整數拆分（動態規划）

1.將正整數n無序拆分成最大數為m的拆分方案個數，要求所有拆分方案不重復。

樣例：

n = 5, m = 5,對應的拆分方案如下：

5 = 5

5 = 4 + 1

5 = 3 + 2

5 = 3 + 1 + 1

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 1 + 1

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

分析：

（1）當n=1，無論m為多少，只有{1}一種划分

（2）當m=1，無論n為多少，只有{1,1,1…}一種划分

（3）當n<m，f（n，m）=f（n，n）

（4）當n=m，如果划分中有n，則只有{n}一種划分；當划分中沒有n，則f（n，n）=f（n，n-1）

f（n，n）= 1 + f（n，n - 1）

（5）當n>m，如果划分中有m，則{m，{x1，x2，…} = n - m}，f（n，m）=f（n - m， m）；當划分中沒有m，f（n，m）=f（n，m - 1）

f（n，m） = f（n - m， m）+ f（n，m - 1）

import java.util.Scanner;

public class Main {
	
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		while (scanner.hasNext()){
			int n = scanner.nextInt();
			int m = scanner.nextInt();
			int temp = integerhuafen(n, m);
			System.out.print(temp);
		}		
	}
	public static int integerhuafen(int n, int m) {
		
		int dp[][] = new int[n + 1][m + 1];		
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			for(int j = 1; j <= m; j++ ){
				if(i == 1 || j == 1){
					dp[i][j] = 1;
				}else if (i == j) {
					dp[i][j] = 1 + dp[i][j - 1];
				}else if (i < j) {
					dp[i][j] = dp[i][i];
				}else {
					dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i][j - 1];
				}
			}
		}
		return dp[n][m];		
	}
}

2.將正整數n拆分成k份，每份不為空，不考慮順序，求划分的種類。

樣例：

n = 7, k = 3;

輸出：

4

{1,1,5; 1,2,4; 1,3,3; 2,2,3}

分析：

（1）分的時候至少有一個1，相當於dp[n][k] = dp[n - 1][k - 1]

（2）分的時候沒有1，dp[n][k] = dp[n - k][k]

=》 dp[n][k] = dp[n - 1][k - 1] + dp[n - k][k]

 

import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		while (scanner.hasNext()){
			int n = scanner.nextInt();
			int k = scanner.nextInt();
			int [][] arr = new int [n + 1][k + 1];
			arr[0][0] = 1;

			for (int i = 1; i <= n; i++){
				for (int j = 1; j <= k; j++){
					if(i >= j){
						arr[i][j]=arr[i-j][j]+arr[i-1][j-1];
					}
				}
			}
			System.out.println(arr[n][k]);
		}
		scanner.close();
	}
}