斐波那契數（Java）

斐波那契數，通常用 F(n) 表示，形成的序列稱為 斐波那契數列 。該數列由 0 和 1 開始，后面的每一項數字都是前面兩項數字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

給你 n ，請計算 F(n) 。

解題思路

斐波那契數是一道非常經典的題目，可以使用暴力遞歸，也可以使用動態規划等方法。本題給出四種解答，分別是

1. 代碼1 —— 暴力題解
2. 代碼2 —— 使用帶備忘錄的遞歸解法
3. 代碼3 —— dp數組的動態規划方法
4. 代碼4 —— 迭代，優化空間復雜度

代碼1 —— 暴力題解

class Solution {
    public int fib(int n) {
        // base case
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n;
        }
        // 遞推關系
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
}

時間復雜度：O(2^N)

空間復雜度：O(1)

代碼2 —— 帶備忘錄的遞歸解法

class Solution {
    public int fib(int n) {
        // 備忘錄全部初始化為0
        int[] memo = new int[n + 1];
        // 進行帶備忘錄的遞歸
        return helper(memo, n);
    }

    private int helper(int[] memo, int n) {
        // base case
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n;
        }
        // 進行檢查，已經計算過就不用在計算了
        if (memo[n] != 0) {
            return memo[n];
        }
        memo[n] = helper(memo, n - 1) + helper(memo, n - 2);
        return memo[n];
    }
}

時間復雜度：O(N)

空間復雜度：O(N)

代碼3 —— 使用 dp 數組的動態規划方法

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        // base case
        dp[0] = 0; dp[1] = 1;
        // 狀態轉移
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

時間復雜度：O(N)

空間復雜度：O(N)

代碼4 —— 迭代，優化空間復雜度

class Solution {
    // 優化空間復雜度
    public int fib(int n) {
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n;
        }
        // 遞推關系
        int prev = 0, curr = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int sum = prev + curr;
            prev = curr;
            curr = sum;
        }
        return curr;
    }
}

時間復雜度：O(N)

空間復雜度：O(1)