整數規划

本文轉載自查看原文 2021-08-06 14:42 212 數學建模

2、整數規划

2.1 定義

規划中的變量（部分或全部）限制為整數時，稱為整數規划。若在線性規划模型中，變量限制為整數，則稱為整數線性規划。

2.2 分類

變量全限制為整數時，稱純（完全）整數規划。
變量部分限制為整數的，稱混合整數規划。

2.3 整數規划特點

1、原線性規划有最優解，當自變量限制為整數后，其整數規划解出現下述情況：

原線性規划和整數規划的最優解一致
整數規划無可行解
有可行解（但不是最優解）

2、整數規划最優解不能按照實數最優解簡單取整而獲得

2.4 求解的方法

分枝定界法—可求純或混合整數線性規划
割平面法—可求純或混合整數線性規划
隱枚舉法—求解“0-1”整數規划：
1. 過濾隱枚舉法；
2. 分枝隱枚舉法。
匈牙利法—解決指派問題
蒙特卡洛法—求解各種類型規划

2.5 分枝定界法

對有約束條件的最優化問題（其可行解為有限數）的所有可行解空間恰當地進行系統搜索，這就是分枝與定界內容。把全部可行解空間反復地分割為越來越小的子集，稱為分枝。對每個子集內的解集計算一個目標下界（對於最小值問題），這稱為定界。

在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目標值的那些子集不再進一步分枝，這樣，許多子集可不予考慮，這稱剪枝。這就是分枝定界法的主要思路。

例 1

求

解：

1、先不考慮整數限制，直接按照線性規划求解，將此線性規划問題視為 B，得

再取 x1 = x2 = 0，得到 z 為 0，那么，以上便可求出可行解 z 的上下界

2、任選 x1 和 x2 進行分枝，取 x1 <= 4，x1 >= 5

可得

對 z 再定界，有

3、對 x2 進行分枝，取 x2 <= 2，x2 >= 3，有

再定界，有

4、若再對 x2 以 1 進行分支定界，無可行解，那么，可推斷，最優解為

2.6 0 - 1 整數規划

0-1 整數規划指的是變量 xj 僅能取 0 或 1，即

2.6.1 投資場所的選定——相互排斥的計划

題目描述：某公司擬在市東、西、南三區建立門市部。擬議中有 7 個位置 Aj（j = 1, 2, 3...7）可供選擇，規定

Aj 點的投資為 bj 元，每年利潤為 cj 元，投資總額不能超過 B 元，問如何選擇可使年利潤最大？

解：

引入變量 xj，令

那么問題可寫為

2.6.2 互斥問題的約束條件

1、

可寫為

M 為充分大的數

2、

可寫為

2.6.3 固定費用的問題

例 2

某工廠為了生產某種產品，有三種方式可供選擇：

xj 表示采用第 j 種方式生產時的產量
cj 表示第 j 種方式生產時的變動成本
kj 表示第 j 種方式生產時的固定成本

要求最小化生產成本。

解：

第 j 種生產方式的總成本為

引入 0 - 1 變量 yj，為

於是目標函數為

對於（3）式的規定，可改寫為

前者和后者分別為充分小和充分大的數

2.7 0 - 1 整數規划的解法

2.7.1 過濾隱枚舉法

窮舉法是最容易想到的一種方法，但是計算量太大，因此設計一種僅檢查變量取值的組合的一部分，稱為過濾隱枚舉法。分枝定界法也為過濾隱枚舉法的一種。

例 3

解題思路：

先取一個可行解，例如 (x1, x2, x3) = (1, 0, 0)，可行解 z = 3
因為求的是最大值，因此求解過程中凡是 z < 3 的值均不考慮
改進過濾條件，抬高過濾門檻

2.8 蒙特卡洛法（隨機取樣法）

前面講的是線性整數規划，接下來說明非線性整數規划的問題，當數據量很大時，采用窮舉法得到最優解不符合現實，但是應用概率理論可以證明，在一定的計算量的情況下，完全可以得出一個滿意解。

例 4

解：

若采用窮舉法，共 10¹⁰ 個點，可隨機分析 10⁶ 便可達到最優。

mente.m 如下：目標函數 f ，約束向量函數 g

mainint.m 如下：

上面代碼中 sum(g <= 0) == 4 的原因是題目中 4 個約束條件需全部滿足。

2.9 指派問題的計算機求解

采用 0 - 1 整數規划求解，使用到的 MATLAB 函數為 bintprog

例 5

解：

MATLAB 程序如下：

解得

bintprog 函數說明如下：參考 https://www.jianshu.com/p/9ad0f6d0a7df

x = bintprog(f)
x = bintprog(f, A, b)
x = bintprog(f, A, b, Aeq, beq)

x 是解向量，f 是矩陣系數

A是一個矩陣，b是一個向量

A，b和變量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了線性規划中不等式約束條件
A，b是系數矩陣和右端向量。
Aeq和Beq表示了線性規划中等式約束條件中的系數矩陣和右端向量。

例 6

求 max=193x1+191x2+187x3+186x4+180x5+185x6;

st.
x5+x6>=1;

x3+x5>=1;

x1+x2<=1;

x2+x6<=1;

x4+x6<=1;

x1+x2+x3+x4+x5+x6=1;

解：

f=[-193;-191;-187;-186;-180;-185;];
a=[0 0 0 0 -1 -1;0 0 -1 0 -1 0;1 1 0 0 0 0;0 1 0 0 0 1;0 0 0 1 0 1];
b=[-1,-1,1,1,1]';
aeq=[1 1 1 1 1 1];
beq=[3];
x=bintprog(f,a,b,aeq,beq)

2.10 生產與銷售計划問題

2.10.1 問題描述

某公司用兩種原油（ A和B ）混合加工成兩種汽油（甲和乙）。甲、乙兩種汽油含 A 原油的最低比例分別為 50％和 60％，每噸售價分別為 4800 元和 5600 元。該公司現有原油 A和B 的庫存量分別為 500 噸和 1000 噸，還可以從市場上買到不超過 1500噸的原油 A。原油 A的市場價為：購買量不超過 500 噸時的單價為 10000 元/噸；購買量超過 500 噸單不超過 1000 噸時，超過 500 噸的部分 8000 元/噸；購買量超過 1000 噸時，超過 1000 噸的部分 6000 元/噸。該公司應如何安排原油的采購和加工。