數據結構與算法-排序（六）堆排序（Heap Sort）

摘要

堆排序需要用到一種數據結構，大頂堆。大頂堆是一種二叉樹結構，本質是父節點的數大於它的左右子節點的數，左右子節點的大小順序不限制，也就是根節點是最大的值。

這里就是不斷的將大頂堆的根節點的元素和尾部元素交換，交換到大頂堆沒有可以被交換的元素為止。后面再說大頂堆的邏輯。

邏輯

首先將序列通過大頂堆排序。然后不斷的從堆中取出頂部元素放在尾部，直到大頂堆元素為空。

流程

1. 對序列進行原地建堆操作
2. 重復下面操作，直到堆元素數量為 1
   1. 交換堆頂元素與尾元素
   2. 堆的元素數量減 1
   3. 對 0 位置進行 1 次 自下而上的下濾

下面在代碼中解釋原地建堆和自下而上的下濾這兩個詞的邏輯。

實現

首先進行原地建堆。原地建堆是先將序列按照大頂堆的排序邏輯處理序列。

大頂堆的序列邏輯是父節點的值大於它的左右子節點的值，可以想象成一個二叉樹。這里的原地排序用到了siftDown方法，而且在循環中只循環到序列一半數量，為什么？這個在下面看siftDown方法時詳細探究一下。

// 原地建堆
// 自下而上的下濾
heapSize = array.length;
for (int i = (heapSize >> 1) - 1; i >= 0; i--) {
	siftDown(i);
}

交換堆頂和尾部元素，然后將需要比較的序列元素數量減少1，並將要進行比較的序列再使用siftDown方法過濾，保持序列的大頂堆的性質。然后繼續開始的交換，直到可以比較的序列數量為 1 就截止。

while (heapSize > 1) {
	// 交換堆頂元素和尾部元素
	swap(0, --heapSize);
		
	// 對 0 位置進行 siftDown（恢復堆的性質）
	siftDown(0);
}

大頂堆的 siftDown 方法

這里來探究一下siftDown（下濾）。

二叉樹的父節點和子節點的關系符合這樣的公式

• leftChilder = partner * 2 + 1
• rightChilder = parnter * 2 + 1 + 1
• half （葉子）節點的數量是總節點數量的 1/2

siftDown 方法主要是將 index 位置上的元素放在合適的位置上。那么什么位置是合適的位置呢？

依據大頂堆的父節點值大於左右子節點的值的性質來看，只要是保證 index 位置的元素大於它的左右子節點就好。

看下面代碼，如果 index < half 才進行循環比較，那么就有一個問題，當 index >= half 為什么不用比較？

這就要提到很巧妙的點，首先看大頂堆的性質，左右子節點沒有具體順序的要求，其次子節點的值小於父節點。那么就可以依據二叉樹的葉子節點性質，如果index的位置是在葉子節點位置，那么就本來比它的父節點要小，就不用比較（這個是建立在序列本來符合大頂堆的順序，出現一個位置的元素有變化時進行的過濾處理）。

這也是上面的原地排序中，只從一半的位置開始，是因為從這個位置開始，肯定會給它的子節點比較，過濾出大的，並放在合適位置。

代碼中有三個巧妙的點

1. 循環從序列的一半位置開始比較，如果位置不在前半部分，就不進行比較，這個在上面分析過
2. 在比較的時候，獲取到它左右子節點中最大的節點比較。在獲取右子節點的時候看右子節點是否存在rightIndex<heapSize。因為大頂堆是符合完全二叉樹的（盡量往左子樹安排元素）。
3. 說是二叉樹，但是沒有實際的節點，還是一個線性序列，通過公式來獲取左右子樹的位置，這個就是心中有樹，沒有樹也是樹

	
/*
 * 讓 index 位置的元素下濾
 */
private void siftDown(int index) {
	E element = array[index];

	int half = heapSize >> 1; // 取出非葉子節點
	// 第一個葉子結點的索引 == 非葉子節點的數量
	// 必須保證 index 是非葉子節點
	while (index < half) {
		// index 的節點有2種情況
		// 1、只有左子節點
		// 2、同時有左右子節點
			
		// 默認左子節點跟它進行比較
		int childIndex = (index << 1) + 1;
		E child = array[childIndex];
		// 右子節點
		int rightIndex = childIndex + 1;
		if (rightIndex < heapSize && cmp(array[rightIndex], child) > 0) {
			child = array[ childIndex = rightIndex];
		}
			
		if (cmp(child, element) < 0) break;
			
		// 將子節點存放到index位置
		array[index] = child;
		// 重新設置 index
		index = childIndex;
	}
	array[index] = element;
}

時間和空間復雜度

• 最好、平均時間復雜度：O(nlogn)
• 最壞時間復雜度：O((nlogn)
• 空間復雜度：O(1)
• 屬於不穩定排序

題外話

這次的排序用到了二叉樹和大頂堆的一些知識，可能看下來有諸多疑問，這里就先請諸位看官有個印象，后續我會分享二叉樹的知識，然后在回過頭來看堆排序，會讓你思路大開。