正五邊形的尺規作圖

正五邊形的尺規作圖，等價於用尺規方法對一個圓周作五等分，其實質就是作出角度為 360° / 5 = 72° 的角. 

計算 cos 72°

方法一：

在下圖的三角形中，∠A = 36°，∠ABC = ∠C = 72°，BD 為 ∠ABC 的角平分線，AF 是 BC 邊上的高.

設 BC = 1，AC = b，易知 △ABC ∽ △BCD，於是有

AC : BC = BC : CD，即 b : 1 = 1 : (b - 1)，即有

b² - b - 1 = 0

解這個方程，並舍去負根，得 b = (1 + 5^1/2) / 2，於是

cos 72° = cos C = FC : AC = 1/2 : (1 + 5^1/2)/2 = 1 : 1 + 5^1/2 = (5^1/2 - 1) / 4.

方法二：

設 x = cos 72°，則 cos 144° = 2x² - 1，cos 288° = 2(2x² - 1)² - 1 = 2(4x⁴ - 4x² + 1) - 1 = 8x⁴ - 8x² + 1

由 288° = 360° - 72°，知 cos 288° = cos 72°，即有

8x⁴ - 8x² + 1 = x，即

8x⁴ - 8x² - x + 1 = 0           ①

8x⁴ - 8x² - x + 1 = 8x²(x² - 1) - (x - 1) = [8x²(x + 1) - 1]·(x - 1) = (8x³ + 8x² - 1)·(x - 1)

由 x = cos 72° < 1，方程 ① 等價於

8x³ + 8x² - 1 = 0               ②

若方程 ② 有有理數根，則必然在 {±1, ±1/2, ±1/4, ±1/8} 中，經簡單驗證知 x = -1/2 是一個有理數解，但  cos 72° > 0，由整式除法可知 (8x³ + 8x² - 1) / (2x + 1) = 4x² + 2x - 1，即得到等價的方程：

4x² + 2x - 1 = 0

於是 x = (-2 ± 20^1/2) / 8 = (-1 ± 5^1/2) / 4，舍去負根，即得

x = (5^1/2 - 1) / 4.

尺規作圖實施

步驟一：

如下圖所示，畫出一個圓，記圓心為 O，半徑 OA = 1；連接 AO 並延長，得到一條直徑 AB；以 B 為中心在 AB 的延長線上截取點 C，使得 CB = BO，此時有 CO = 2；過點 C 做 CA 的垂線，並在該垂線上截取點 D，使得 CD = OA，連接 OD，並以 D 為圓心 CD 為半徑作圓，交 OD 於點 E，此時 OE = 5^1/2 - 1.

 步驟二：

如下圖所示，作 OE 的垂直平分線，截取 OE 的中點 H；再作 OH 的垂直平分線，截取 OH 的中點 K.

 

以點 O 為圓心，OK 為半徑，作圓交 OA 於點 L，此時，OL = OK = cos 72° = (5^1/2 - 1) / 4. 

過點 L 作 OA 的垂線，交圓 OA 於點 M 和點 N，則 ∠ MOA = ∠NOA = 72°，即

點 M、O、N 即為正五邊形的三個頂點，再分別以 M 和 N 為圓心，以 MA 為半徑，可以從圓 OA 上截取出正五邊形的另兩個頂點. 如下圖所示的綠色標注的正五邊形：

當然，在作出 OK = cos 72° 后，也可以不把 OK 轉到 OL，而直接延長 IJ 交圓 OA 於點 M 和點 N，同樣可得下圖所示的綠色標注的正五邊形：