夾逼定理 和 洛必達法則 是 廣大師生 耳熟能詳 喜聞樂見 的 求極限 定理 。
這篇文章 也是 由 《這一題該怎么證明？》 https://tieba.baidu.com/p/7541594883 這個 帖 引出來 的 ， 為什么 說 “也” 呢 ？ 《這一題該怎么證明？》 里 列了 幾道題， 我先做了 第 21 題， 見 《一道數學題 ： 數列 { bn } 收斂， 證明 { an } 也收斂》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15306962.html 。 然后 又 看了 第 19 題， 想到了 夾逼定理， 進而 又 想到了 洛必達法則 。
證明 夾逼定理 ，
設 數列 { an } 、{ bn } 、{ cn } ， an < cn < bn ， 當 n -> 無窮 時， an -> A， bn -> A， A 為常量 ， 試證明 cn -> A 。
因為 an < cn < bn ，
cn - an = d1 ， d1 > 0
bn - cn = d2 ， d2 > 0
bn - an = d1 + d2
當 n -> 無窮 時， an -> A， bn -> A，
於是， 當 n -> 無窮 時， bn - an -> A - A = 0 ，
bn - an = d1 + d2 -> A - A = 0
d1 + d2 -> 0
因為 d1 + d2 -> 0 ， d1 > 0 ， d2 > 0 ， 所以 d1 -> 0 ， d2 -> 0 ，
因為 cn - an = d1 ， cn = an + d1 ， 當 n -> 無窮 時， an -> A， d1 -> 0 ，
所以， 當 n -> 無窮 時 ， cn = an + d1 -> A + 0 = A
當 n -> 無窮 時， cn -> A
證明 洛必達法則 ，
洛必達法則 其實 就是 看 兩個 函數 都 趨於 0 時， 誰 趨近 的 快 ？ 快多少 ？
根據 導數 的 定義，
f ′ ( x ) = [ f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / ⊿ x , ⊿ x -> 0
g ′ ( x ) = [ g ( x + ⊿ x ) - g ( x ) ] / ⊿ x , ⊿ x -> 0
當 f ( x ) = 0 ， g ( x ) = 0 時，
f ′ ( x ) / g ′ ( x )
= [ f ( x + ⊿ x ) - f ( x ) ] / [ g ( x + ⊿ x ) - g ( x ) ]
= [ f ( x + ⊿ x ) - 0 ] / [ g ( x + ⊿ x ) - 0 ]
= f ( x + ⊿ x ) / g ( x + ⊿ x ) ， ⊿ x -> 0
因為 ⊿ x -> 0 ， 所以 f ( x + ⊿ x ) -> f ( x ) ， g ( x + ⊿ x ) -> g ( x ) ， f ( x + ⊿ x ) / g ( x + ⊿ x ) -> f ( x ) / g ( x )
於是， f ′ ( x ) / g ′ ( x ) = f ( x + ⊿ x ) / g ( x + ⊿ x ) -> f ( x ) / g ( x )
f ′ ( x ) / g ′ ( x ) -> f ( x ) / g ( x )
即 當 f ( x ) = 0 ， g ( x ) = 0 時， f ′ ( x ) / g ′ ( x ) -> f ( x ) / g ( x )
還可以 這樣 證 ，
當 x -> x₀ 時， f ( x ) = f ( x₀ ) + f ′ ( x₀ ) ⊿ x ， g ( x ) = g ( x₀ ) + g ′ ( x₀ ) ⊿ x
若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0
f ( x ) / g ( x )
= [ f ( x₀ ) + f ′ ( x₀ ) ⊿ x ] / [ g ( x₀ ) + g ′ ( x₀ ) ⊿ x ]
= [ 0 + f ′ ( x₀ ) ⊿ x ] / [ 0 + g ′ ( x₀ ) ⊿ x ]
= [ f ′ ( x₀ ) ⊿ x ] / [ g ′ ( x₀ ) ⊿ x ]
= f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
即 當 x -> x₀ 時， 若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0 ， 則 f ( x ) / g ( x ) = f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
還可以 這樣 證 ，
若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0 ， 有
f ( x ) = f ( x ) - 0 = f ( x ) - f ( x₀ )
g ( x ) = g ( x ) - 0 = g ( x ) - g ( x₀ )
f ( x ) / g ( x )
= [ f ( x ) - f ( x₀ ) ] / [ g ( x ) - g ( x₀ ) ]
當 x -> x₀ 時
= [ f ′ ( x₀ ) ⊿ x ] / [ g ′ ( x₀ ) ⊿ x ]
= f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
即 若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0 ， 當 x -> x₀ 時， f ( x ) / g ( x ) = f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
還可以 這樣 證 ，
設 ʃ f ′ ( x ) dx = f1( x ) + C ， ʃ g ′ ( x ) dx = g1 ( x ) + C
有 f ( x ) = f1 ( x ) + C (1) 式
若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0
將 f ( x₀ ) = 0 代入 (1) 式，
f ( x₀ ) = f1 ( x₀ ) + C
0 = f1 ( x₀ ) + C
C = - f1 ( x₀ )
把 C 代回 (1) 式，
f ( x ) = f1 ( x ) - f1 ( x₀ )
同理， g ( x ) = g1 ( x ) - g1 ( x₀ )
f ( x ) / g ( x )
= [ f1 ( x ) - f1 ( x₀ ) ] / [ g1 ( x ) - g1 ( x₀ ) ]
當 x -> x₀ 時
= [ f ′ ( x₀ ) ⊿ x ] / [ g ′ ( x₀ ) ⊿ x ]
= f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
即 若 f ( x₀ ) = 0 ， g ( x₀ ) = 0 ， 當 x -> x₀ 時， f ( x ) / g ( x ) = f ′ ( x₀ ) / g ′ ( x₀ )
以上 是 夾逼定理 和 洛必達法則 。
在 網上 經常看到說 求 sin x / x , x -> 0 的 極限 是 用 夾逼定理， 那 要 怎么 “夾” ？ 用 什么 夾 ？ 我們來試試 。
一天后， 想了一天， 也 沒想出來 用 夾逼定理 怎么 求 sin x / x , x -> 0 。 比如 x / x = 1， x / x > sin x / x ， 當 x -> 0 時， x / x -> 1 。 這算是 用來 “夾” sin x / x 的 一邊， 還要 找 另一邊 g ( x ) ， g ( x ) < sin x / x ， 當 x -> 0 時， g ( x ) -> 1 。
問題 是 這個 g ( x ) 怎么找 ？ 即使 找到了 ， 很可能 g ( x ) 的 表達式 比 sin x / x 還復雜， 求 g ( x ) , x -> 0 可能比 求 sin x / x , x -> 0 更復雜 。
g ( x ) , x -> 0 表示 x -> 0 時， g ( x ) -> ? ， 也就是 x -> 0 時， g ( x ) 的 極限， 也就是 lim g ( x ) , x -> 0 。
求 g ( x ) , x -> 0 也要 處理 圓弧 和 弦 的 關系， 或者說 三角函數 關系 。
sin x / x , x -> 0 已經是 最簡單 的 一個 極限 ， 其實 用 洛必達法則 最簡單 。
因為 當 x = 0 時， sin x = 0， x = 0
於是， 當 x -> 0 時，
sin x / x
= ( sin x ) ′ / x ′
= cos x / 1
= cos x
= cos 0
= 1