三等分點

等邊三角形 \(ABC\) 中，點 \(D,E\) 分別在邊 \(BC,AC\) 上，且 \(|BD|=\dfrac{1}{3}|BC|,|CE|=\dfrac{1}{3}|CA|,AD,BE\) 相交於點 \(P\) . 求證： \(AP\perp CP\) .

解法一

如圖，以 \(BC\) 邊中點 \(O\) 為原點建立平面直角坐標系：設三角形邊長為 \(6\) . 則 \(A(0,3\sqrt{3}),B(-3,0),C(3,0),D(-1,0),\)\(E(2,\sqrt{3})\) .

故直線 \(AD\) 的方程為$$\dfrac{y-0}{3\sqrt{3}-0}=\dfrac{x+1}{0+1}\Longrightarrow y=3\sqrt{3}(x+1)$$直線 \(BE\) 的方程為$$\dfrac{y-0}{\sqrt{3}-0}=\dfrac{x+3}{2+3}\Longrightarrow y=\dfrac{\sqrt{3}}{5}(x+3)$$聯立直線 \(AD\) 與 \(BE\) 的方程解得 \(P(-\dfrac{6}{7},\dfrac{3\sqrt{3}}{7})\) . 而$$k_{AP}\cdot k_{CP}=\dfrac{3\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{7}}{0+\dfrac{6}{7}}\cdot\dfrac{0-\dfrac{3\sqrt{3}}{7}}{3+\dfrac{6}{7}}=-1$$所以 \(AP\perp CP\) .

解法二

設 \(\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AC}=\vec{b}\) ，因為 \(A,P,D\) 三點共線，設 \(\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AD}\) ， \(B,P,E\) 三點共線，設 \(\overrightarrow{BP}=n\overrightarrow{BE}\) ，則

\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{2m}{3}\vec{a}+\dfrac{m}{3}\vec{b}\; ,\;\overrightarrow{BP}=-n\vec{a}+\dfrac{2n}{3}\vec{b} \]

又

\[\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=(1-n)\vec{a}+\dfrac{2n}{3}\vec{b} \]

所以

\[\begin{cases}\dfrac{2m}{3}=1-n \\ \dfrac{m}{3}=\dfrac{2n}{3}\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}m=\dfrac{6}{7} \\ n=\dfrac{3}{7}\end{cases} \]

則

\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{4}{7}\vec{a}+\dfrac{2}{7}\vec{b}\;,\;\overrightarrow{BP}=-\dfrac{3}{7}\vec{a}+\dfrac{2}{7}\vec{b} \]

所以

\[\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}=\dfrac{4}{7}\vec{a}-\dfrac{5}{7}\vec{b} \]

設等邊三角形的邊長為 \(1\) ，則

\[\begin{array}{rll}\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{CP}&=(\dfrac{4}{7}\vec{a}+\dfrac{2}{7}\vec{b})\cdot(\dfrac{4}{7}\vec{a}-\dfrac{5}{7}\vec{b})\\[1ex]&=\dfrac{16}{49}\vec{a}^2-\dfrac{12}{49}\vec{a}\cdot\vec{b}-\dfrac{10}{49}\vec{b}^2 \\[1ex]&=(\dfrac{16}{49}-\dfrac{6}{49}-\dfrac{10}{49}) \\[1ex] &=0\end{array} \]

所以 \(\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{CP}\) ，即 \(AP\perp CP\) .