初等數學-集合

集合的概念

集合是德國數學家 格奧爾格·康托爾 在 1874 年首先提出，是數學中最基本的概念之一。集合是由我們直觀感覺或意識到的、確定的、不同的對象匯集而成的整體，而這些對象成為集合的元素。一般用大寫字母 A, B, C……表示集合，小寫字母 a, b, c……表示集合中的元素，當然元素也可以是任何其他事物。而數學研究的是數集。

常見的數集：

• \(N\)：自然數集（自然數英文 Natural Number 的首字母）
• \(N*\)：正整數集
• \(Z\)：整數集（德國女數學家 Zahlen 的首字母）
• \(Q\)：有理數集（商 Quotient 的首字母）
• \(R\)：實數集：（Real Number 的首字母）
• \(C\)：復數集（Complex Number 的首字母）

只有一個元素的集合，成為單點集；含有有限個元素的集合，稱為有限集；含有無限個元素的集合，稱為無限集；沒有任何元素的集合，稱為空集，記作 \(\emptyset\)。

初等數學研究的主要是有限集和單點集，而高等數學研究的是無限集。

集合的表示方法

• 列舉法：將元素用逗號分隔，一一列舉在大括號內，如：\(\{1,2,3\}\)、\(\{0,1,2,3,···,99\}\)。
• 描述法：用形如 \(\{x|x 具有特質P\}\)來表示：如：\(\{x|x<5, x \in R\}\)。

常見的例子：

• 集合 A=\(\{x|2n, n \in Z\}\)，表示偶數組成的集合；
• 集合 B=\(\{(x,y)|x>0, y>0\}\)，表示直角坐標系中第一象限的點組成的集合。

集合中元素的基本特性

• 確定性：集合中的元素要確定的，例如：一班高個子的男生，這就是不確定的；應該明確說一班180cm以上的男生，這就是確定的。
• 無序性：集合中的元素是沒有順序的，例如：集合\(\{1,2,3\}\) 和 集合 \(\{2,1,3\}\) 是同一個集合。
• 互異性：集合中的元素是不重復的，例如：集合\(\{1,2,3\}\) 和 集合 \(\{1,2,2,3\}\) 是同一個集合。

元素與集合的關系
若元素 a 是集合 A 中的元素，則 a 屬於 A，記作 \(a\in A\)；反之，\(a \notin A\)。

集合之間的關系

子集

如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，則 A 是 B 的子集，記作 \(A \subseteq B\) 或 \(B \supseteq A\)，讀作 A 包含於 B 或 B 包含 A；

子集的性質：

• 任何一個集合都是它本身的子集；\(A \subseteq A\)；
• 空集是任何集合的子集；\(\emptyset \subseteq A\)；
• 若集合 A 是集合 B 的子集，集合 B 是集合 C 的子集，則 A 是 C 的子集（若 \(A \subseteq B, B \subseteq C, 則 A \subseteq C\)）；

真子集

如果集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一個元素不屬於 A，則A 是 B 的真子集，記作 \(A \subsetneqq B\) 或 \(B \supsetneqq A\)，讀作 A 真包含於 B 或 B 真包含 A。

真子集的性質：

• 空集是任何集合的真子集；
• 若集合 A 是集合 B 的真子集，集合 B 是集合 C 的真子集，則 A 是 C 的真子集（若 \(A \subsetneqq B, B \subsetneqq C, 則 A \subsetneqq C\)）；

集合相等

若\(A \subseteq B\)，且 \(B \subseteq A\)，則 \(A=B\)；例如：\(A = \{x|x^2=1\}, B = \{-1, 1\}, 結果 A = B\)。

集合相等有一個著名的羅素悖論，公理化集合論的成功建立，才排除了這個悖論，當然這是高等數學研究的范疇。

集合的運算

交集

既屬於集合 A，又屬於集合 B 的公共元素組成的集合，叫做 A 與 B 的交集，記作 \(A \cap B\)，即： \(A \cap B=\{x|x \in A 且 x \in B\}\)。

交集的推論：

• \(A \cap B = B \cap A\)；
• \(A \cap A = A\)；
• \(A \cap \emptyset = \emptyset\)；
• 若 \(B \subset A\)，則 \(B \cap A = B\)；

用交集表示一個二元一次方程：設 \(A=\{x|(x,y)|x+y=0\}\)，\(B=\{(x,y)|x-y=4\}\)，\(A \cap B = \{(x,y)|x=2,y=-2\}\)。

一切數學成果可建立在集合論基礎上。

並集
集合 A 與集合 B 所有元素組成的集合，叫做 A 與 B 的並集，記作 \(A \cup B\)，即：\(A \cup B=\{x|x \in A 或 x \in B\}\)。

並集的推論：

• \(A \cup B = B \cup A\)；
• \(A \cup A = A\)；
• \(A \cup \emptyset = A\)；
• \(A \cup B \supseteq A， A \cup B \supseteq B\)；
• 若 \(B \subseteq A\)，則 \(A \cup B = A\)；

差集
由屬於集合 A，且不屬於集合 B 的元素組成的集合，叫做 A 減 B（A 與 B 之差），記作 \(A \setminus B = \{x|x \in A 且 x \notin B\}\)。

全集
全集是一個相對的概念，在研究某些集合時，這些集合常常是一個給定集合的子集，這個給定的集合就叫全集。

補集
如果集合 A 是全集 U 的子集，那么由屬於 U 且不屬於 A 的元素組成的集合，叫做 A 在 U 中的補集，記作 \(\complement_UA\)，也常常簡化稱 A 的補集（余集），記作 \(A^\complement\)。

補集推論：

• \(A \cap A^\complement = \emptyset\)；
• \(A \cup \complement_UA = U\)；
• \(\complement_U(\complement_UA)=A\)（A 的補集的補集）；

補集與差集：
補集可以由差集轉換而來：若 \(A \subseteq U\)，則 \(A^\complement = U \setminus A = \{x \in U | x \notin A\}\)；

集合運算的規律

交換律

\[A \cap B = B \cap A \\ A \cup B = B \cup A \\ \]

結合律

\[(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \\ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \\ \]

分配率

\[A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \\ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ \]

德摩根法則

\[(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement \\ (A \cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement \\ \]