LeetCode.509——斐波那契數

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• 問題描述：

  斐波那契數，通常用 F(n) 表示，形成的序列稱為斐波那契數列。該數列由 0 和 1 開始，后面的每一項數字都是前面兩項數字的和。也就是：

  F(0) = 0,   F(1) = 1
  F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
  

  給定 N，計算 F(N)。

  示例 ：

  輸入：2
  輸出：1
  解釋：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.
  

• 問題分析：

  由於計算任何一個第n(n >= 2)項的數都需要知道其前面兩個數，即需要知道n-1和n-2是多少，然后兩個相加得到結果，但是問題來了，要知道n-1，就要需要知道n-2，要知道n-2就需要知道n-3，會一直這樣的循環遞歸下去，一直到第一個數，第二個，第三個.......再反推回來。 那就很明顯了，大家第一時間想到的方法便是遞歸，就下來實現一下：

  方法一：遞歸實現

  public class Solution {
  	 public int fib(int n) {
       	if(n <= 1){
              return n;
          }
           return fib(n-1) + fib(n-2);
       }
  }
  

​ 問題分析：

​ 先看一下遞歸圖：

​ 由於很多數的計算都要重復很多次，效率並不高，時間復雜度達到了 O（2^n），是斐波那契數計算中 時間復雜度最大，最不可取的方法。

​ 空間復雜度：O（n）,堆棧中需要的空間與 N 成正比，堆棧會跟蹤 fib(n) 的調用，隨着堆棧的不斷增長 如果沒有足夠的內存則會出現StackOverflowError異常。

​ 注：定義為int型時，最大只能求到n = 46，f(46) = 1836311903, 而 f(47) = -1323752223,因為超出了int 型數值的最大范圍。

• 算法改進：

  使用遞歸的同時，使用記憶化方式存儲已經計算過的數據，減少不必要的重復計算，可以使時間復雜度降到 O(N),同時空間復雜度也是O(N)。具體的實現是使用一個數組，把每次計算過的值都存儲進去，當再次使用這個數的時候，直接返回，不需要再進行遞歸。

  方法二：記憶化自底向上遞歸

  public class Solution {
  	 public int fib(int n) {
       	if(n <= 1){
              return n;
          }
           int[] memo = new int[n+1];
           memo[1] = 1;
           for(int i = 2;i <= n; i++){
               //自底向上填充數組，一直到需要的那個數
               memo[i] = memo[i-1] + memo[i-2];
           }
           return memo[n];
       }
  }
  

方法三：使用第三方變量

class Solution {
    public int fib(int N) {
        if (N < 2) return N; 
        if (N == 2) return 1;
    
        int temp = 1;
        int result = 1;
        for (int i = 3; i <= N ; i++) {
            result= temp + result;
            temp = result - temp;
        }
        return result;
    }
}

時間復雜度瞬間降到O(1)，這個我覺得應該是三個方法里面最簡單最高效的。

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• 最后：

  限於水平有限，斐波那契數的實現還有很多種方法，不能一一列舉，當其中大部分都有類似的思想。

  水文中如有不准確或是錯誤之處，還望指出。謝謝~~~

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