【牛頓-萊布尼茨公式的n維推廣】外微分公式、斯托克斯公式、廣義斯托克斯公式

目錄

• 0、前言&引子
  • 0.1、本文要求的預備知識
  • 0.2、牛頓-萊布尼茨公式
  • 0.3、格林公式
  • 0.4、高斯公式
  • 0.5、斯托克斯公式
  • 0.6、廣義斯托克斯公式（牛頓萊布尼茨公式的推廣）
• 1、記號說明
  • 1.1、求邊界記號∂Ω的含義
  • 1.2、流形
  • 1.3、楔形積(dx∧dy)=-(dy∧dx)
  • 1.4、外微分記號dω的含義
• 2、用「廣義斯托克斯公式」推導「牛頓-萊布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」
  • 2.1、牛頓-萊布尼茨公式
  • 2.2、格林公式&斯托克斯公式
  • 2.3、高斯公式
• 3、總結

0、前言&引子

0.1、本文要求的預備知識

本文要求讀者已修習書目《高等數學（下）》，了解「梯度」、「散度」、「旋度」的定義，了解全微分公式，熟悉「第一/二類曲線/面積分」，了解「牛頓-萊布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」。

本文旨在於讓讀者理解到「牛頓-萊布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」可以被統一為「廣義斯托克斯公式」。

0.2、牛頓-萊布尼茨公式

我們在高數中講過牛頓-萊布尼茨公式

\[\int_{a}^b{f^\prime\left( x \right) \mathrm{d}x}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.1} \]

或者記為

\[\int_{\left[ a,b \right]}{ \mathrm{d}f}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.2} \]

0.3、格林公式

在講二重積分時，引入了格林公式

\[\iint_D{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{l}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y} \tag{0.3} \]

其中曲線 \(l\) 是平面區域 \(D\) 的邊界曲線，我們用符號 \(l=\partial D\) 來表示 \(D\) 的邊界曲線，並用行列式化簡表達式

\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y} \tag{0.4} \]

表達式右端可以看作向量的內積 \(\left\{P,Q\right\}\cdot \left\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\right\}\) ，因此，令 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q \right\} ,\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y \right\}\) ，格林公式可以進一步寫為

\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.5} \]

還記得高數講得旋度公式 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P& Q& R\\\end{matrix} \right|\) 嗎？是不是感覺和這里很像？因為這里的 \(\boldsymbol{F}\) 沒有 \(z\) 分量，所以這里有 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& 0\\ P& Q& 0\\\end{matrix} \right| = \boldsymbol{\hat{z}}\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|\) 。如果我們再令 \(\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\hat{z}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \left\{0,0,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right\}\) ，左端就等價於 \(\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\) 了。因此，我們最終將格林公式改寫為了

\[\iint_D{\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} =\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.6} \]

0.4、高斯公式

在講三重積分時，我們引入了高斯公式

\[\iiint_{\Omega}{\left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}V}=\oiint_{\partial \Omega}{\left( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma \right) \mathrm{d}S} \tag{0.7} \]

其中曲線 \(\partial \Omega\) 是實心空間立體區域 \(\Omega\) 的邊界曲面（例如球體的邊界曲面就是球面）。

並且，與格林公式類似地，我們令 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\} ,\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\mathrm{d}S\left\{ \cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma \right\}\) ，並引入散度算子 \(\nabla=\left\{ \frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z} \right\}\) ，此時 \(\nabla \cdot \boldsymbol{F}= \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\) 。我們可以把高斯公式改寫為

\[\iiint_{\Omega}{\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \mathrm{d}V}=\oiint_{\partial \Omega}{\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} \tag{0.8} \]

0.5、斯托克斯公式

通過格林公式和高斯公式的練習，是不是有些找到感覺了？讓我們來看看最后一個公式——斯托克斯公式。事實上，我們可以認為斯托克斯公式是格林公式向三維的自然推廣。

高數講的斯托克斯公式是

\[\iint_S{\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial S}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z} \tag{0.9} \]

令 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\} ,\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z \right\}\) ，借助高數講得旋度公式 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P& Q& R\\\end{matrix} \right|\) ，再令 \(\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\hat{x}}\mathrm{d}y\mathrm{d}z +\boldsymbol{\hat{y}}\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\boldsymbol{\hat{z}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y= \left\{\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right\}\) ，斯托克斯公式就能化為和格林公式一樣的形式了。

\[\iint_D{\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} =\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.10} \]

0.6、廣義斯托克斯公式（牛頓萊布尼茨公式的推廣）

在這里，我不加證明也不加說明地給出「廣義斯托克斯公式」，這一公式將上面的所有公式統一了起來。至於這一公式的含義，則需要閱讀完本文全文后才能理解，本文將會講解本公式中涉及的所有符號。

\[\int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega} \tag{0.11} \]

相信第一次看到這個公式的同學們是懵逼的，因為一堆符號看起來認識，但和我們認知中的並不一樣。比如：里面的 \(\partial \Omega\) 是什么意思？為什么右面的積分符號 \(\int\) 沒有配套 \(\mathrm{d}x\) ？左面的 \(\mathrm{d}\omega\) 是什么含義？讓我們帶着這些疑問來看本文的內容吧。

1、記號說明

注：如果嫌太長不想看的話，每一段前面都幾句話總結環節。

濃縮的都是精華，短的公式不一定好理解，因為每一個符號背后的含義可能都十分復雜。不要看 \(\int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}\) 這個公式很短，但在這一個短短的公式中，卻蘊含了十分多的數學知識。接下來，讓我們以這個公式為主線，來探索這些符號的含義，以及學習這些數學知識。

1.1、求邊界記號∂Ω的含義

幾句話總結：假設 \(\Omega\) 代表一個區域，那么 \(\partial \Omega\) 代表區域的邊界。比如平面上的實心圓、三維空間的半球面，邊界就是一個圓。球體的邊界就是一個球面。

首先引入一個求邊界記號 \(\partial\) ，假設 \(\Omega\) 代表一個區域，那么 \(\partial \Omega\) 代表區域的邊界。

下面舉幾個直觀的例子——

• 如果 \(l\) 代表一條直線（如一個區間）， \(\partial l\) 就代表它的兩端點（如該區間端點）。
• 如果 \(D\) 代表一個平面（如一個實心圓）， \(\partial D\) 就代表它的邊界曲線（如該圓邊界）。
• 如果 \(V\) 代表空間中的一個體（如一個實心球體）， \(\partial V\) 就代表它的邊界曲面（如該球表面）。

再舉一個具體的例子，假設 \(V=\left\{ \left( x,y,z \right) |x^2+y^2+z^2\leqslant 1 \right\}\) 是 \(3\) 維的單位球，那么 \(\partial V\) 就是它的邊界，即 \(2\) 自由度的球面 \(\partial V=\left\{ \left( x,y,z \right) |x^2+y^2+z^2=1 \right\}\) （所謂自由度，就是自由移動的程度。比如球面只能向着 \(2\) 個方向自由移動，無法向着半徑方向自由移動，所以球面的自由度為 \(2\) ）。

1.2、流形

幾句話總結：無論處於幾維空間，曲線被稱為 \(1\) 維流形，曲面被稱為 \(2\) 維流形，三維體被稱為 \(3\) 維流形，這於所處空間的維度無關。例如 \(3\) 維空間中的圓是曲線，所以是 \(1\) 維流形。 \(3\) 維空間中的球面是曲面，所以是 \(2\) 維流形。

我們知道 \(V=\left\{ \left( x,y,z \right) |x^2+y^2+z^2\leqslant 1 \right\}\) 是 \(3\) 維的單位球，所以它的維度是 \(3\) 。那么問題來了，它的邊界球面 \(\partial V=\left\{ \left( x,y,z \right) |x^2+y^2+z^2=1 \right\}\) 的“維度”是多少呢？

我們通過直覺會感覺到，球面比起球少了一個自由度。也就是說，球面無法在半徑方向自由移動，所以球面的“維度”理應是 \(2\) ，即使它確實處在 \(3\) 維空間中，但想象一個住在球面上的居民，它只能往兩個方向自由移動，所以它理應是 \(2\) 維的，只是被嵌入了 \(3\) 維空間。

同理，一條三維空間中的曲線，它真正的自由度只有 \(1\) ，因為想象一個住在曲線上的居民，它只能往一個方向自由移動，所以它理應是 \(1\) 維的，只是被嵌入了 \(3\) 維空間。

為了准確地描述這一現象，並且將曲線、曲面、體統一起來，我們將它們命名為“流形”。其中

• 只要是曲線，無論處於幾維空間，都將其稱為 \(1\) 維流形。
• 只要是曲面，無論處於幾維空間，都將其稱為 \(2\) 維流形。
• 只要是三維體，無論處於幾維空間，都將其稱為 \(3\) 維流形。
• 只要是 \(n\) 維體，無論處於幾維空間，都將其稱為 \(n\) 維流形。

例如超平面 \(S_{n-1}=\left\{ \left( x_1,x_2,\cdots ,x_n \right) |x_1+x_2+\cdots +x_n = 1 \right\}\) 就是一個 \(n-1\) 維的流形。

1.3、楔形積(dx∧dy)=-(dy∧dx)

幾句話總結：對於第二類曲面積分而言，曲面微元是具有方向的，而方向則是由右手法則確定的。 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y\) 是從 \(x\) 指向 \(y\) ， \(\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x\) 是從 \(y\) 指向 \(x\) ，自然相差一個負號。於是楔形積滿足反交換律 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = -\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x\) 。

我們約定 \(\boldsymbol{\hat{x}}\) 代表與 \(\boldsymbol{x}\) 向量同向的單位方向向量。

在高數中，我們知道曲面是有正面和反面的說法的。比如第二類曲面積分， \(\boldsymbol{F}\) 和 \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\) 方向一致的話，那么積分為正，方向相反則積分為負。那么這個 \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\) 的方向究竟是什么呢？

我們可以通過下圖清楚地看出——法向量 \(\boldsymbol{\hat{n}}\) 的方向由 \(\mathrm{d}x\) 和 \(\mathrm{d}y\) 的右手法則確定， \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}\) 相當於 \(\mathrm{d}x\) 和 \(\mathrm{d}y\) 之間的叉乘/外積。伸出右手，四指從 \(\mathrm{d}x\) 向 \(\mathrm{d}y\) 繞，此時大拇指的指向就是法向量 \(\boldsymbol{\hat{n}}\) 的方向。我們將其記為 \(\boldsymbol{\hat{n}} \left( \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \right)\) ，它代表方向與 \(\boldsymbol{\hat{n}}\) 同向，大小為 \(\mathrm{d}x \cdot \mathrm{d}y\cdot \sin \theta\) 的面積微元。

那么，由圖不難看出， \(\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x\) 的方向與法向量 \(\boldsymbol{\hat{n}}\) 的反方向，所以應當有下表達式成立：

\[\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = -\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x \tag{1.1} \]

在三維空間中——

• \(\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z \right\}\) 代表與曲線方向向量同向的矢量線微元。
• \(\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\left\{ \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z,\mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x,\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \right\}\) 代表與曲面法向量同向的矢量面微元。
• 因為空間只有 \(3\) 維，因此 \(\mathrm{d}V=\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z\) 代表標量體積微元。

當然，這一公式可以推廣到高維，我們稱之為“反交換律”，即交換兩個元素后，等式添加一個負號。

1.4、外微分記號dω的含義

幾句話總結：如果 \(\omega\) 是一個三元函數 \(\omega=f\left(x,y,z\right)\) ，那么 \(\omega\) 被稱為「第零次外微分形式」，其微分滿足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla f \right) \cdot \left( \mathrm{d}\boldsymbol{l} \right) \tag{1.2} \]

如果設 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ， \(\omega\) 是一個一維的微元 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\) ，那么 \(\omega\) 被稱為「第一次外微分形式」，其微分滿足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} \boldsymbol{S} \right) \tag{1.3} \]

如果設 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ， \(\omega\) 是一個二維的微元 $$\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = P \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+Q \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+R \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y$$ ，那么 \(\omega\) 被稱為「第二次外微分形式」，其微分滿足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} V \right) \tag{1.4} \]

我們可以這么總結： \(\omega\) 是幾次外微分形式，關鍵看 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}?\) ， \(?\) 是幾維，外微分就是幾次形式。零次形式 \(\omega\) 的外微分是梯度乘以弧長微元 \(\mathrm{d}\omega =\left( \nabla f \right) \cdot \left( \mathrm{d}\boldsymbol{l} \right)\) ，一次形式 \(\omega\) 的外微分是旋度乘以面積微元 \(\left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} \boldsymbol{S} \right)\) ，二次形式 \(\omega\) 的外微分是散度乘以體積微元 \(\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} V \right)\) 。

\(\mathrm{d}\omega\) 這個玩意被我們稱為外微分。

我們假設 \(\omega\) 是一個三元函數 \(\omega=f\left(x,y,z\right)\) ，因為這里還沒開始進行外微分運算，我們稱 \(\omega\) 為「第零次外微分形式」。那么根據全微分法則，「『第零次外微分形式』的微分」為

\[\mathrm{d}\omega =\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z \]

我們求出了 \(\mathrm{d}\omega\) 。

進一步地，我們知道 \(f\) 的梯度為 \(\nabla f=\left\{ \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right\}\) ，並記弧長方向向量微元 \(\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z \right\}\) ，得到「『第零次外微分形式』的微分」：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla f \right) \cdot \left( \mathrm{d}\boldsymbol{l} \right) \tag{1.2} \]

那么，我們自然會想：設 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ， \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\) 能不能繼續微分下去，也就是求出 \(\mathrm{d}\omega\) 。因為這里的形式與「『第零次外微分形式』的微分」很像，我們稱 \(\omega\) 為「第一次外微分形式」。

我們對其進行一次微分，得到

\[\mathrm{d}\omega =\mathrm{d}P\wedge \mathrm{d}x+\mathrm{d}Q\wedge \mathrm{d}y+\mathrm{d}R\wedge \mathrm{d}z \]

這個公式我就不予證明了。結合全微分公式

\[\begin{cases} \mathrm{d}P=\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \mathrm{d}Q=\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial Q}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \mathrm{d}R=\frac{\partial R}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial R}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \end{cases} \]

以及 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}x=\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}y=\mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}z=0\) ，和反交換律 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y=-\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x\) ，得到「『第一次外微分形式』的微分」：

\[\begin{aligned} \mathrm{d}\omega &=\mathrm{d}P\land \mathrm{d}x+\mathrm{d}Q\land \mathrm{d}y+\mathrm{d}R\land \mathrm{d}z\\ &=\left( \frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm{d}z \right) \land \mathrm{d}x+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial Q}{\partial z} \right) \land \mathrm{d}y+\left( \frac{\partial R}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial R}{\partial y}\mathrm{d}y \right) \land \mathrm{d}z\\ &=\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\\ \end{aligned} \]

設 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ，注意到旋度公式

\[\begin{aligned} \nabla \times \boldsymbol{F}&=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P& Q& R\\ \end{matrix} \right|\\ &=\boldsymbol{\hat{x}}\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right) +\boldsymbol{\hat{y}}\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right) +\boldsymbol{\hat{z}}\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)\\ &=\left\{ \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right\}\\ \end{aligned} \]

再令 \(\mathrm{d} \boldsymbol{S} = \left\{ \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z,\mathrm{d}z\land \mathrm{d}x,\mathrm{d}x\land \mathrm{d}y \right\}\) ，就求出了「『第一次外微分形式』的微分」：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} \boldsymbol{S} \right) \tag{1.3} \]

進一步地，我們還能求「第二次外微分形式」。令 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = P \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+Q \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+R \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\) ，稱之為「第二次外微分形式」，得

\[\mathrm{d}\omega =\mathrm{d}P\land \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+\mathrm{d}Q\land \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+\mathrm{d}R\land \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y \]

與上面的推導類似地，結合全微分公式

\[\begin{cases} \mathrm{d}P=\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \mathrm{d}Q=\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial Q}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \mathrm{d}R=\frac{\partial R}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial R}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}z\\ \end{cases} \]

以及 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}x=\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}y=\mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}z=0\) ，和反交換律 \(\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y=-\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x\) ，得到「『第二次外微分形式』的微分」：

\[\begin{aligned} \mathrm{d}\omega &=\mathrm{d}P\land \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+\mathrm{d}Q\land \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+\mathrm{d}R\land \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\\ &=\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}y\land \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}z\land \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\\ &=\left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z\\ \end{aligned} \]

設 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ，注意到散度公式 \(\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \left( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \right)\) ，再令 \(\mathrm{d} V = \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y \land \mathrm{d}z\) ，就求出了「『第二次外微分形式』的微分」：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} V \right) \tag{1.4} \]

2、用「廣義斯托克斯公式」推導「牛頓-萊布尼茨公式」、「格林公式」、「高斯公式」、「斯托克斯公式」

廣義斯托克斯公式是——

\[\int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega} \tag{0.11} \]

2.1、牛頓-萊布尼茨公式

一維的牛頓-萊布尼茨公式是——

\[\int_{\left[ a,b \right]}{ \mathrm{d}f}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.2} \]

或者考慮二、三維情形，寫成

\[\int_{L}{ \left(\nabla f\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}}=f\left( \boldsymbol{x}_2 \right) -f\left( \boldsymbol{x}_1 \right)\tag{2.1} \]

令區域 \(\Omega=\left[ a,b \right]\) ，則邊界點 \(\partial \Omega=a,b\) ，函數 \(\omega = f\) 為零次外微分形式。

則 \(\int_{\partial \Omega}{\omega} = f\left( b \right) -f\left( a \right)\) ，自然有一維的牛頓-萊布尼茨公式——

\[\int_{\left[ a,b \right]}{ \mathrm{d}f} = \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{2.2} \]

或者令考慮二、三維情形，令區域 \(\Omega=L\) ，則邊界點 \(\partial \Omega=\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2\) ，函數 \(\omega = f\) 為零次外微分形式。

則 \(\int_{\partial \Omega}{\omega} = f\left( \boldsymbol{x}_2 \right) -f\left( \boldsymbol{x}_1 \right)\) ， \(\mathrm{d}\omega=\left(\nabla f\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}\) ，自然有二、三維的牛頓-萊布尼茨公式——

\[\int_{L}{ \left(\nabla f\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}}= \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=f\left( \boldsymbol{x}_2 \right) -f\left( \boldsymbol{x}_1 \right)\tag{2.3} \]

2.2、格林公式&斯托克斯公式

格林公式和斯托克斯公式都是——

\[\iint_D{\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} =\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.6} \]

唯一的區別就是：格林公式是二維情形，斯托克斯公式是三維情形。這一點類似於一維的牛頓-萊布尼茨公式與二、三維的牛頓-萊布尼茨公式。

令區域 \(\Omega=D\) ，則 \(\partial \Omega\) 是邊界曲線，函數 \(\omega = \boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\) 為一次外微分形式。

則 \(\int_{\partial \Omega}{\omega} = \oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}}\) ， \(\mathrm{d}\omega=\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\) ，自然有格林公式和斯托克斯公式——

\[\iint_D{\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} = \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}}\tag{2.4} \]

2.3、高斯公式

高斯公式是——

\[\iiint_{\Omega}{\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \mathrm{d}V}=\oiint_{\partial \Omega}{\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} \tag{0.8} \]

令區域為 \(\Omega\) ，則 \(\partial \Omega\) 是邊界曲線，函數 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\) 為二次外微分形式。

則 \(\int_{\partial \Omega}{\omega} = \oiint_{\partial \Omega}{\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}}\) ， \(\mathrm{d}\omega=\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} V \right)\) ，自然有高斯公式——

\[\iiint_{\Omega}{\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \mathrm{d}V}= \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=\oiint_{\partial \Omega}{\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}}\tag{2.5} \]

3、總結

我們利用了廣義斯托克斯公式——

\[\int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega} \tag{0.11} \]

通過將不同次數外微分形式的 \(\omega\) 代入，並選擇與之維度匹配的區域 \(\Omega\) ，就得到了對應的公式。其中——

將 \(0\) 次外微分形式 \(\omega = f\) ，區域 \(\Omega=L\) 代入，得到一、二、三維的「牛頓-萊布尼茨公式」

\[\int_{L}{ \left(\nabla f\right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}}= \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=f\left( \boldsymbol{x}_2 \right) -f\left( \boldsymbol{x}_1 \right)\tag{2.3} \]

將 \(1\) 次外微分形式 \(\omega = \boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\) ，區域 \(\Omega=D\) 代入，得到二維的「格林公式」和三維的「斯托克斯公式」

\[\iint_D{\left(\nabla \times \boldsymbol{F}\right)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}} = \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}}\tag{2.4} \]

將 \(2\) 次外微分形式 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}\) ，區域 \(\Omega\) 代入，得到「牛頓-萊布尼茨公式」

\[\iiint_{\Omega}{\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \mathrm{d}V}= \int_{\Omega}{\mathrm{d}\omega}=\int_{\partial \Omega}{\omega}=\oiint_{\partial \Omega}{\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}}\tag{2.5} \]

其中利用了結論——

如果 \(\omega\) 是一個三元函數 \(\omega=f\left(x,y,z\right)\) ，那么 \(\omega\) 被稱為「第零次外微分形式」，其微分滿足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla f \right) \cdot \left( \mathrm{d}\boldsymbol{l} \right) \tag{1.2} \]

如果設 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ， \(\omega\) 是一個一維的微元 \(\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\) ，那么 \(\omega\) 被稱為「第一次外微分形式」，其微分滿足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \times \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} \boldsymbol{S} \right) \tag{1.3} \]

如果設 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q,R \right\}\) ， \(\omega\) 是一個二維的微元 $$\omega = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = P \mathrm{d}y\land \mathrm{d}z+Q \mathrm{d}z\land \mathrm{d}x+R \mathrm{d}x\land \mathrm{d}y$$ ，那么 \(\omega\) 被稱為「第二次外微分形式」，其微分滿足：

\[\mathrm{d}\omega =\left( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \right) \cdot \left( \mathrm{d} V \right) \tag{1.4} \]

不難發現，這種方法可以推廣到 \(n\) 維。