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前言
Hello！小伙伴！
非常感謝您閱讀海轟的文章，倘若文中有錯誤的地方，歡迎您指出～
自我介紹 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵稱：海轟
標簽：程序猿｜C++選手｜學生
簡介：因C語言結識編程，隨后轉入計算機專業，有幸拿過一些國獎、省獎...已保研。目前正在學習C++/Linux/Python
學習經驗：扎實基礎 + 多做筆記 + 多敲代碼 + 多思考 + 學好英語！
初學Python 小白階段
文章僅作為自己的學習筆記 用於知識體系建立以及復習
題不在多 學一題 懂一題
知其然 知其所以然！
本文僅從Pyhton如何解決建模問題出發
未對建模思路等進行深一步探索
推薦（排版簡潔 適合閱讀）
https://mp.weixin.qq.com/s/O7YIWsJZY6rWfbqsjcv88g
整數規划
整數規划的模型與線性規划基本相同，只是額外增加了部分變量為整數的約束
整數規划求解的基本框架是分支定界法，首先去除整數約束得到"松弛模型"。使用線性規划的方法求解。
若有某個變量不是整數，在松弛模型.上分別添加約束:x≤floor(A)和x≥ceil(A)，然后再分別求解，這個過程叫做分支。當節點求解結果中所有變量都是整數時。停止分支。這樣不斷迭代，形成了一顆樹。
所謂定界，指的是葉子節點產生后，相當於給問題定了一個下界。之后在求解過程中一旦某個節點的目標函數值小於這個下界，那就直接pass,不再進行分支了;每次新產生葉子節點，則更新下界。
例題
求\(min \quad z = 3x_1 + 4x_2 + x_3\) 的最小值
方法一：分支定界法（使用scipy庫）
Demo代碼
# 運行環境：Vs Code
import math
from scipy.optimize import linprog
import sys
def integerPro(c, A, b, Aeq, beq,t=1.0E-8):
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=Aeq, b_eq=beq)
bestVal = sys.maxsize
bestX = res.x
if not(type(res.x) is float or res.status != 0):
bestVal = sum([x*y for x,y in zip(c, bestX)])
if all(((x-math.floor(x))<=t or (math.ceil(x)-x)<=t) for x in bestX):
return (bestVal,bestX)
else:
ind = [i for i, x in enumerate(bestX) if (x-math.floor(x))>t and (math.ceil(x)-x)>t][0]
newCon1 = [0]*len(A[0])
newCon2 = [0]*len(A[0])
newCon1[ind] = -1
newCon2[ind] = 1
newA1 = A.copy()
newA2 = A.copy()
newA1.append(newCon1)
newA2.append(newCon2)
newB1 = b.copy()
newB2 = b.copy()
newB1.append(-math.ceil(bestX[ind]))
newB2.append(math.floor(bestX[ind]))
r1 = integerPro(c, newA1, newB1, Aeq, beq)
r2 = integerPro(c, newA2, newB2, Aeq, beq)
if r1[0] < r2[0]:
return r1
else:
return r2
c = [3,4,1]
A = [[-1,-6,-2],[-2,0,0]]
b = [-5,-3]
Aeq = [[0,0,0]]
beq = [0]
print(integerPro(c, A, b, Aeq, beq))
運行結果
(8.000000000001586, array([2., 0., 2.]))
# 或者
(8.000000000001586, array([2.00000000e+00, 1.83247535e-13, 2.00000000e+00]))
方法二：使用pulp庫進行求解
只需要在設置變量的時候
設置參數cat='Integer' 即可
- Continuous：連續
- Binary：0 或 1
- Integer：整數
Demo代碼
import pulp as pp
# 參數設置
c = [3,4,1] #目標函數未知數前的系數
A_gq = [[1,6,2],[2,0,0]] # 大於等於式子 未知數前的系數集合 二維數組
b_gq = [5,3] # 大於等於式子右邊的數值 一維數組
# 確定最大最小化問題，當前確定的是最小化問題
m = pp.LpProblem(sense=pp.LpMinimize)
# 定義三個變量放到列表中 生成x1 x2 x3
x = [pp.LpVariable(f'x{i}',lowBound=0,cat='Integer') for i in [1,2,3]]
# 定義目標函數，並將目標函數加入求解的問題中
m += pp.lpDot(c,x) # lpDot 用於計算點積
# 設置比較條件
for i in range(len(A_gq)):# 大於等於
m += (pp.lpDot(A_gq[i],x) >= b_gq[i])
# 求解
m.solve()
# 輸出結果
print(f'優化結果：{pp.value(m.objective)}')
print(f'參數取值：{[pp.value(var) for var in x]}')
運行結果
優化結果：8.0
參數取值：[2.0, 0.0, 2.0]
結語
學習來源：B站及其課堂PPT，對其中代碼進行了復現
鏈接：https://www.bilibili.com/video/BV12h411d7Dm?from=search&seid=5685064698782810720
文章僅作為學習筆記，記錄從0到1的一個過程
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