1827年，英國生物學家布朗（Robert Brown）最早觀察和研究了懸浮在液體中的細小花粉微粒受到水分子連續撞擊形成的運動情況，布朗運動因此而得名。1905年
愛因斯坦（Einstein）對它做出了合理的物理解釋並求出了微粒的轉移密度，1918年維納（Norber Wiener）在數學上嚴格地定義了布朗運動（有時也稱布朗運動為維納
過程）。
布朗運動的只要原因是液體的所有分子都處於在運動中，而且互相碰撞，從而微粒周圍有大量的分子以微小但起伏不定的力共同作用於它，使它被迫作不規
則運動。如果用Xt表示微粒在t時刻所處位置的坐標，由於液體是均勻的，自然設想從時刻t1到t2的位移為Xt_2--Xt_1是許多幾乎完全獨立的小位移之和，因而根據中心
極限定理，可以合理的假設Xt_2--Xt_1服從正態分布，而且對於不同時刻段的位移是獨立的，則其數學定義為：
定義：一個隨機過程 {W(t)，t≥0}，它在微小時間間隔Δt之間內的變換為ΔW，如果
1）W(0)=0; 2) ΔW~N(0,σ^2 Δt)，其中σ>0為常數； 3）對於任何兩個不同時間間隔，ΔW的值互相獨立，即獨立增量。
則稱隨機變量{W(t)，t≥0}的運動遵循布朗運動（或維納過程）。若 σ^2 =1，則稱 W(t) 為標准布朗運動。
注：
1）布朗運動是處處連續的，但是處處不可微，直觀上來講，這意味着它們的運動軌跡相當曲折。
2）對於標准運動，ΔW~N(0, Δt) 即 ΔW~sqrt(Δt) N(0, 1) ，若記隨機變量ε~N(0,1)，則有 ΔW=ε*sqrt(Δt), 因此，當Δt→0時，有 dW=ε*sqrt(dt)。然而布朗運動是處處不可
微的，因此這里dW只能視作一種簡單的標記。
數值模擬：以一維布朗運動為例，並給出MATLAB代碼實現。
clc,clear;clf;
randn('state',100); % 隨機數發生器的狀態
T=1;
N=500;
dt=T/N;
dW=zeros(1,N);
W=zeros(1,N);
dW(1)=sqrt(dt)*randn;
W(1)=dW(1);
for j=2:N
dW(j)=sqrt(dt)*randn;
W(j)=W(j-1)+dW(j);
end
plot([0:dt:T],[0,W],'r-');
xlabel('t'); ylabel('W(t)');
輸出結果：
