五邊形數

五邊形數

五邊形數是能排成五邊形的多邊形數，一般用到的是廣義五邊形數。

廣義五邊形數

廣義五邊形數的公式和五邊形數相同，只是 \(n\) 可以為負數和零，\(n\) 依序為 \(0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...\)

五邊形數和拆分數有着密切的關系。

具體的，拆分數的生成函數是

\[\prod_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{(1-x^i)} \]

而

\[\prod_{i=1}^{+\infty}{(1-x^i)}=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}(-1)^ix^{\frac{i(3i-1)}2} \]

即這個東西在模 \(x^n\) 意義下只有 \(\sqrt{n}\) 項的系數是有值的。

所以可以手動求逆求出拆分數，時間復雜度 \(n\sqrt{n}\) 。

最有用的東西實際上是那個多項式在無窮項時系數不為 \(0\) 的項十分有限。