本文旨在整理一些集合論中的基礎概念與定理，主要出處見參考文獻。
本文只列出特別簡單的證明，略去復雜的證明。
1 集合論基礎
首先，我們介紹Cartesian product（笛卡爾積、直積）\(A\times B\)，就是從\(A\)中、\(B\)中各取一個元素組成的有序數對。如果是\(n\)個集合，它們的Cartesian product就是一個\(n\)-tuples：
所謂Relation（關系），是\(A\times A\)的任一子集，就叫a relation \(R\) on set \(A\)。如果\((x,y)\in R\)，則可寫為\(xRy\)。\(R\)可能的性質有：
- Reflexive（自反性）：\(xRx\)；
- Symmetric（對稱性）：若\(xRy\)則必有\(yRx\)；
- Antisymmetric（反對稱）：若\(xRy\)且\(yRx\)，則必有\(x=y\)；
- Transitive（傳遞性）：若\(xRy\)且\(yRz\)，則必有\(xRz\)。
Equivalence relation（等價關系），就是自反、對稱、傳遞的關系。
給定\(A\)上的一個equivalence relation \(R\)，那么\(A\)中的元素\(x\)的equivalence class（等價類），就是集合\(E_x = \{y\in A:xRy\}\)。若\(E_x\)和\(E_y\)是\(x\)和\(y\)的等價類，那么必有\(E_x\cap E_y=\empty\)或\(E_x=E_y\)。
自反、反對稱、傳遞的relation，就叫partial ordering（偏序），可以用符號\(\geq\)或\(\leq\)表示。對於任意partial ordering，如果將其中的\((x,x)\)元素剔除，就變成了strict ordering，用符號\(\gt\)或\(\lt\)表示，這種relation不再是自反的和反對稱的，但依舊有傳遞性。如果對於集合\(A\)，每一對\((x,y)\in A\times A\)都滿足\(x\lt y\)、\(x\gt y\)或\(x=y\)這三種中的一種，那么稱\(A\)是linearly ordered。再進一步，定義集合\(A\)的最小元素為\(a\in A\)，它滿足\(\forall x\in A, a\leq x\)（最大元素可類似定義），那么，如果linearly ordered\(A\)的每一個子集都有一個最小元素，則稱\(A\)是well-ordered。
一個mapping/transformation/function定義為\(T:X\mapsto Y\)，這是一種將\(X\)中的每個元素與\(Y\)中唯一一個元素聯系起來的規則。\(X\)稱為domain（定義域），\(Y\)為codomain（到達域），集合\(G_T=\{(x,y):x\in X,y=T(x)\}\subseteq X\times Y\)稱為graph of \(T\)。集合\(T(A)=\{T(x):x\in A\}\subseteq Y\)稱為\(A\)在\(T\)下的image，對於\(B\subseteq Y\)，集合\(T^{-1}(B)=\{x:T(x) \in B\}\subseteq X\)稱為\(B\)在\(T\)下的inverse image。集合\(T(X)\)稱為\(T\)的range（值域），若\(T(X)=Y\)則稱該mapping為from \(X\) onto \(Y\)，中文叫滿射，否則是into \(Y\)。若每個\(y\)都是唯一的\(x\in X\)的image，則該mapping是one-to-one，或記為\(1\)-\(1\)，中文叫單射。
當\(X\)中的每個元素與\(Y\)中不一定唯一的元素對應起來的規則，稱為correspendence，\(T^{-1}\)就是一個correspendence，但未必是mapping。若mapping是\(1\)-\(1\)且是onto的，則稱該mapping為one-to-one correspendence。如果在\(X\)和\(Y\)上都定義了partial ordering，那么如果對於一個mapping，\(T(x_1)\leq T(x_2)\)當且僅當\(x_1\leq x_2\)，就稱該mapping為order-preserving。若\(X\)是partial ordered，用\(\leq\)表示，那么一個\(1\)-\(1\) mapping可以induce（誘導）在codomain上的一個partial ordering。若這個mapping還是onto，那么\(X\)上的linear ordering可以induce一個\(Y\)上的linear ordering。
集合中的元素個數稱為集合的cardinality或cardinal number（基數）。若\(A\)與\(B\)之間存在\(1\)-\(1\) correspondence，那么兩個集合equipotent（等勢）。
2 可數集合
將正自然數集合\(N^+\)的cardinal number記為\(\aleph\)。如果一個無限集合中的元素，與\(N^+\)中的元素存在\(1-1\) correspondence，那么稱該集合為countable或denumerable（可數的）。
整數集\(Z\)是可數的，因為對於任意\(n\in N^+\)，讓它對應於\(\lfloor n/2\rfloor (-1)^n\in Z\)即可。
定理：有理數集\(Q\)可數。
定理：The union of a countable collection of countable sets is a countable set.
注：Collection有的地方翻譯為“搜集”，可理解為允許有重復元素的集合。
3 實數連續統
定理：實數集\(R\)是不可數的。
記\(R\)的cardinal number為\(c\)，則有\(\aleph<c\)。
定理：任意開區間不可數。
定理：任意開區間與\(R\)是equipotent的。
對於開區間\((a,b)\)，將任意\(x\in R\)映射為\(y=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{(b-a)x}{2(1+|x|)}\)可證。
定理：實數平面\(R^2=R\times R\)與\(R\)是equipotent的。
定理：任意開區間都包含至少一個有理數。
對於開區間\((a,b)\)，不妨假設\(a\geq 0\)，取\(q\)為比\(1/(b-a)\)大的最小整數，取\(p\)為比\(qb\)大的最小整數，則必有\((p-1)/q \in (a,b)\)，而\((p-1)/q \in Q\)。
推論：Every collection of disjoint open intervals is countable.
因為每個開區間都至少包含一個有理數，這些不相連的開區間的collection可用其中每個開區間中的任一有理數建立對應關系，而有理數集是可數的。
下面再介紹一些有關集合的定義。集合\(A\subset R\)的supremum，如果存在，就是對於任意\(x\in A\)都滿足\(x\leq y\)的最小的\(y\)，可寫為\(\sup A\)；反之可定義集合\(A\)的infimum，寫為\(\inf A\)。對於\(R\)的某個子集，如果有上界，必有supremum，如果有下界，必有infimum。若定義extended real line \(\bar R=R\cup \{-\infty,+\infty\}\)（即將無窮大也看作一個元素），那么所有集合都有supremum和infimum。另外記\(\bar R^+=R\cup\{+\infty\}\)。
4 集合的序列
Monotone sequence（單調序列）就是non-decreasing（指\(\forall n, A_n\subseteq A_{n+1}\)）或non-increasing指\(\forall n, A_{n}\supseteq A_{n+1}\)）的序列，也有嚴格的單調序列，即將包含關系換成嚴格包含關系\(\subset\)和\(\supset\)。
序列的limit（極限）\(A\)，就是對於non-decreasing序列的\(A=\cup_{n=1}^{\infty}A_n\)，或對於non-increasing序列的\(A=\cap_{n=1}^{\infty}A_n\)，分別可寫為\(A_n\uparrow A\)和\(A_n\downarrow A\)，或一般地，\(\lim\limits_{n\to\infty}A_n = A\)，或\(A_n\to A\)。
對於任意集合序列\(\{A_n\}\)，集合\(B_n=\cup_{m=n}^{\infty}A_m\)必為non-increasing序列，因此\(B=\lim\limits_{n\to\infty}B_n\)存在，稱它為\(\{A_n\}\)的superior limit，寫為\(\limsup_n A_n\)。反之，non-decreasing序列\(C_n=\cap_{m=n}^{\infty}A_m\)的極限\(C\)，就是\(\{A_n\}\)的inferior limit，寫為\(\liminf_n A_n\)。正式定義為
由De Morgan' s laws，\(\liminf_n A_n = \left(\limsup_n A_n^c \right)^c\)。
\(\limsup_n A_n\)其實就是infinitely many（無窮多）個\(A_n\)中都含有的元素的集合，\(\liminf_n A_n\)就是all but a finite number（除有限）個\(A_n\)外，其他\(A_n\)中都含有的元素的集合。
以上概念提供了一種集合序列的收斂准則：\(\liminf_n A_n\subseteq \limsup_n A_n\)，若兩個集合不相等，則說明\(\{A_n\}\)不收斂。
5 子集的類
所有\(X\)的子集的集合成為\(X\)的power set（冪集），記為\(2^X\)。對於一個countable set，認為它的power set有\(2^\aleph\)個元素。
定理：\(2^\aleph = c\)。
接下來，要研究的是給定集合的子集的一些性質。Power set一般對研究的問題來說會顯得太大了，以下的一系列定義，目的是要定義出\(2^X\)的某個子集，使得該子集對於研究的問題來說足夠大，而其性質又讓我們可以容易地處理。一般方法是，先選出一些已知性質的集合，組成一個基本的collection，再用一些特定操作，創造出新的集合加入其中。
定義 Ring（環）：由集合\(X\)的子集組成的非空類（nonempty class）\(\mathscr{R}\)，若滿足如下性質則為ring：
- \(\empty\in\mathscr{R}\)；
- 若\(A\in\mathscr{R}\)且\(B\in\mathscr{R}\)，則\(A\cup B\in \mathscr{R}\)，\(A\cap B\in \mathscr{R}\)，\(A- B\in \mathscr{R}\)。
Ring對於union、intersection、difference的操作是closed（閉的）。但ring中不一定含有全集\(X\)自身，若加入\(X\)，就成了field（或algebra）定義：
定義 Field（域）：由\(X\)的子集組成的class\(\mathscr{F}\)，若滿足如下性質則為field：
- \(X\in\mathscr{F}\)；
- 若\(A\in\mathscr{F}\)，則\(A^c\in\mathscr{F}\)；
- 若\(A\in\mathscr{F}\)且\(B\in\mathscr{F}\)，則\(A\cup B\in \mathscr{F}\)。
如果給定了一個collection\(\mathscr{C}\)，將它理解為“種子”，去生成field，那么稱最小的含有\(\mathscr{C}\)的field為field generated by \(\mathscr{C}\)。
Ring和field的概念在概率論中應用起來還是會有些限制，因此引入以下定義：
定義 Semi-ring：由集合\(X\)的子集組成的非空類（nonempty class）\(\mathscr{S}\)，若滿足如下性質則為semi-ring：
- \(\empty\in\mathscr{S}\)；
- 若\(A\in\mathscr{S}\)且\(B\in\mathscr{S}\)，則\(A\cap B\in \mathscr{S}\)；
- 若\(A\in\mathscr{S}\)、\(B\in\mathscr{S}\)且\(A \subseteq B\)，則\(\exist n\lt \infty\)，使得\(B-A=\cup_{j=1}^{n} C_j\)，其中\(C_j\in\mathscr{S}\)且對於\(j\neq j'\)來說\(C_j\cap C_{j'}=\empty\)。
其中的第三個性質，簡單來說就是\(\mathscr{S}\)中任意兩個集合的的差，可以分解為有限個\(\mathscr{S}\)中集合的union。
再在semi-ring中加入\(X\)自身，就變成了semi-algebra。
6 Sigma fields
上一節說到field對complement和finite union的操作是closed，我們接着將它的finite union操作擴展到極限處，這就有了如下概念。
定義 \(\sigma\)-field（sigma-algebra）：由\(X\)的子集組成的class\(\mathscr{F}\)，若滿足如下性質則為sigma-field：
- \(X\in\mathscr{F}\)；
- 若\(A\in\mathscr{F}\)，則\(A^c\in\mathscr{F}\)；
- 若\(\{A_n,n\in N^+\}\)為\(\mathscr{F}\)中的集合的序列，則\(\cup_{n=1}^{\infty} A_n\in \mathscr{F}\)。
\(\sigma\)-field對於complement和countable union是closed。若給定一個collection\(\mathscr{C}\)，所有含有\(\mathscr{C}\)的\(\sigma\)-field的交集，就叫\(\sigma\)-field generated by \(\mathscr{C}\)，可記為\(\sigma(\mathscr{C})\)。
定理：若\(\mathscr{C}\)是一個finite collection，則\(\sigma(\mathscr{C})\)也是finite，否則\(\sigma(\mathscr{C})\)總是uncountable。
若取\(X=R\)，\(\mathscr{C}=\{(-\infty,r]: r\in Q\}\)，則\(\sigma(\mathscr{C})\)就叫Borel field of \(R\)，一般可記為\(\mathscr{B}\)。許多不同的collection都可以生成出\(\mathscr{B}\)。若給定一個實區間\(I\)，則\(\mathscr{B}_I = \{B\cap I: B\in\mathscr{B}\}\)稱為the restnctlon of \(\mathscr{B}\) to \(I\)，或Borel field on \(I\)。事實上，\(\mathscr{B}_I\)可由\(\mathscr{C}=\{(-\infty,r]\cap I: r\in Q\}\)生成。
對於兩個\(\sigma\)-field的union不一定是\(\sigma\)-field，將最小的包含了兩個\(\sigma\)-field\(\mathscr{F}\)和\(\mathscr{G}\)中所有元素的\(\sigma\)-field記為\(\mathscr{F}\vee\mathscr{G}\)。但對於兩個\(\sigma\)-field的intersection\(\mathscr{F}\cap\mathscr{G}=\{A:A\in \mathscr{F} \quad\text{and} \quad A \in\mathscr{G}\}\)，它必定是\(\sigma\)-field，為了統一符號，可以寫為\(\mathscr{F}\wedge\mathscr{G}\)，它就是保證元素同時屬於\(\mathscr{F}\)和\(\mathscr{G}\)的最大的\(\sigma\)-field。這兩個概念都可以推廣到可數多個的情形。
概率論和測度論中，大量的工作都是在證明某個class of sets是\(\sigma\)-field。對於證明來說，\(\sigma\)-field定義中的三條性質，前兩條都很容易驗證，但最后一條要驗證卻很困難。為此我們定義一種monotone class（單調類）\(\mathscr{M}\)，它也是由一些集合組成：若\(\{A_n\}\)是monotone sequence，有極限\(A\)，且\(\forall n, A_n\in\mathscr{M}\)，則\(A\in \mathscr{M}\)，稱這樣的\(\mathscr{M}\)為monotone class。利用它和下面的定理，可以方便地證明一些class是\(\sigma\)-field。
定理：\(\mathscr{F}\)是\(\sigma\)-field，當且僅當\(\mathscr{F}\)是field且它是一個monotone class。
利用這個定理，在考慮一個class是不是\(\sigma\)-field時，我們只需要考慮monotone sequences的極限是否屬於它即可。
另一個常用的技巧是Dynkin's \(\pi\)-\(\lambda\) Theorem。對此需要先介紹兩個概念做鋪墊。
定義 \(\pi\)-system：有一個class\(\mathscr{P}\)，若\(A\in\mathscr{P}\)且\(B\in\mathscr{P}\)，則\(A\cap B \in \mathscr{P}\)，那么\(\mathscr{P}\)就是\(\pi\)-system。
定義 \(\lambda\)-system：有一個class\(\mathscr{L}\)，若它滿足以下性質，那么\(\mathscr{L}\)就是\(\lambda\)-system：
- \(X\in \mathscr{L}\)；
- 若\(A\in\mathscr{L}\)、\(B\in\mathscr{L}\)且\(B\subseteq A\)，則\(A-B\in\mathscr{L}\)；
- 若\(\{A_n\in\mathscr{L}\}\)是non-decreasing sequence，且\(A_n\uparrow A\)，則\(A\in\mathscr{L}\)。
前兩個條件說的是\(\lambda\)-system對於complement是closed。並且由於第二條意味着\(\forall n, B_n=A_{n+1}-A_n\in\mathscr{L}\)，所以第三條也說明了，\(\mathscr{L}\)中的disjoint sets的countable union依然在\(\mathscr{L}\)中。利用這點，有以下定理。
定理：一個class\(\mathscr{L}\)是\(\lambda\)-system，當且僅當：
- \(X\in \mathscr{L}\)；
- 若\(B\in\mathscr{L}\)，則\(B^c\in\mathscr{L}\)；
- 若\(\{A_n\in\mathscr{L}\}\)是disjoint sequence，則\(\cup_n A_n\in\mathscr{L}\)。
\(\sigma\)-field必定是\(\lambda\)-system，同時是\(\pi\)-system和\(\lambda\)-system的class必定是\(\sigma\)-field。
下面的定理用到了這些定義。
定理 Dynkin's \(\pi\)-\(\lambda\) Theorem：若\(\mathscr{P}\)是一個\(\pi\)-system，\(\mathscr{L}\)是一個\(\lambda\)-system，且\(\mathscr{P}\subseteq \mathscr{L}\)，則\(\sigma(\mathscr{P})\subseteq \mathscr{L}\)。
參考文獻
- Davidson, J., 1994. Stochastic limit theory: An introduction for econometricians. OUP Oxford.