偏振態及其表示（斯托克斯參數和邦加球）

• 在光的電磁場理論中，光線可由空間的電磁波傳輸來表征，常用它的電場強度矢量\(E(r,t)\)表征；

• 光線傳播時，該電場強度矢量在空間和時間上振盪

  • 在各向同性介質中，振盪的方向總是垂直於傳輸方向的，對於橫波來說，有兩個相互獨立的振動方向；
  • 各向同性介質中 （如，玻璃，真空），這兩個相互獨立的振動方向可以任意選擇；
  • 如果振動的兩個分量是完全不相干的，則振動的合成方向是隨機的，這種光線稱為非偏振光；
  • 如果一束光線的電場強度矢量在一個特定方向上振動，則這束光線稱為是線偏振的。

• 以下介紹偏振時，考慮的時單色平面波在各向同性的均勻介質中的傳輸；

• 光線用它的電場\(E(r,t)\)表征：

  

  • 式中，$\omega $是角頻率，k是波矢，A是表示振幅的常矢量；
  • \({\rm{k}} = n{\omega \over c} = n{{2\pi } \over \lambda }\)，式中n是介質的折射率，c是真空中的光速，$\lambda $是光在真空中的波長。對於吸收介質來說，折射率是復數。
  • 電場強度矢量總是垂直於傳播方向，體現了橫向特性：\({\rm{k}} \cdot E = 0\)

• 為了簡化數學計算，式（1.6.1）中的單色平面波通常寫成：

  

  • 只有等式右邊的實數部分代表實際的電場；
  • 單色光的偏振態由它的電場強度矢量\(E(r,t)\)表征；
  • 電場強度矢量隨時間的變化是精確的正弦變化，即電場必須在特定的頻率處振盪

• 假定傳播方向沿着z軸，對於橫波，電場強度矢量必須在xy平面，電場兩個相互獨立的分量可以寫成

  

  • 兩個相互獨立的正的振幅\({A_x}\)和\({A_y}\)，兩個獨立的相角\({\delta _x}\)和\({\delta _y}\)來反映這兩個相互獨立的分量；
  • 由於振幅是正的，相交的范圍定義為$ - \pi < {\delta _{x,y}} \le \pi $；
  • 電場強度矢量的x分量和y分量可以在特定的頻率上獨立振動，所以必須考慮這兩個正交振動分量疊加作用；
  • 兩個同頻率有一定夾角的獨立振盪的疊加問題，一般的運動軌跡是一個橢圓 ，這對應於x分量和y分量的振動不同步，對光波來說，這對應於橢圓偏振態。

• 一般假設沒有損耗，考慮在原點z=0處的電場強度矢量的時間演變情況。根據（1.6.5）電場強度分量可以表示為：

  \(\left\{ \matrix{ {E_x} = {A_x}\cos (\omega t + {\delta _x}) \hfill \cr {E_y} = {A_y}\cos (\omega t + {\delta _y}) \hfill \cr} \right.\)（1.6-6）

  • 定義相對相位：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x}\)
  • 再次強調，\(\delta\)的限制范圍是\(-\pi<\delta \le \pi\)

線偏振態

• 線偏振：光線的電場強度矢量在一個固定的方向振動（在xy平面內）

• 當振動的兩個分量滿足以下條件，光線是線偏振的：

  • 同相：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x} = 0\)

  • 反相：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x} = \pi\)

  • 在此情況下，電場強度矢量在xy平面內沿特定方向以正弦方式振動，兩個分量的比值定義為：

    

    • 因為兩個相互獨立振幅\({A_x}\)和\({A_y}\)，所以線偏振光的電場強度矢量可以沿xy平面內的任意方向振動；

    • 線偏振光常稱為平面偏振光。

• 如果在固定的時間點（t=0）來考察電場強度矢量的空間變化，電場強度矢量的分量可以寫成

  

  • 相對相位：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x=0或\pi}\)
  • 分量在空間中的正弦曲線軌跡被限制在由式（1.6.9）定義的平面內，電場強度矢量的振動限制在這個平面內，這種光線稱為平面偏振光
  • 平面偏振光和線偏振光的條件是可互換的

圓偏振態

• 定義：如果電場強度矢量在xy平面內均勻旋轉，那么這樣的光線稱為圓偏振光
• 發生情況：
  1. \({A_{\rm{x}}} = {A_y}\)
  2. $\delta=\delta_y-\delta_x=\pm\pi/2 $
     • \(\delta=-\pi/2\)時，光線是右旋圓偏振光，對應於電場強度矢量在xy平面內逆時針旋轉；
     • \(\delta=\pi/2\)時，光線是左旋圓偏振光，對應於電場強度矢量在xy平面內順時針旋轉。

Ps:

1. 類似於擰螺絲！！
2. 此處標記右旋偏振和左旋偏振的規定和現代物理學中的術語一致，現代物理學中，右旋圓偏振的光子有一個沿傳輸方向正的角動量；
3. 一些光學課本中采用相反的規定，這種相反的規定源於電場強度矢量在空間上的演進；
4. 圓偏振光的電場強度矢量分解成任何兩個相互垂直的分量時，幅度都是相等的，相位偏移也總是\(\pm\pi/2\)。

橢圓偏振態

• 定義：如果一束光線的電場強度矢量的曲線軌跡是橢圓(在xy平面內)，那么這束光線是橢圓偏振的(最普遍情況！！！)

  • 線偏振態和圓偏振態都是橢圓偏振態的特殊情況

• 橢圓方程推導：

1. 方程式（1.6-5）是電場強度矢量橢圓軌跡的參數表示
   • 在空間中給定點（z=0）得式（1.6-6）

\(\left\{ \matrix{ {E_x} = {A_x}\cos (\omega t + {\delta _x}) \hfill \cr {E_y} = {A_y}\cos (\omega t + {\delta _y}) \hfill \cr} \right.\)（1.6-6）

2. 橢圓方程可以通過消除式（1.6-6）中的\(\omega t\)來得到，經過幾步初步代數變換后，得到：

Ps:

• 從式（1.6-6）中可以看出，二次曲線被限制在一個矩形區域，這個矩形區域的邊平行於坐標軸，且邊長分別是\(2A_x\)和\(2A_y\)，因此，曲線一定是橢圓。

• 光的偏振態一般是橢圓，一個橢圓偏振態的完整描述包括橢圓相對於坐標軸的方位、形狀和電場旋向

3. 通過坐標系變換(旋轉)，對角化式(1.6-12)，令\(x^‘\)和\(y^‘\)是沿着橢圓主軸的新坐標，新坐標系中的橢圓方程變為：

   

   • a和b是橢圓半長軸和半短軸的長度，\({E_{{x^‘}}}\)、\({E_{{y^‘}}}\)是這個主坐標系的電場強度矢量。
   • 令**$\phi \(**是\)x^‘$軸和x軸之間的夾角，見下圖

   

   • 主軸長度：

     • 

   • 角度\(\phi\):

     • 

     • 如果\(\phi\)是方程的一個解，那么\(\phi+\pi/2\)也是方程的一個解

• 橢圓偏振旋轉的意義由\(sin\delta\)的符號決定

  • \(sin\delta>0\)，電場強度矢量的末端將沿順時針方向旋轉

  • \(sin\delta<0\)，電場強度矢量的末端將沿逆時針方向旋轉

• 橢圓偏振的橢圓率定義

  

  • 當電場強度矢量是右旋時，橢圓率取正值
  • 當電場強度矢量是左旋時，橢圓率取負值
  • \(e = \pm 1\)時是圓偏振光

• 一個橢圓偏振態總可以分解為兩個相互正交的分量，兩個分量之間的相對相移可以處於\(-\pi\)和\(\pi\)之間的任何地方

• 在主軸坐標系中，兩個正交分量的相對相移總是\(-\pi/2\)和\(\pi/2\)，這取決於旋轉的方向

總結：

手性	電場強度矢量旋轉方向	\(\delta\)角正負	\(\sin\delta\)	橢圓率e
右旋	逆時針	負	負	正
左旋	順時針	正	正	負

復數表示

• 預備知識：

  • 關於一個波的偏振態的所有信息都包含在平面波的復振幅A中：

    

• 定義一個復數$\chi $，描述偏振態：

  

  • 角\(\psi\)定義在0和2\(\pi\)之間，\(\psi = {\rm{arctan}}{{{A_y}} \over {{A_x}}}\)

  • 一個橢圓偏振的完整描述包括

    • 方位
    • 旋向
    • 橢圓率

  • 復平面中不同偏振態，如下圖

    

    • 右旋橢圓偏振態都在平面的下半部分，左旋橢圓偏振態在平面的上半部分
    • 原點對應振動方向平行於x軸的線偏振狀態
    • x軸上每一點表示不同相角偏振的線偏振態，只有(0,\(\pm1\))兩點對應圓偏振，復平面內其余的每一點對應一個唯一的橢圓偏振態

• 傾斜角\(\phi\)和偏振橢圓的橢圓率角\(\theta\)($\theta\equiv tan^{-1}e \()對於一個給定的復數\)\chi $

  • 
  • 

瓊斯矢量表示

• 瓊斯矢量描述平面波的偏振態非常方便，將平面波(1.6-4)可以用它的復振幅表示成列矢量

  

  • 瓊斯矢量是復矢量，它的元素是復數。
  • J在實的物理空間中不是一個矢量，然而，在抽象的數學空間中，它是一個矢量
  • 瓊斯矢量包含了電場強度矢量分量中振幅和相位的全部信息，可以唯一確定波的偏振態
  • 如果只對波的偏振態感興趣，用歸一化的瓊斯矢量更方便，歸一化瓊斯矢量滿足條件：\(J \cdot {J^*} = 1\)

• 沿給定方向振盪的線偏振光可以由瓊斯矢量表示：

  \(\left[ \matrix{ \cos \psi \hfill \cr \sin \psi \hfill \cr} \right]\) (1.6-22)

  • \(\psi\)是振盪方向相對於x軸的方位角

  • 和式(1.6-22)表示的態正交的偏振態可以通過用\(\psi+\pi/2\)代替\(\psi\)得到

    \(\left[ \matrix{-\sin \psi \hfill \cr \cos \psi \hfill \cr} \right]\)

  • 當\(\psi=0\)時，表示電場強度矢量沿坐標軸振盪的線偏振態

    \(\widehat x = \left[ \matrix{ 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right]\) \(\widehat y = \left[ \matrix{ 0 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right]\)

• 右旋圓偏振光和左旋圓偏振光的瓊斯矢量可以表示為

  \(R = {1 \over {\sqrt 2 }}\left[ \matrix{ 1 \hfill \cr -i \hfill \cr} \right]\) \(L = {1 \over {\sqrt 2 }}\left[ \matrix{ 1 \hfill \cr i \hfill \cr} \right]\)

Ps:

1. 任何一對正交的瓊斯矢量都可以當成所有瓊斯矢量數學空間的基矢：任何偏振態都可以用兩個正交的偏振態\(\widehat x\)和\(\widehat y\),或者R和L的疊加表示

2. 線性偏振態\(\widehat x\)和\(\widehat y\)與兩個圓偏振態R和L的相互關系式：

   

   • 圓偏振態在x和y方向存在線性振動，其幅度相等均為\({1 \over {\sqrt 2 }}\)，它們之間的相位差為\({\pi \over 2}\)
   • 線性偏振態也可以看成是兩個反向圓偏振態的疊加

• 普遍情況下橢圓偏振態的瓊斯矢量為：

  \(J(\psi ,\delta ) = \left[ \matrix{ \cos \psi \hfill \cr {e^{i\delta }}\sin \psi \hfill \cr} \right]\)（1.6-32）

  • 瓊斯矢量所表示的偏振態與用復數$\chi = {e^{i\delta }}\tan \psi $表示的偏振態是相同的
  • 典型偏振態的瓊斯矢量

  

  Ps:$\delta 、\psi 、\phi、 \theta $幾個角度的區分：

  \(\delta\):相對相位\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x}\)

  \(\psi\):振盪方向相對於x軸的方位角

  \(\phi\):\(x^‘\)軸和x軸之間的夾角,傾斜角

  \(\theta\):偏振橢圓的橢圓率角\(\theta\)($\theta\equiv tan^{-1}e $)

斯托克斯參數和部分偏振光

​

• 只限於研究准單色波，頻譜限定在窄帶$\Delta \omega \((亦即\)\Delta \omega \ll \omega $),這種波可以用方程式(1.6-4)表示，假設放寬振幅A不變的條件
• $\omega $是指中心頻率，復振幅A是時間的函數

平均時間參數

• 引入背景：帶寬比較窄，A(t)只會在時間間隔\({1 \over {\Delta \omega }}\)內做很小的改變，是一個緩變時間函數，但如果探測器的時間常數\({\tau _D}\)遠大於\({1 \over {\Delta \omega }}\)，A(t)將在時間間隔\({\tau _D}\)內顯著變化，為了描述這種輻射形式的偏振態，引入平均時間參數

  

  • 這里假定幅度\({A_x}\)、\({A_ y}\)和相對相角\(\delta\)均與時間無關

  • 雙括號表示對在檢測過程中特征時間常數\({\tau _D}\)內取平均

  • 四個量被稱為准單色平面波的斯托克斯參數，擁有相同的數量級

• 斯托克斯參數滿足下列關系：

  

  等號適用於偏振波

• 偏振光類型	斯托克斯參數
  非偏振光	（1，0，0，0）
  水平偏振波	（1，1，0，0）
  垂直偏振波	（1，-1，0，0）
  右旋圓偏振光（\(\delta = -\pi/2\)）	（1，0，0，-1）
  左旋圓偏振光（\(\delta = \pi/2\)）	（1，0，0，1）

  • 如果光波是完全偏振波，\(S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = 1\)，因此，偏振度可以定義為：

    \(\gamma = {{{{(S_1^2 + S_2^2 + S_3^2)}^{1/2}}} \over {{S_0}}}\)

    • 參數\(\gamma\)是介於0~1的實數，在描述部分偏振光時很有用，部分偏振光的偏振程度從參數\(S_ 1\)\(S_ 2\)\(S_ 3\)的符號可以直接看出來

• 參數	物理意義	具體	特殊情況
  \(S_ 1\)	沿x軸或y軸方向的線偏振	線偏振光沿x軸方向概率\({1 \over 2}(1 + {S_1})\)，沿y軸方向方向概率\({1 \over 2}(1 - {S_1})\)	當\({S_1}\)=1,-1時對應的是沿這些方向的完全偏振
  \(S_ 2\)	沿着與x軸夾角\(\phi=\pm45^ °\)的線偏振光	線偏振光沿x軸方向概率\({1 \over 2}(1 + {S_2})\)，沿y軸方向方向概率\({1 \over 2}(1 - {S_2})\)	當\({S_2}\)=1,-1時對應的是沿這些方向的完全偏振
  \(S_ 3\)	圓偏振度	光波含右旋圓偏振概率\({1 \over 2}(1 - {S_3})\)，概光波含左旋圓偏振率\({1 \over 2}(1 + {S_3})\)

• 用復數$\chi = {e^{i\delta }}\tan \psi $表示偏振光，它的斯托克斯參數為

  $\eqalign{
  & {S_0} = 1 \cr
  & {S_1} = \cos 2\psi \cr
  & {S_2} = \sin 2\psi \cos \delta \cr
  & {S_3} = \sin 2\psi \sin \delta \cr} $ (1.6-36)

  $S_ 3 \(是正號則對應左旋橢圓偏振(sin\)\delta$>0,順時針旋轉)。

邦加球

• 斯托克斯參數是用來描述部分偏振光，這些參數也可以用來描述偏振光的偏振態。對於偏振光，斯托克斯參數\(S_ 1\)\(S_ 2\)\(S_ 3\)都可以用來表示偏振態。

• 當\(S_ 0=1\)時，坐標(\(S_ 1\),\(S_ 2,\)\(S_ 3\))上全部的點被限於一個三維(3-D)空間單位球的表面，這個球就是邦加球。

  

• 球表面上的每個點代表了唯一的偏振態

  • 北極(0,0,1)對應左旋圓(LHC)偏振態
  • 南極(0,0-1)對應右旋圓(RHC)偏振態
  • 點(1,0,0)代表平行於水平方向的線偏振態
  • 點(-1,0,0)代表平行於垂直方向的線偏振態
  • 赤道上的全部點都代表唯一的線偏振態，而其余的點代表橢圓偏振態
  • 球上每一對對稱的點(兩個點相對球心坐標對稱)代表正交偏振態

• 根據方程（1.6-18）和（1.6-19），得到

  

  • \(\phi\)是橢圓偏振的傾角，\(\theta\)是橢圓率角，定義\(\theta \equiv \arctan e\)
  • \({S_2}/{S_1} = 常量\) 表示含兩極的垂直平面，因為\({S_1}、{S_2}\)都被限定在偏振光的球表面，\({S_2}/{S_1}=常量\)實際上代表了子午線——一個連接南北極的半圈，\(\phi\)是子午線的常量，每條子午線代表了一組相同傾角\(\phi\)的橢圓偏振態，但對應不同的橢圓率
  • \({S_3} = 常量\)表示平行於赤道平面的圓平面
  • \(\theta\)是這個圓上的常量（經線或者緯線），所以每條經線（緯線）代表了一類具有相同橢圓率${\rm{e}} = \tan \phi $不同傾角的橢圓偏振態

• 考慮邦加球上兩個不同的點，每個點都代表一個偏振態，斯托克斯矢量表示為：

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