本文為社會計算課程筆記，所用的教程為《網絡、群體與市場》
written in 2021.6.11
1.內容概述
主要分四部分
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圖論
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博弈論
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網絡結構的分析
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網絡結構推理
part1 圖論簡介
- Euler 開啟了數學圖論，抽象為頂點與邊的集
- 圖論是網絡研究的基礎
- 網絡結構是理解復雜世界的關鍵
隨機圖理論(了解)
隨機圖(random graph)是一類重要的圖。它是伴隨有不確定性的圖.按某種隨機方式刪去一個圖G的某些節點或邊而保留下來的圖稱為隨機子圖，又稱隨機圖。G稱為隨機圖的原始圖。
隨機圖的性質與原始圖及隨機刪除部分節點或邊的方式有關。隨機刪除方式包括只刪點、只刪邊和既刪點又刪邊三種。研究較多的原始圖有完全圖和晶形圖。若按某種刪除方式得到的一類隨機圖看成是概率空間，則有關的圖的不變量或參數就是該空間的隨機變量。
從任一節點出發，按不過重復節點的原則，可隨機走遍所有節點的圖稱為隨機哈密頓圖。從任一節點出發，按不過重復邊的原則，可隨機走遍所有邊而回到出發點的圖稱為隨機可跡圖。若原始圖為完全圖，且按隨機刪邊方式得到的任一隨機圖邊數固定，則稱這樣的隨機圖為定邊數隨機圖。若原始圖為完全圖，每條邊刪除的概率相同且各邊的刪除相互獨立，則這種隨機圖稱為定邊密度隨機圖\(^{[1]}\)
ER 隨機圖模型
ER隨機圖模型，就是一種提供了一種規則，按照這種規則來產生隨機圖。
1.給定節點數量與邊數的ER隨機圖模型G(n,M)
例如，在G(3，2)模型中，三個頂點和兩個邊可以構成的三個可能的圖，每一個都以1/3的概率包含在內。
2.具有固定節點和連邊概率的ER隨機圖模型 G(n,p)
這種方法是通過隨機選取連接節點的方式來產生圖。每個邊產生的可能都是一個不受其他邊影響的概率。 該模型中的參數p表示隨機兩點之間產生邊的概率，p可以看作是一個加權函數。當p從0增加到1時，模型越來越多地包含具有更多邊的圖。 擁有n個節點、M個連邊的所有圖被輸出的概率都是相同的。
- 連通性
- poisson分布
- 齊次特征
- 每個節點大約有相同的連接數
- 節點數不增加
隨機圖模型（不止是ER隨機圖模型）與現實世界還是很相關的。舉一個簡單的例子，我們在社交媒體平台微博中隨機選取一個用戶作為一個節點，將與其互為朋友的用戶用邊相連接。有研究表明，這種在社交媒體平台形成的網絡結構特征類似於隨機圖。因此，了解隨機圖有助於我們理解小型社交網絡的結構。\(^{[2]}\)
小世界實驗
- 六度分離理論
- Kevin Bacon游戲
Granovetter弱連接的強度
尋找工作時，關系緊密的朋友的作用往往不如關系一般的作用。
有關圖的概念
| 概念名稱 | 概念解釋 |
|---|---|
| 路 | 路徑，連接兩個節點的節點序列集合 |
| 路的長度 | 節點數-1，邊的條數 |
| 距離 | 最短路徑的長度 |
| 簡單路徑 | 路徑上的點不相互重復 |
| 連通圖 | 每兩個節點之間都存在一條路 |
| 橋 | 具有特別性質的邊，刪除它后其兩個端點之間就不再有路 |
| 捷徑 | 也是一種邊，刪除它后兩個端點之間的距離至少為3 |
| 二部圖 | 節點可分為兩組，且組內沒有邊 |
part1習題及答案
此部分的習題對應書中第二章1,2,3題
2.1
圖論作為有效建模工具的原因之一即在於它的靈活性。許多大型系統都可以通過圖論語言來總結該系統的屬性，並用來系統地研究其結構。本章練習的第一部分，主要討論上述過程的一個實例，該實例將引入一個關鍵節點（pivotal node）的概念。
首先，第 2 章所講的兩節點間最短路徑可能為該節點間的最短距離。對與節點組 Y 和 Z，若 X 存在於 Y 和 Z 間所有最短路徑，則稱 X 為 Y 和 Z 間的關鍵節點（X 與 Y 和 Z 均不重合）。
例如：在圖 2. 1 中，節點 B 是節點對 A 和 C、A 和 D 的關鍵節點（注意：B 並不是節點對 D 和 E 的關鍵節點，因為 D 和 E 間存在兩條不同的最短路徑，而其中的一條（包含 C 和 F）並不通過 B。由此可見，B 並不存在於 D 和 E 間的所有最短路徑）。另一個例子是：節點 D 並非圖中任意節點對的關鍵節點。
（1）請列舉一個圖例，使其滿足以下條件：該圖中每個節點均為至少一個節點對的關鍵節點。請就你的答案給出合理解釋。
（2）請列舉一個圖例，使其滿足以下條件：該圖中每個節點均為至少兩個節點對的關鍵節點。請就你的答案給出合理解釋。
（3）請列舉一個圖例，滿足以下條件：該圖中包含至少 4 個節點，並存在一個節點 X，它是圖中所有不包括含 X 的節點對的關鍵節點。請就你的答案給出合理解釋
答：
兩個節點 Y 和 Z 之間的關鍵節點 X：X 存在於 Y 和 Z 之間的所有最短路徑上。
（1）一個節點數大於或等於 5 的圈圖（V-W-X-Y-Z-V）滿足“每個節點均為至少一個節點對的關鍵節點”的要求。例如，對於 5-圈，W 和 Y 之間的最短路徑只有一條（長度為 2），經過 X。其他類推。
（2）一個節點數大於或等於 7 的圈圖（R-U-V-W-X-Y-Z-R）滿足“每個節點均為至少兩個節點對的關鍵節點”的要求。例如，對於 7-圈，W 和 Y 之間的最短路徑只有一條（長度為 2），經過 X，V 和 Y 之間的最短路徑只有一條（長度為 3），也經過 X。其他類推。
（3）以 X 為中心的 5 節點“星圖”（A-X，B-X，C-X，D-X）滿足要求，此時 X就是每個節點對的關鍵節點，任何兩個節點之間的路徑都經過它。
2.2
接下來的問題中，我們將引入一組相關定義，以幫助我們規范化“一些節點可在網絡中起到“看門”的作用”這一概念。第一個定義內容如下：對於節點 X，若存在另兩個節點 Y 和 Z，使 Y 和 Z 間的所有路徑均通過 X，則稱 X 為門衛（gatekeeper）。舉例來說，圖 2. 2 中，節點 A 即為一個看門節點，因為存在於節點 B 到 E 的所有路徑中（除此之外，A 還存在於其他節點組間的所有路徑中，比如 D 和 E 等）。
該定義具有一個“普遍”特點：因其需要我們縱觀整個圖，以確定某一特定節點是門衛。相比之下，另一“本地化”版本將上述定義的條件限定於只需觀察一個節點的相鄰節點。我們將之規范化，即有以下定義：我們定義一個節點 X 為局部門衛，若其滿足以下條件：存在節點 X 的兩個相鄰節點，稱為 Y 和Z，其中間沒有任意邊相連。（換句話說，X 為局部門衛的前提是，至少存在 X的兩個相鄰節點 Y 和 Z，滿足 Y 和 Z 分別有邊與 X 相連，但彼此並不相連的條件。）例如圖 2. 2 所示，節點 A 同時滿足門衛和局部門衛的條件，而節點 D 僅為局部門衛，卻不滿足門衛的條件。（注意：盡管 D 的兩個相鄰節點 B 和 C 彼此並沒有邊相連，但對於包括 B 和 C 在內的所有節點組之間，均存在一條不包含 D 的路徑。）
綜上所述，我們目前得到兩個定義：門衛和局部門衛。每當我們討論新的數學定義時，一個有效幫助我們理解定義的方法通常是先從典型例子入手，隨后將之理論化，再嘗試將該理論應用於其他例子。讓我們按以上方法來討論下面幾道問題：
（1） 給出一個圖例（包含解釋），滿足條件：該圖中超過一半的節點為門衛
（2） 給出一個圖例（包含解釋），滿足條件：該圖中所有節點均不是門衛，但均為局部門衛。
答：
按照給出的定義，“門衛”和“局部門衛”的概念，可以與教材中的“橋” 與“捷徑”類比。“門衛”亦即這樣的節點，刪除它，至少有兩個原來之間存在路徑的節點不再有路徑；“局部門衛”則是這樣的節點，刪除它，至少有兩個原來是其鄰居的節點之間的距離不小於 2。根據這個理解，就有（1）5 個節點的路徑圖，A-B-C-D-E，其中 3 個節點（B、C、D）是門衛；（2）4 個節點的回路圖，A-B-C-D-A，顯然都不是門衛，因為任意兩個節點之間都有兩條獨立的通路，而且每個節點都是局部門衛，因為任何一個節點的兩個鄰居節點之間都不存在一條邊。
2.3
當我們試圖就一個已知圖中節點間的距離尋找一個單一的綜合衡量標准時，有兩個原始數量值得我們考慮。一個是直徑，我們定義它為圖中任意兩節點之間的最大距離；另一個是平均距離，我們定義它為圖中所有節點對間的平均距離。
在許多圖中，上述兩個數量在數值上非常接近。但以下的兩個例子卻可能是例外：
（1） 請給出一個直徑比平均距離大三倍的圖例；
（2）請根據你解答問題（a）的方法，說明你可以通過改變某一特定因數的大小，來控制直徑比平均距離大的倍數。（換句話說，對於任意數字 c，你能否構造一個圖，使其直徑比平均距離大 c 倍？）
答：
在給定點和邊資源的情況下，路徑圖\(P_m\) 的直徑最長(m - 1)，完全圖\(K_m\)直徑最短，為1。
所以我們不妨把這兩種圖組合起來，通過控制兩個的比例，來達到任意比例的1<rate<m-1的效果。
參考資料
- 高煒. 隨機圖的Fibonacci數研究[J]. 雲南師范大學學報:自然科學版, 2008, 28(1):31-33
- ER隨機圖模型 | 集智百科_nyi (sohu.com)