作者：Grey
原文地址: KMP算法解決字符串匹配問題
要解決的問題
假設字符串str長度為N，字符串match長度為M，M <= N, 想確定str中是否有某個子串是等於match的。返回和match匹配的字符串的首字母在str的位置，如果不匹配，則返回-1
OJ可參考：LeetCode 28. 實現 strStr()
暴力方法
從str串中每個位置開始匹配match串，時間復雜度O(M*N)
KMP算法
KMP算法可以用O(N)時間復雜度解決上述問題。
流程
我們規定數組中每個位置的一個指標，這個指標定義為
這個位置之前的字符前綴和后綴的匹配長度，不要取得整體。
例如: ababk 這個字符串，k位置的指標為2, 因為k之前位置的字符串為abab
前綴ab 等於 后綴ab，長度為2，下標為3的b的指標為1，因為b之前的字符串aba ,前綴a 等於后綴a, 長度為1。
人為規定：0位置的指標是-1，1位置的指標0
假設match串中每個位置我們都已經求得了這個指標值，放在了一個next數組中，這個數組有助於我們加速整個匹配過程。
我們假設在某個時刻，匹配的到的字符如下
其中str的i..j一直可以匹配上match串的0...m, str中的x位置和match串中的y位置第一次匹配不上。如果使用暴力方法，此時我們需要從str的i+1位置重新開始匹配match串的k位置，而KMP算法，利用next數組，可以加速這一匹配過程，具體流程是，依據上例，我們可以得到y位置的next數組信息，假設y的next數組信息是2，如下圖
如果y的next數組信息是2，那么0...k 這一段完全等於f...m這一段，那么對於match來說，當y位置匹配不上x位置以后, 可以直接讓x位置匹配y的next數組位置p上的值，如下圖
如果匹配上了，則x來到下一個位置，p來到下一個位置繼續匹配，如果再次匹配不上，假設p位置的next數組值為0, 則繼續用x匹配p的next數組位置0位置上的值，如下圖
如果x位置的值依舊不等於0位置的值，則宣告本次匹配失敗，str串來到x下一個位置，match串從0位置開始繼續匹配。
next數組求解
next數組的求解是KMP算法中最關鍵的一步，要快速求解next數組，需要做到當我們求i位置的next信息時，能通過i-1的next數組信息加速求得,如下圖
當我們求i位置的next信息時，假設j位置的next信息為6，則表示
m...n這一段字符串等於s...t這一段字符，此時可以得出一個結論，如果：
x位置上的字符等於j位置上的字符，那么i位置上的next信息為j位置上的next信息加1，即為7。如果不等，則繼續看x位置上的next信息，假設為2，則有：
此時，判斷q位置的值是否等於j位置的值，如果相等，那么i位置上的next信息為x位置上的next信息加1，即為3，如果不等，則繼續看q位置上的next信息，假設為1，那么有
此時，判斷p位置的值是否等於j位置的值，如果相等，那么i位置上的next信息為q位置上的next信息加1，即為2，如果不等，則繼續如上邏輯，如果都沒有匹配上j位置的值，則i位置的next信息為0。
主流程代碼復雜度估計
public class LeetCode_0028_ImplementStrStr {
public static int strStr(String str, String match) {
if (str == null || match == null || match.length() > str.length()) {
return -1;
}
if (match.length() < 1) {
return 0;
}
char[] s = str.toCharArray();
char[] m = match.toCharArray();
int l = m.length;
int[] next = getNextArr(m, l);
int x = 0;
int y = 0;
while (y < s.length && x < l) {
if (s[y] == m[x]) {
y++;
x++;
} else if (x != 0) {
x = next[x];
} else {
y++;
}
}
return x == l ? y - x : -1;
}
// 求解next數組邏輯
private static int[] getNextArr(char[] str, int l) {
if (l == 1) {
return new int[]{-1};
}
int[] next = new int[l];
next[0] = -1;
next[1] = 0;
int i = 2; // 目前在哪個位置上求next數組值
int cn = 0; // 前后綴最長字符的長度，也表示下一個要比的信息位置
while (i < next.length) {
if (str[i - 1] == str[cn]) {
next[i++] = ++cn;
} else if (cn > 0) {
cn = next[cn];
} else {
next[i++] = 0;
}
}
return next;
}
}
next數組的求解流程時間復雜度顯然為O(N)，現在估計主流程的復雜度，主流程中，x能取得的最大值為str字符串的長度N，定義一個變量x-y,能取得的最大值不可能超過N（即當x = N，y=0時候），在主流程的wile循環中，有三個分支
while (y < s.length && x < l) {
if (s[y] == m[x]) {
y++;
x++;
} else if (x != 0) {
x = next[x];
} else {
y++;
}
}
我們考慮這三個分支對於y和y - x變化范圍的影響
| 分支 | y | y - x |
|---|---|---|
| x++; y++ | 推高 | 不變 |
| x = next[x] | 不變 | 推高 |
| y++ | 推高 | 推高 |
如上分析，y和y-x都不可能降低，且三個分支只能中一個，所以，而y和y-x的最大值均為N，所有分支執行總推高的次數不可能超過2N。即得出主流程的復雜度O(N)
KMP算法應用
求一個字符串的旋轉詞（詳見：LeetCode 796）
思路
將這個字符串拼接一下, 比如原始串為：123456，拼接成：123456123456
如果匹配的字符串是這個拼接的字符串的子串，則互為旋轉詞。
一棵二叉樹是否為另外一棵二叉樹的子樹(詳見：LeetCode 572)
思路
先將兩棵樹分別序列化為數組A和數組B，如果B是A的子串，那么A對應的二叉樹中一定有某個子樹的結構和B對應的二叉樹完全一樣。