘平行相加的和)

分解結果： $ax^2 + bx + c=(a_{1}x + c_{1})(a_{2}x + c_{2})$

1.3.3 平方轉換的基本公式

\[x^2+mx=(x+m/2)^2-(m/2)^2 \]

E.g.

\[x^2+10x=(x+5)^2-(5)^2 \]

這個公式在某些最終結果的化簡上有奇效，但是在求解方面要多用因式分解轉換！

1.3.4 找到靈光一閃的原因

從模仿開始，弄清楚那些靈感和奇思妙想得來的原因。

一個全新的創意能夠被想出來是非常不容易的。

1.4 准備自己的筆記寶庫

一定要用自己的話來做筆記。

細摘

定理*公式篇

把新學到的定理和公式給記下來。
寫下對這個定理或公式的驗證方法。
不要抄書，先自己打個草稿，把完整的過程寫下來。最后再謄寫到筆記本中。
其他的驗證方法。
與第二步驗證方法不同的就記下來。

習題篇

把題目抄到本子上。
沒有必要把所有的題目都抄下來，你的筆記本只記錄寶藏！如果你覺得這道題很有意義，從這道題的解法中可以學到許多東西。那就完整的記下來，因為以后還需要再看。
解題。
不要看書，自己先打個草稿，然后再抄到本子上。
其他的解法
記下解題的思路和想法。
許多題目在解題方法中往往都有共通的思路，本質性的思路，如果我們能領悟到的話，數學或許真的不再艱難！

第2部在解題前應該掌握的知識

2.1 數學領域的基本划分

algebra 代數 (涉及到未知數的數學)
代數的研究對象不僅是數字，而是各種抽象化的結構。在其中我們只關心各種關系及其性質，而對於“數本身是什么”這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、環、域、模、線性空間等。
解析(微積分*概率)
幾何(圖形)

這個似乎並沒有一個標准的答案，數學領域的基本划分。

2.2 演繹和歸納

找到規律性的結論。

2.2.1 演繹法：

把在整體當中成立的理論，應用到部分當中去。

E.g. 太陽是東升西落的，所以我家這里的太陽也是東升西落的。

2.2.2 歸納法：

把在部分當中成立的理論，推及到整體當中去。

E.g. 這家的蜂蜜是甜的，那家的蜂蜜也是甜的。所以蜂蜜都是甜的。

2.3 未知數

未知數的使用，有助於我們尋找事物背后隱藏的規律和性質。

2.3.1 去除未知數

題目 1：假設 $\sqrt{7}$ 的小數部分為 $a$, 求 $a^{2} + 4a - 7$ 的值。

解題思路：相對比較，等值代換，去除未知數。

解：

因為：

\[2<\sqrt{7}<3 \]

由題可知：

\[a=0.\square \square\square \square \]

\[\sqrt{7}= 2+ a \]

\[a=\sqrt{7}-2 \]

利用等值替換將a的值帶入方程：

\[(\sqrt{7}-2)^{2} + 4(\sqrt{7}-2) - 7 = -4 \]

2.4 練習冊后面的答案

我們常常發現，練習冊后面的答案都是精確並簡短的。

這是因為出版社對於字數，紙張，頁數的要求很嚴格。因此答案會盡量的精簡，這導致學生有時並不知道為什么這一步這樣算，下一步那樣算。只是感覺到答案撰寫者對於數學題目解答的智慧以及奇思妙想。

這種答案並不是靈光一閃就出來的，只不過是修飾過后的版本。只要我們認認真真，踏踏實實的思考，也可以得到！

重要的工具就是，基本的解題思路。 這本書之后會列舉10個解題思路。非常優美！

2.5 解題基本功

2.5.1 除法的兩種含義

例子：

\[12 \div 3 = 4 \]

包含：12里有幾個3？ 12里有4個3。
均分：12平均分成3個，每一份有4個。

2.5.2 圖表與聯立方程組之間的關系

\[\left\{\begin{matrix} y=2x+1 \\ y=-x+4 \end{matrix}\right. \]

$y=2x+1$ 表示一系列滿足這個方程的點 $(x,y)$, 這些點組合起來就變成了一條直線。也可以說滿足方程的點就在這條直線上。

$y=-x+4$ 表示一系列滿足這個方程的點 $(x,y)$, 這些點組合起來就變成了一條直線。滿足方程的點就在這條直線上。

聯立方程的意思就是，這個點既滿足第一個方程，又滿足第二個方程！於是，這個點即在 $y=2x+1$ 的直線上，也在 $y=-x+4$ 的直線上。

$(x,y)$ 就是兩個直線的交點！

2.5.3 輔助線

常用 平行線，垂直線。

2.6 數學好的人，頭腦里都裝了什么

一個人是否掌握了基本的解題思路，就決定了他數學成績的好壞！

無論多么復雜的應用題，都不過是由一個個基本的數學題組合而成的。越是復雜的問題，越要歸納出其中的原理，規則，定義。將復雜的問題分解成一個個基本問題。

for me 任何一個大型應用，也不過是由一個個基本的函數功能實現的。編程時遇到需要重復使用的代碼塊時，就要將它重構成一個基本的函數。

第3部遇到任何數學題都能夠解答的10種解題思路~

3.1 (解題思路1) 降低次方和次元

作用：數字的降次讓運算變得更簡單，立體圖形的降維讓圖形更容易把握。

3.1.1 降低次方

可以觀察到，隨着次方的增加，運算的復雜度也在增加。

\[(a+b)^{2} = a^{2}+ 2ab + b^{2} \]

\[(a+b)^{3} = a^{3}+ 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} \]

\[(a+b)^{4} = a^{4}+ 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4} \]

如果能夠降低次方，那么問題就會簡單很多！

因數分解公式

\[a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) \]

題目 2.1：求 $x^{3} - 1 = 0$ 的根。

解：

$x^{3} - 1^{3} = 0$
$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = 0$
$ \left\{\begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x^{2} + x + 1 = 0 \end{matrix}\right. $
1個實根： $x=1$

二次公式

\[\text{一元二次方程：}{a\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}+bx+c=0} \text{的兩根為：}\\ \mathop{{x}}\nolimits_{{1}}=\frac{{-b+\sqrt{{\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}-4ac}}}}{{2a}}\\ \mathop{{x}}\nolimits_{{2}}=\frac{{-b-\sqrt{{\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}-4ac}}}}{{2a}} \]

兩個虛根： $x= \frac{{-1 \pm \sqrt{{-3}}}}{{2}}$

虛數單位 $i$

\[i^{2} = -1 \]

這里我們帶入虛數

$x= \frac{{-1 \pm \sqrt{{-3}}}}{{2}} = \frac{{-1 \pm \sqrt{{3i^{2}}}}}{{2}} = \frac{{-1 \pm \sqrt{{3}}i}}{{2}}$

題目 2.2：求 $x$ 非實數根的4次方 11次方 30次方

由2.1的結論可知，非實數根本身就足夠復雜。更不必說它的高次方運算結果了。

我們能不能降低這些高次方的運算，將其變為第次方的運算呢？

或者換個說法，找到高次方和低次方的聯系。

假設：

\[\frac{{-1 \pm \sqrt{{-3}}}}{{2}} = w \]

$w$是希臘字母，讀作“歐米伽”。因為$w$是二次方程式$x^{2} + x + 1 = 0$的解，那么將$w$代入方程式，就可以得出：

\[w^{2} + w + 1 = 0 \]

進行變形：

\[w^{2} = - w - 1 \]

這其實就是一個高次方和低次方的聯系！

同時，$w$ 一開始就是$w^{3} = 1$ 的解所以

\[w^{3} = 1 = w^{0} \]

這又是一個高次方和低次方的聯系！

我們把這兩個聯系組合到一起，構成更加廣泛適用的高低次方聯系：

\[\left\{\begin{matrix} w^{2} = - w - 1 \\ w^{3} = 1 = w^{0} \end{matrix}\right. \]

解：

$w^{2} = w \cdot w^{3} = w$
$w^{11} = w^{2} \cdot w^{9} = w^{2} \cdot (w^{3})^{3} = w^{2} \cdot 1$
$w^{30} = (w^{3})^{10} = 1$

這就是降低次方的樂趣所在！

3.1.2 降低次元

在書本中出現的立體圖形，其實都是一個二維圖形，因為它們僅僅是一些線段在平面上鋪出來的。

當我們把3次元的物體落到2次元的平面上，圖形就會發成扭曲。

沒有任何一個正方體的物體落到2次元的平面上，會存在可測量的直角。

我們所要做的就是將題目中的各種“立體”圖形，分離成為一個2次元的圖形。

如上圖，如果我們要求其中藍色區塊的面積。在立體圖中並不是那么直觀，反而將他降次可以變得更真實更直觀。

3.2 （解題思路2）尋找周期性和規律性

作用：更容易把握那些無限延伸或非常龐大的數值。

for me 似乎任何數學解題法都可以歸類為尋找周期性和規律性不是么？

E.g. 整數：$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \ldots$

將它們分別$\div 3$，我們會發現所有的余數都在 $0, 1 ,2$ 里循環。

而這就是我們發現的規律性和周期性。是不是很簡單？

通過我們的發現我們可以將所有的整數都歸納為：

\[3n, 3n+1, 3n+2 \; (n \in \mathbb{Z}) \]

當我們遇到無限延伸或非常龐大的數字的時候，首先找找是否存在周期性和規律性，這種思路在數學學習上很有幫助。

模運算是周期性和規律性里的一個常見的組成部分。

3.2.1 找不着日歷也沒有關系

同鍾表以12為循環一樣，星期是以7為循環。

題目 3：某一年的3月1日是星期四.

問同年3月8日星期幾？

$(8-1) \div 7 = 1 \cdots 0$

答案是星期四。

再問同年3月15日星期幾？

$(15-1) \div 7 = 2 \cdots 0$

答案是還星期四。

再再問同年3月16日星期幾？

$(16-1) \div 7 = 2 \cdots 1$

答案是星期四的后一天，星期五。

這里又存在一個規律了。由這個規律可以得出一些有趣的結論。

每年的3月1日_{3月30日的星期與同年11月1日}11月30日的星期相同。
因為11月1日 - 3月1日間隔245天。$245 \div 7 = 35 \cdots 0$
每年的4月1日_{4月30日的星期與同年7月1日}7月30日的星期相同.

3.2.2 同余式

假設給定一個正整數 n, 然后用所有的整數除以 n, 根據所得余數對這些整數進行分類。由此高斯提出了同余式的理論。

$m \div n = q \cdots \cdots r$

\[n \; 稱為 \; 模 (modulus) \]

\[q \; 稱為 \; 商 (quotient) \]

\[r \; 稱為 \; 剩余 (residue) \]

同余式
當 a 除以 m 所得余數和 b除以 m 所得余數相同時，就將它們寫成：

\[a \equiv b \; (mod \; m) \]

同余式性質
當 $a \equiv b \; (mod \; m)$ ， $c \equiv d \; (mod \; m)$的時候

\[a + c\equiv b + d\; (mod \; m) \]

\[a - c\equiv b - d\; (mod \; m) \]

\[a c\equiv b d\; (mod \; m) \]

\[a^{n}\equiv b^{n}\; (mod \; m) \]

證明：

$a \div m = p \cdots \cdots r$ 可以表示成 $a = mp + r$

所以；

\[a = mp + r \]

\[b = m{p}' + r \]

\[c = mq + s \]

\[d = m{q}' + s \]

$p, {p}'$ 是因為他們的商不一樣。

代入計算即可驗證性質。其中第四條性質可以看做是第三條性質的推廣。

題目 4：假設數列 $\left \{a_{n}\right \}$ 的定義為：

\[a_{1}=1, a_{2}=1 \cdots \cdots a_{n+2}= a_{n+1} + a_{n} \; (n=1,2,3 \cdots \cdots) \]

當$\left \{a_{n}\right \}$為3的倍數的時候，求n的條件。
【大阪工業大學】

解：
對於遞推式，多列出幾項的結果，有助於尋找其中的規律。

項	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	$a_{6}$	$a_{7}$	$a_{8}$	$a_{9}$	$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{12}$
數字	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
余數	1	1	2	0	2	2	1	0	1	1	2	0

根據之前的性質：

\[a + c\equiv b + d\; (mod \; m) \]

遞推方程式：

\[a_{n+2}= a_{n+1} + a_{n} \]

假設：

\[a_{n+1} \equiv k \; (mod \; 3) \]

\[a_{n} \equiv l \; (mod \; 3) \]

可以得出：

\[a_{n+2} \equiv a_{n+1} + a_{n} \equiv k + l \; (mod \; 3) \]

也就是說，第三項的余數是前兩項余數之和 mod 3。

這樣我們就明白了了。為什么圖表所列的余數會是那樣。

同時我們發現了規律，因為是 mod 3，余數只可能是 0， 1， 2。他們以8個間隔為規律，進行重復。

斐波那契數列	mod 1	mod 2	mod 3	mod 4	mod 5
循環間隔	1	3	8	6	19

所以：

\[a_{n} \equiv a_{n+8} \; (mod \; 3) \]

又因為 8 個間隔中 0 出現了兩次，意味着這 2 個數被 3 整除了。

\[a_{4} \equiv a_{12} \equiv a_{20} \equiv \cdots \cdots \equiv 0\; (mod \; 3) \]

\[a_{8} \equiv a_{16} \equiv a_{24} \equiv \cdots \cdots \equiv 0\; (mod \; 3) \]

答：n 為 4 的倍數

這道題稍微有點難，但重點是，規律性和周期性是把握某些龐大的數字，無限數列，三角函數，n次方導數的很好的武器。

3.3 (解題思路3) 尋找對稱性

3.3.1 幾何圖形的對稱

題目 5：如下圖所示，P為直線上一點。當AP+PB長度最短時，求P點的位置。

解：
兩點之間直線距離最短。當我們找出 B 點關於直線的對稱點B' 后，通過直角三角形的全等。可以將問題轉化為 AP+PB‘ 長度最短，那畫一條直線就好了。

如果你站在一面大鏡子前。屋里漆黑一片。你拿着手電筒照向鏡子，當你發現另一個人在鏡子中被你照射到了，鏡子外他也被照射到了。光沿直線傳播。

3.3.2 對稱式

對稱式
調換未知數后，依舊和原先保持相等的多項式。

E.g. 在兩個未知數的情況下，對稱式有：

\[x+y, \; xy, \; x^{2} + y^{2},\; x^{3} + y^{3},\; \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \]

我們將 $x+y$ 和 $xy$ 稱為基本對稱式。 在對稱式中，有一個非常重要的性質，那就是，無論多么復雜的對稱式，都可以轉換成一個個基本對稱式的組合。這個證明有些困難，這里不再證明。

\[x^{2} + y^{2} = (x+y)^{2} -2xy \]

\[x^{3} + y^{3} = (x+y)^{3} -3xy(x+y) \]

\[\frac{x}{y}+\frac{y}{x} = \frac{(x+y)^{2} -2xy}{xy} \]

題目 6： $a \neq b$, 當$a^{2}+ \sqrt{2}b = \sqrt{3}, b^{2}+ \sqrt{2}a= \sqrt{3}$ 的時候，求

\[\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \]

的值【實踐女子大學】

解：
我們首先想到可不可以分別求出 a b 的值，做一個等值替換。發現不太好做。

注意到，所求是一個對稱式。可以轉換成為基本對稱式。所以我們只要求$a+b$ 和 $ab$ 的值即可。

\[\frac{a}{b}+\frac{b}{a} = \frac{(a+b)^{2} -2ab}{ab} \]

充分利用題目所給的條件，可以得到更多有效信息。我們可以通過進行加減乘除的組合，來豐富題目條件所帶來的信息。

做題時，如果題目中給出了 $a \neq b$，很可能就需要你吧等號兩邊同時除以 $a-b$ , 從而對方程式變形。

這道題用兩項相加相減就足夠了。

相加：

\[a^{2}+b^{2}+\sqrt{2}(a+b) =2 \sqrt{3} \]

相減：

\[a^{2}-b^{2} - \sqrt{2}(a-b) =0 \]

答案已經呼之欲出！

計算的過程不重要，重要的是，如果我們發現所要求值的算是是一個對稱式的話，就可以運用對稱式的性質來計算。 方程式的解和系數的關系，也可以用到對稱式的性質。

\[a\mathop{{x}}\nolimits^{{2}}+bx+c=0\\ \Delta =\mathop{{b}}\nolimits^{{2}}-4ac\\ \mathop{{x}}\nolimits_{{1}}+\mathop{{x}}\nolimits_{{2}}=-\frac{{b}}{{a}}\\ \mathop{{x}}\nolimits_{{1}}\mathop{{x}}\nolimits_{{2}}=\frac{{c}}{{a}} \]

3.3.3 相反方程式

方程式中系數的排列為左右對稱的形式，我們稱這樣的方程式為相反方程式。只要將相反方程式的同系輸的項進行並項，就能夠降低未知數的次方。

題目 7：求 $x^{4} + 7x^{3} + 14x^{2}+7x+1 = 0$ 的解。

解：
四次方程，其實是很難算解的，不過這個題就是一個相反方程式。所以可以進行同系數並項。降低次方。

\[1,7,14,7,1 \]

\[(x^{4} + 1) + 7(x^{3} +x)+ 14x^{2} = 0 \]

我們仔細觀察，發現解不可能是 0 ，所以方程兩邊同時除以 $x^{2}$

\[(x^{2} + \frac {1}{x^{2}}) + 7(x + \frac {1}{x}) +14 = 0 \]

\[(x + \frac {1}{x})^{2} - 2 + 7(x + \frac {1}{x}) +14 = 0 \]

假設:

\[x + \frac {1}{x}= t \]

方程可以變為：

\[t^{2}+7t+12=0 \]

這是一個典型的十字相乘。接下來就好做了。

3.4 （解題思路4）逆向思維

作用：避開困難的地方，尋找新的切入點，找到解題的捷徑。

例如：一個由扇形和一個不知名形狀陰影圖形組合而成的一個正方形，求不知名形狀陰影圖形的面積。

我們都知道正方形，和扇形的面積比較好算，因為都有公式，可以直接得出其面積。可出題人偏要讓我們求不知名形狀陰影圖形的面積。

這就很難算了。按照正常的公式計算思路根本不太可能計算出來。

那我們避開困難的地方，換個切入點，仔細觀察題目。發現：

正方形面積 = 扇形面積 + 不知名形狀的面積
不知名形狀的面積 = 正方形面積 - 扇形面積

結果一目了然。

逆向思維的要點就是打破常規的定式思維，定式思維在某些場合很有效率，不過有些時候反而會稱為絆腳石！萬物皆有兩面性。

for me 上大學的時候，老師上課前常說，班長數人！班長就開始數，1，2，3....53, 54, 55。好吧數了半天！我們的大學教室只有60個座位，如果掌握了逆向思維就知道這是一個小幽默。😀

3.4.1 遇到至少如何就要“逆向思維”

題目 8: 在自然數的 3 位數中，至少含有 1 個 1 的數字，有多少個？

解：
滿足至少含有 1 個 1 的數字，有三種情況。

含有 1 個 1 的數字
含有 2 個 1 的數字
含有 3 個 1 的數字

如果這個時候你開始算，那么你就輸了.....

沒錯是可以算出來，不過情況有些出奇的復雜。

100 - 999 這 900 個數字對於含有 1 總計有 4 類情況！

不含 1 的數字 648個

含有 1 個 1 的數字 225個
含有 2 個 1 的數字 26個
含有 3 個 1 的數字 1個

900 個數字都在這 4 類里！或者說，每 1 個數字對應其中的 1 種情況。

那我們為什么不求不含 1 的所有數字呢，然后用900減一下呢？

這樣就好算多了！

for me 至少什么什么，這種問題問出來就包含了一個容擴所有情況類別的集合，讓你所求至少什么什么，會占據其中大部分的類別，那么它的對立面所包含的情況就會少很多。我們要的就是對立面，就是不按常理出牌，就是逆向思維。

同理，如果你是一個聰明人，別人讓你怎么干，你就怎么干，那你就輸了。至少要玩出一點花樣來。這種花樣會帶給我們一些意想不到的好處！

3.4.2 反證法

反證法是驗證方法中最具代表性的方法之一。

反證法

對於要證明的事物，先進行否定假設。

再從中找出自相矛盾的地方。

費馬大定理

\[x^{n}+y^{n}=z^{n} \]

當 n 是 3 及 3 以上的自然數時，除了 0 之外，沒有任何數能夠滿足這個方程式的$(x,y,z)$

最終費馬大定理由 Andrew Wiles 證明(1994年），用的正是反證法。不過復雜很多。

常用的例如無理數的證明，無限循環數列的證明都可以使用反證法。

證明某個數是無理數 (不可以用分數表示 E.g. $\sqrt2$ )：
假設該數字是有理數(可以用分數表示) -> 從中找出自相矛盾的地方。
證明某個數列是無限循環的：
假設該數列所包含的數字是有限的 -> 從中找出自相矛盾的地方。(這個方法有點不太對勁我感覺)

題目 9：證明 $\sqrt2$ 為無理數。（此題目可能為校對錯誤原書為$\sqrt3$ 但證明的時候，兩頁紙都是證 $\sqrt2$）

證：

用反證法來證明此問題的原因有兩個：

任何一個實數，它不是有理數，就是一個無理數。
無理數不能用分數表示，那我們就來證明不能

假設 $\sqrt2$ 是有理數，$\frac{a}{b}$ 是不可約分數。

\[\sqrt2 = \frac{a}{b} \]

\[2 = \frac{a^{2}}{b^{2}} \]

\[b^{2} = 2a^{2} \]

$b^{2}$ 是 2 的倍數，說明 $b^{2}$ 是偶數。又因為奇數的平方不會是偶數，所以 b 也是偶數。於是，給出一個整數 m，假設：

\[b = 2m \]

帶入：

\[2m^{2} = a^{2} \]

所以a也是偶數，這與之前的假設，a b不可約分矛盾。

所以 $\sqrt2$ 是有理數的假設是錯誤的。

3.5 (解題思路5) 與其考慮相加, 不如考慮相乘

方程式是我們每個人都熟悉的數學式子。數學題里對於方程式的解法，幾乎都要用到變換。例如十字相乘，合並同類項，因式分解，等種種變換！

為什么不直接算呢？為什么要進行變換呢？

目的只有一個：通過方程式的變換，我們可以得到更多信息，使其更容易求解！

不同的變形方式，所得到的信息也不一樣，下面是根據3種變換所帶來的信息量的排列。

由少及多

\[A + B = 0 \]

\[A \times B = 0 \]

\[A^{2} + B^{2} = 0 \]

解析1：

\[A + B = 0 \]

從這個方程式中我們能得到的信息是：

\[A = - B \]

A，B 可以為任意兩個相反數：1 -1， 8 -8， 333 -333， 0 0. 具體是什么，我們也不清楚。因為存在無數種情況！

解析2：

\[A \times B = 0 \]

從這個方程我們能得到的信息是：

\[A=0 \: or \: B=0 \: or \: A=B=0 \]

A，B 只有三種情況，這也是為什么我們解方程要進行因數分解，造成方程式為一個乘積。

十字相乘是一個利用相乘的好例子：$ax^2 + bx + c=(a_{1}x + c_{1})(a_{2}x + c_{2})$

解析3：

\[A^{2} + B^{2} = 0 \]

從這個方程我們能得到的信息是：

\[A=B=0 \]

A，B 只有 1 種情況。不過此種情況在我們做題時，出現的較少。

例：

\[x^2 + y^2 -4x -10y = -29 \]

經過變換：

\[(x-2)^2 + (y-5)^2 = 0 \]

一般做圓形相關的題目時，這個方法發可以一試。若此方法不適用，那可能就很難算了。

3.5.1 不等式的證明

題目 10：證明當 $x>1, \; y>1$ 的時候, 不等式 $xy+1>x+y$

在數學中，未知數是大是小都不是實質性的問題，但是涉及到未知數的正負，零，等情況就有很大的差別，要特殊說明。

解：

根據題目所給信息進行一些變換，獲得一些題目之外的信息。

\[x>1, \; y>1 \]

\[x-1>0, \; y-1>0 \]

后面我們突然發現，我們確實需要這個變形得到的信息。很驚喜！

對於所要證明的結論做出一定的變形。

\[xy+1>x+y \]

\[xy+1-x-y>0 \]

注意，這只是待證明的結論的變形，也就是我們轉換了待證明的結論。

試一試因式分解吧，可不可能轉變成兩項相乘呢？

\[xy+1-x-y \\ x(y-1)-(y-1)\\ (x-1)(y-1) \]

題目前提：

\[x-1>0, \; y-1>0 \]

待證明結論：

\[(x-1)(y-1)>0 \]

證明成功！

題目 11：求方程式 $a^3-b^3=65$ 的所有整數解(a,b)

解：

\[(a-b)(a^2 + ab +b^2) = 1 \times 65 =5 \times 13 \]

\[\left\{\begin{matrix} a-b = 1 \\ a^2 + ab +b^2 = 65 \end{matrix}\right. \]

\[\left\{\begin{matrix} a-b = 65 \\ a^2 + ab +b^2 = 1 \end{matrix}\right. \]

\[\left\{\begin{matrix} a-b = 5 \\ a^2 + ab +b^2 = 13 \end{matrix}\right. \]

\[\left\{\begin{matrix} a-b = 13 \\ a^2 + ab +b^2 = 5 \end{matrix}\right. \]

有了這四個方程組，余下的解方程就好解了。1，2，4 沒有實數解。3正好可以解出實數解。解方程要與圖像聯系起來才會更直觀。

3.6 (解題思路6) 相對比較

作用：通過減法運算找出隱藏的性質。

for me 減，可以減掉相同的東西，而露出不同來。生活中很常用！一個人怎樣才算出眾？為什么黃金就比鐵貴？世界的多彩正是因為各有差別，差別如何而來？靠的就是“減法”。 減法意味着比較，比較意味着多個元素。

若要確定光明，就得去尋找黑暗。

3.6.1 無限循環小數

題目 12：用分數表示無限循環小數 $0.147147147 \cdots$

解：

這道題初解有一點困難，因為這只有一個數。而分數需要兩個數。

那我們就創造一個數來作為比較者，這個比較者由這個無限循環產生，而又不是這個無限循環小數。這個比較者還要有原來的性質。

怎么做呢？答案是乘法(加法)！

設：

\[x = 0.147147147 \cdots \]

\[1000x = 147.147147147 \cdots \]

我們看到小數點后是一樣的。乘法過后，比較者也產生了無限循環的特質。

\[1000x - x = 147 \\ 999x = 147 \]

3.6.2 差分數列

題目 13：在平面上有100條直線，沒有任何兩條直線互相平行，也沒有任何3條直線有共同的交點。求平面上總共有多少個交點？

解：

這個題目最重要的是理解題意。如果你不理解可以去自己嘗試着畫出符合題目要求的圖片。由簡單到復雜。

我們發現，滿足圖片的直線。每多一條，多出來的那條直線就要與之前的所有直線相交。一個交點只能有兩條線。

得出結論：

用未知數來歸納，假設平面上現在有直線 n 條，交點數目為 $a_n$ 個, 再增加一條直線，勢必會與其他的 n 條相交，多出 n個交點。

\[a_{n+1} = a_n + n \]

利用相對比較發現交點的規律:

交點數：

\[0, 1, 3, 6, 10, 15, 21 \cdots \]

相領兩項之差；

\[1, 2, 3, 4, 5 \cdots \]

第一百項(補齊每兩項之間的差)

\[1+2+3+4+5+ \cdots +99 =4950 \]

差也好，還是什么也好，是工具，是沿途的風景，終點則是找到規律。

3.7 (解題思路7) 歸納性思考實驗

我們所學的絕大多數數學定理並不是一開始，就存在的。而是通過前人歸納性的思考過程，提出猜想，驗證猜想從而得出來的。

3.7.1 數學歸納法

數學歸納法，是數學當中的論證方法之一，是用來證明有關自然數$$的問題的方法。

存在第一數學歸納法，第二數學歸納法。這里是第一數學歸納法。

第一數學歸納法步驟

證明：當 n=1 的時候命題成立。

證明：如果當 n=k 的時候命題成立，那么 n=k+1 的時候命題成立。

第一個證明是找到一個支撐點。第二個證明是支撐點的前后連接關系。

題目 14：$a_1 = 3, a_{n+1}= \frac{3a_n - 4}{a_n - 1} \: (n=1,2,3 \cdots \cdots)$求數列${a_n}$的通項。

解：
這種形式表示相鄰兩項之間關系的算式，叫做遞推方程式。

我們將 1, 2 , 3 ..代入到題目中去，從而獲得一些對於數列${a_n}$通項的猜想。

\[a_1 = 3 \\ a_2 = \frac{3a_1 - 4}{a_1 - 1} = \frac{5}{2} \\ a_3 = \frac{7}{3} \\ a_4 = \frac{9}{4} \\ a_5 = \frac{11}{5} \]

經過一番思考，我們得到一個直觀的猜想，注意這只是猜想，而並沒有證明來支持這個猜想是對的。迄今為止，我們只知道，這個猜想對於 $a_5$ 以下的項成立，不過萬一 $a_6$ 不成立呢？

\[a_n = \frac{2n+}{n} \]

迄今為止，我們只知道，這個猜想對於 $a_5$ 以下的項成立，不過萬一 $a_6$ 不成立呢？ 所以我們需要一個證明，證明猜想的正確性，這個方法就是 數學歸納法！

1.當 $n=1$ 時

\[a_1 = 3 = \frac{3}{1} \]

這是正確的。

2.假設當 $n = k$ 時

\[a_k = \frac{2k+1}{k} \]

成立，那么

\[a_{k+1} = \frac{3a_k - 4}{a_k - 1} = \frac{3 \times \frac{2k+1}{k}-4}{\frac{2k+1}{k} -1} =\frac{2k+3}{k+1} \]

要點就是，實際的東西同猜想相等就算證明成功。

1是由猜想到實際的證明，2是在假設的前提下由實際到猜想的證明。

3.8 (解題思路8) 數學問題圖像化

這塊作者介紹了復雜的方程求解轉變成圖像交點問題后，變得十分簡單。數列極限問題的圖像化解法，這里有一個高明的地方是，把遞推公式轉變為方程，再畫出來。前一項 x 后一項 y 之間可以用$y=x$ 這條直線將 y 映射到 x 軸上。

for me：任何時候，將一個數學問題圖像化，微積分，線性代數矩陣，機器學習的梯度下降，都會給我們帶來直觀，直覺上的理解。這種感覺是很棒的。

3.9 (解題思路9) 等值替換

等值替換的精髓就是 必要條件，充分條件

\[P \Rightarrow Q \:\:\:\:\:\: Ture \]

\[Q \Rightarrow P \:\:\:\:\:\: False \]

就拿書上的例子說。住在千葉代區可以推論出住在東京，而住在東京卻推論不出住在千葉代區。

我們稱

\[\left\{\begin{matrix} P 是Q的充分條件 \\ Q是P的必要條件 \end{matrix}\right. \]

范圍小的是充分條件，范圍大的是必要條件。

充分必要條件(等值)

\[P \Leftrightarrow Q \]

無論是從P推Q，還是從Q推P，都可以推出來。兩方面都成立。或者說兩者都是一個意思。

這個時候P和Q可以相互替換我們稱之為等值替換。

3.8.1 等值替換之方程式

\[x^2+3x+2 = 0 \Leftrightarrow (x+1)(x+2)=0 \]

我們其實常常使用等值替換，但是等值替換要注意 “等值”

比如用一個新的未知數置換方程式中的某一項，要考慮到這個新未知數的取值范圍，這是很顯然的。新未知數的取值范圍要同被替換的方程式的取值范圍一致。否則就不能叫做等值替換。

題目 15：求解 $x -2 = \sqrt{x}$

解：

將方程式兩邊同時乘以對應的平方。

\[(x-2)^2 = x \\(x-1)(x-4)=0\\ x=1 \: or \: x=4 \]

如果我們稍稍驗證結果，就會發現 $x=1$是錯誤的。

為什么呢？因為兩邊同時乘對應的平方后，同之前並不是等值替換！

\[A=B \Rightarrow A^2=B^2 \:\:\:\:\:\: Ture\ \]

\[A^2=B^2 \Rightarrow A=B \:\:\:\:\:\: False\ \]

這里 $A^2=B^2$ 是必要條件(范圍大)，$A=B$ 是充分條件(范圍小)。根據必要條件得出的結論適用於必要條件(全集)並不一定適用於充分條件(子集)，也就是我們得到了一個包含正確答案的大的集合。

雖然這是一個非等值替換，但也不是不可以。我們只需要將結果驗證，將屬於充分條件的結果選出來，這樣就沒有問題了。

3.10 (解題思路10) 從終點追溯原點

作用：常用於證明題

很多人都不會做證明題，因為似乎答案也沒有一個標准。實際上，證明題是沒有固定的答題形式，只要你寫出來的東西能夠讓人看懂。證明的形式可以根據自己的喜好來。

當我們找不到證明的頭緒時，不妨看一看題目中給出的結論。不妨通過終點來追溯，想一想結論的前一步是什么。

題目 16：當 a>0, b>0時，證明：

\[\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \]

從結論處入手 前推一步

\[a+b \geqslant 2\sqrt{ab} \]

再上一步

\[a+b - 2\sqrt{ab} \geqslant 0 \]

考慮是不是可以變將左式成平方項

\[(\:\:\:\:\:)^2 \geqslant 0 \:\:\:\:\: ? \]

我們需要一點數學的直覺！根據這個式子，我們可以替換 $a,b$ 為 $\sqrt{a}, \sqrt{b}$

\[(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2\\ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a-2\sqrt{ab}+b \]

好了，這回反着寫就證明了！

for me 反着來想確實會比正着來想某些時候簡單一點。這似乎與相加相乘那里很像！ 縮減范圍

第4部解題方法綜合應用。

這里有四道題，都挺難的。類似高考倒數壓軸題，不那么簡單。這里就不再寫了。

怎么綜合應用解題方法是一個綜合性的問題，需要各種方法之間的配合，需要長時間的聯系，以及對於數學的感覺。

1. 降低次方和次元

拉格朗日定理
三角函數半角公式
三角函數乘法公式和加法公式
空間向量
三角函數的積分
部分積分
凱萊-哈密爾頓定理

2. 尋找周期和規律性

三角函數圖像
遞推公式
n次導函數
部分積分
行列的n次方

3. 尋找對稱性

解和系數的關系
3次函數的圖像
偶函數和奇函數的積分

4. 逆向思維

對數
積分
反函數
反行列

5. 相加變相乘

等式，不等式的證明
式變形

6. 相對比較

差分數列
遞推公式
向量的分解

7. 歸納性思考實驗

數學歸納法
分數遞推公式
整數問題

說數學分兩類人，一類給看數字就行了，一類給看圖片就行了。

8. 圖像化

軌跡和領域
三角方程式，三角不等式
函數的趨向，極限，圖像
定積分和面積
函數的最大最小值
向量的內部乘積
向量的方程式
數列的極限
中間值定理
平均值定理
極限坐標和機芯啊方程式

9. 等值替換

恆等式
等式，不等式的證明
三角方程式
指數方程式
對數方程式

10. 通過終點追溯原點

所有的證明題

結語

9.21-10.04
今天終於把筆記完成了，也做復習一遍。看書真的比做筆記簡單多了。

最近在找數學分析方面的教科書，翻到北京某高校數學系老師的一個薦書視頻，特別好玩的是，老師說，數學就是正面干！當時我聽得直接氣血翻涌，一股豪氣升騰而上，至此對數學五體投地，無論生老病死，貧窮還是富有，就正面干了！喜歡就要無所畏懼！可擔憂的就是自學沒有氛圍，沒有求解之路。當初學舒幼生老師的力學便是沒想明白一個問題就放棄了...... 不知道是社么心態😶。

北京某高校清華
北京某大學北大

有沒有很😵

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項	\(a_{1}\)	\(a_{2}\)	\(a_{3}\)	\(a_{4}\)	\(a_{5}\)	\(a_{6}\)	\(a_{7}\)	\(a_{8}\)	\(a_{9}\)	\(a_{11}\)	\(a_{12}\)	\(a_{12}\)
數字	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
余數	1	1	2	0	2	2	1	0	1	1	2	0