我之前寫了 《用 無窮級數 的 思路 三等分角》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/14604497.html
《三等分角 化圓為方 可以 考慮 用 無窮級數 的 方式 來 實現》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12369587.html 。
前幾天 和 反相吧 網友 思維機器 和 jmctian 交流了一下， 之后 逐漸 形成了 這篇文章 的 想法 。
三等分角 可以 這樣 考慮，
如圖， CP 與 OB 垂直， 相交於 P 。
設 ∠ COB = 1/3 * ∠ AOB ， 設 θ = ∠ COB ， 則 θ = 1/3 * ∠ AOB 。
可知 OA = OC = r， 設 r = 1， 則 AH = sin ∠ AOB， OP = cos θ ， 求出 cos θ 知道 OP 的 長度， 就可以 作出 OP， 過 P 作 垂線 交 圓弧 於 C ， 就知道了 ∠ COB ， 也就是 把 ∠ AOB 三等分 了 。
根據 三角和角公式，
sin 2θ = sin θ cos θ + cos θ sin θ
= 2 sin θ cos θ
cos 2θ = cos θ cos θ - sin θ sin θ
= ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ²
sin 3θ = sin ( 2θ + θ )
= sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ
= 2 sin θ cos θ cos θ + [ ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ ( cos θ ) ² + [ ( cos θ ) ² - 1 + ( cos θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ ( cos θ ) ² + [ 2 ( cos θ ) ² - 1 ] sin θ
= sin θ [ 2 ( cos θ ) ² + 2 ( cos θ ) ² - 1 ]
= 根號 [ 1 - ( cos θ ) ² ] * [ 4 ( cos θ ) ² - 1 ]
兩邊平方，
( sin 3θ ) ² = [ 1 - ( cos θ ) ² ] * [ 4 ( cos θ ) ² - 1 ] ²
( sin 3θ ) ² = [ 1 - ( cos θ ) ² ] * [ 16 ( cos θ ) ⁴ - 8 ( cos θ ) ² + 1 ]
( sin 3θ ) ² = 16 ( cos θ ) ⁴ - 8 ( cos θ ) ² + 1 - 16 ( cos θ ) ⁶ + 8 ( cos θ ) ⁴ - ( cos θ ) ²
( sin 3θ ) ² = - 16 ( cos θ ) ⁶ + 24 ( cos θ ) ⁴ - 9 ( cos θ ) ² + 1
因為 θ = 1/3 * ∠ AOB ， ∠ AOB = 3θ ，
( sin ∠ AOB ) ² = - 16 ( cos θ ) ⁶ + 24 ( cos θ ) ⁴ - 9 ( cos θ ) ² + 1
因為 AH = sin ∠ AOB ， OP = cos θ
AH ² = - 16 ( cos θ ) ⁶ + 24 ( cos θ ) ⁴ - 9 ( cos θ ) ² + 1
AH ² = - 16 OP ⁶ + 24 OP ⁴ - 9 OP ² + 1
AH 為 已知量 、常量， OP 是 未知數， 用 x 表示， x = OP ，
- 16 x ⁶ + 24 x ⁴ - 9 x ² = AH ² - 1
這是一個 一元六次方程， 接下來， 我們可以說 ： 因為 一元六次方程 的 根 是 超越數， 尺規作圖 不能 求得 超越數， 所以， 尺規作圖 不能 求得 OP， 尺規作圖 不能 作出 三等分角 ！
但， 這只是 否定了 這種做法， 並沒有 排除 其它 各種方法 無限 的 可能性 啊 啊 啊 ？
如果 以 sin θ 為 未知數， 方程 會 更簡單 ，
sin 3θ = sin ( 2θ + θ )
= sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ
= 2 sin θ cos θ cos θ + [ ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ ( cos θ ) ² + [ ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ [ 1 - ( sin θ ) ² ] + [ 1 - ( sin θ ) ² - ( sin θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ [ 1 - ( sin θ ) ² ] + [ 1 - 2 ( sin θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ - 2 ( sin θ ) ³ + sin θ - 2 ( sin θ ) ³
= 3 sin θ - 4 ( sin θ ) ³
sin 3θ = 3 sin θ - 4 ( sin θ ) ³
因為 θ = ∠ COB ， 3θ = ∠ AOB ， sin θ = CP， sin ∠ AOB = AH ，
sin ∠ AOB = 3 sin θ - 4 ( sin θ ) ³
AH = 3 CP - 4 CP ³
AH 為 已知量， 常量 ， CP 是 未知數，用 x 表示， x = CP，
- 4 x ³ + 3 x = AH
這是一個 三次方程， 三次方程 的 根 是 代數數， 不是 超越數， 但 要 開三次方， 可能 開三次方 之后 再 開平方， 於是， 我們 又開始 嚷嚷 着 ： 尺規作圖 不能 求得 三次方程 的 根， 所以， 尺規作圖 不能 求得 CP， 尺規作圖 不能 作出 三等分角 ！
不過 就算 求得了 CP， 即 知道了 CP 的 長度， 也 不好 作出 CP， 要做一條 垂線 垂直於 OB， 與 OB 相交於 P， 與 圓弧 相交於 C， CP 的 長度 要剛好 等於 指定 的 長度， 這個不好作 。
不過 也可以 試試 這樣作， 因為 ( sin θ ) ² + ( cos θ) ² = 1 ， 也就是 正弦 和 余弦 是 直角三角形 的 兩條 直角邊， 我們 可以 根據 CP 來 作出 OP， 就是說， 根據 CP 求出 OP 的 長度 。
作一條線段 MN ， 長度 為 r， 以 N 為 圓心， CP 為 半徑， 在 MN 的 一側 畫一個 半圓， 過 M 點 作 直線 與 半圓 相切 於 Q 點， 則 MQ 和 NQ 垂直， MNQ 組成一個 直角三角形， NQ 的 長度 等於 CP， MQ 的 長度 等於 OP 。
這樣 就 由 CP 的 長度 求出 了 OP 的 長度， 在 圓 O 上 作出 OP， 就知道了 CP 和 ∠ COB 。
但 問題 是， 過 圓 外 一點 作 圓 的 切線， 這個 操作 是否 是 尺規作圖 的 操作 ？ 這個 操作 也 有點 “超越” 和 “非線性” 呢 。
其實 可以 根據 OH 來 求 OP， 這樣 方程 也是 三次方程， OH 就是 cos ∠ AOB 。
cos 3θ = cos ( 2θ + θ )
= cos 2θ cos θ - sin 2θ sin θ
= [ ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ² ] cos θ - 2 sin θ cos θ sin θ
= ( cos θ ) ³ - ( sin θ ) ² cos θ - 2 ( sin θ ) ² cos θ
= ( cos θ ) ³ - 3 ( sin θ ) ² cos θ
= ( cos θ ) ³ - 3 [ 1 - ( cos θ ) ² ] cos θ
= ( cos θ ) ³ - 3 cos θ + 3 ( cos θ ) ³
= 4 ( cos θ ) ³ - 3 cos θ
cos 3θ = 4 ( cos θ ) ³ - 3 cos θ
因為 θ = ∠ COB ， 3θ = ∠ AOB ， cos θ = OP， cos ∠ AOB = OH ，
cos ∠ AOB = 4 ( cos θ ) ³ - 3 cos θ
OH = 4 OP ³ - 3 OP
OH 為 已知量， 常量 ， OP 是 未知數， 用 x 表示， x = OP，
4 x ³ - 3 x = OH
這也是 一個 三次方程 。
在 尺規作圖 里， 知道了 弦， 就知道了 角 和 弧， 知道了 角（弧）， 就知道了 弦， 比如， 知道了 OP， 就知道了 ∠ COB 和 弧 CB ， 反之亦然 。 這是 尺規作圖 的 設定 。
在 尺規作圖 的 世界 里， 給出 一個 角（弧）， 就知道 它 對應 的 弦， 但 並不知道 弦 的 數值 。
在 具體 的 數值 上， 在 實數 的 世界 里， 弦 和 角（弧） 的 關系 是 超越數 的 ， 由 角（弧） 求 弦 是 超越數， 由 弦 求 角（弧） 也是 超越數， 但 尺規作圖 不用考慮 這個 。
可以試試 把 反三角函數 展開為 泰勒級數， 大概 想了一下， 好像能行， 沒具體試過 。
也可知， 4 x ³ - 3 x = OH , OH ∈ [ 0, 1 ] 這一類 三次方程 的 根 可以 表示 為 x = OP = cos ( 1/3 * arc cos OH ) ， 就是 反余弦 之后 再求 余弦， 反余弦 是 一個 泰勒級數， 余弦 又 是 一個 泰勒級數， 那 OP 就可以 表示為 2 個 泰勒級數 的 嵌套， 這比起 三次方程 根號 嵌套 根號 的 求根公式， 會不會 更 簡單一些， 不知道， 呵呵 。 而且 這個 OP 也只是 三次方程 的 一個 根， 可能 還有 兩個 根 。
來 看看 二等分角，
同樣， 根據 三角和角公式，
cos 2θ = ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ²
= ( cos θ ) ² - 1 + ( cos θ ) ²
= 2 ( cos θ ) ² - 1
設 ∠ COB = 1/2 * ∠ AOB ， 則
cos ∠ AOB = 2 ( cos ∠ COB ) ² - 1
因為 r = 1， cos ∠ AOB = OH， cos ∠ COB = OP ，
OH = 2 OP ² - 1
OH 為 已知量， 常量， OP 為 未知數， 用 x 表示， x = OP，
2 x ² - 1 = OH
這是一個 一元二次方程 ， 它 的 根 是
x = 根號 [ ( OH + 1 ) / 2 ]
x = - 根號 [ ( OH + 1 ) / 2 ]
我們 取 正根， OP = x = 根號 [ ( OH + 1 ) / 2 ] ， 這樣 就 知道了 OP 的 長度， 作出 OP 就知道了 ∠ COB 。
問題 是 尺規作圖 能 作出 長度 為 r 的 根號 [ ( OH + 1 ) / 2 ] 倍 的 線段 嗎 ？
我們 用 尺規作圖 作 二等分角 並不會 去 求 這個 一元二次方程 的 根 ， 啊 ？
證明 尺規作圖 能否 實現 三等分角， 可以 從 兩方面 來看 ：
1 曲線法 ， 比如 用 阿基米德螺線 、漸開線 來 作 三等分角， 或者 渝中壽人 老師 的 正弦曲線 描點法， 就是 用 描點法 作出 正弦曲線， 有了 正弦曲線， 就很容易 三等分角 。
2 多邊形法， 就是 上文 用 和角公式 把 三等分角 問題 轉變為 三角形 的 邊長問題， 邊長問題 表示為 代數方程 。 這里 的 多邊形 主要 指 三角形 。
實際上， 曲線法 已經 超出了 尺規作圖 的 規則， 不算是 尺規作圖， 但 可以 從 曲線法 看到 尺規作圖 的 特點 ： 只能 畫 直線 和 圓弧， 還有 對稱性， 不能 畫 圓弧 以外 的 其它 曲線，也不能 用 有限次 的 操作 截取 和 一段 曲線 長度 相等 的 線段 。 曲線 包括 圓弧 和 其它 曲線 。
多邊形法 本質上 是 相似三角形 和 勾股定理， 勾股定理 最終 也是 相似三角形 。
但 不管 怎么看， 你 還是 不能 排除 無限 的 做法 的 無限 的 可能性 啊 ？
補充 ：
過 圓外 一點 作 圓 的 切線 不好作， 但 已知 直角三角形 的 斜邊 和 一條 直角邊 求 另一條 直角邊 還是 可以 作 的 ：
作 兩條 直線 垂直相交 於 Q 點， 以 Q 點 為 圓心， 已知 的 直角邊 長 為 半徑， 畫 圓弧 和 一條直線 相交於 N， 以 N 為 圓心， 斜邊 為 半徑， 畫 圓弧 和 另一條直線 相交於 M 點， MNQ 組成 一個 直角三角形 ， MQ 就是 要求 的 直角邊 。