偏振态及其表示（斯托克斯参数和邦加球）
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在光的电磁场理论中，光线可由空间的电磁波传输来表征，常用它的电场强度矢量\(E(r,t)\)表征；
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光线传播时，该电场强度矢量在空间和时间上振荡
- 在各向同性介质中，振荡的方向总是垂直于传输方向的，对于横波来说，有两个相互独立的振动方向；
- 各向同性介质中 （如，玻璃，真空），这两个相互独立的振动方向可以任意选择；
- 如果振动的两个分量是完全不相干的，则振动的合成方向是随机的，这种光线称为非偏振光；
- 如果一束光线的电场强度矢量在一个特定方向上振动，则这束光线称为是线偏振的。
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以下介绍偏振时，考虑的时单色平面波在各向同性的均匀介质中的传输；
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光线用它的电场\(E(r,t)\)表征：
- 式中，$\omega $是角频率，k是波矢，A是表示振幅的常矢量；
- \({\rm{k}} = n{\omega \over c} = n{{2\pi } \over \lambda }\)，式中n是介质的折射率，c是真空中的光速，$\lambda $是光在真空中的波长。对于吸收介质来说，折射率是复数。
- 电场强度矢量总是垂直于传播方向，体现了横向特性：\({\rm{k}} \cdot E = 0\)
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为了简化数学计算，式（1.6.1）中的单色平面波通常写成：
- 只有等式右边的实数部分代表实际的电场；
- 单色光的偏振态由它的电场强度矢量\(E(r,t)\)表征；
- 电场强度矢量随时间的变化是精确的正弦变化，即电场必须在特定的频率处振荡
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假定传播方向沿着z轴，对于横波，电场强度矢量必须在xy平面，电场两个相互独立的分量可以写成
- 两个相互独立的正的振幅\({A_x}\)和\({A_y}\)，两个独立的相角\({\delta _x}\)和\({\delta _y}\)来反映这两个相互独立的分量；
- 由于振幅是正的，相交的范围定义为$ - \pi < {\delta _{x,y}} \le \pi $；
- 电场强度矢量的x分量和y分量可以在特定的频率上独立振动，所以必须考虑这两个正交振动分量叠加作用；
- 两个同频率有一定夹角的独立振荡的叠加问题，一般的运动轨迹是一个椭圆 ，这对应于x分量和y分量的振动不同步，对光波来说，这对应于椭圆偏振态。
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一般假设没有损耗，考虑在原点z=0处的电场强度矢量的时间演变情况。根据（1.6.5）电场强度分量可以表示为：
\(\left\{ \matrix{ {E_x} = {A_x}\cos (\omega t + {\delta _x}) \hfill \cr {E_y} = {A_y}\cos (\omega t + {\delta _y}) \hfill \cr} \right.\)（1.6-6）
- 定义相对相位：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x}\)
- 再次强调，\(\delta\)的限制范围是\(-\pi<\delta \le \pi\)
线偏振态
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线偏振：光线的电场强度矢量在一个固定的方向振动（在xy平面内）
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当振动的两个分量满足以下条件，光线是线偏振的：
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同相：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x} = 0\)
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反相：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x} = \pi\)
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在此情况下，电场强度矢量在xy平面内沿特定方向以正弦方式振动，两个分量的比值定义为：
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因为两个相互独立振幅\({A_x}\)和\({A_y}\)，所以线偏振光的电场强度矢量可以沿xy平面内的任意方向振动；
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线偏振光常称为平面偏振光。
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如果在固定的时间点（t=0）来考察电场强度矢量的空间变化，电场强度矢量的分量可以写成
- 相对相位：\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x=0或\pi}\)
- 分量在空间中的正弦曲线轨迹被限制在由式（1.6.9）定义的平面内，电场强度矢量的振动限制在这个平面内，这种光线称为平面偏振光
- 平面偏振光和线偏振光的条件是可互换的
圆偏振态
- 定义：如果电场强度矢量在xy平面内均匀旋转，那么这样的光线称为圆偏振光
- 发生情况：
- \({A_{\rm{x}}} = {A_y}\)
- $\delta=\delta_y-\delta_x=\pm\pi/2 $
- \(\delta=-\pi/2\)时，光线是右旋圆偏振光，对应于电场强度矢量在xy平面内逆时针旋转；
- \(\delta=\pi/2\)时，光线是左旋圆偏振光，对应于电场强度矢量在xy平面内顺时针旋转。
Ps:
- 类似于拧螺丝！！
- 此处标记右旋偏振和左旋偏振的规定和现代物理学中的术语一致，现代物理学中，右旋圆偏振的光子有一个沿传输方向正的角动量；
- 一些光学课本中采用相反的规定，这种相反的规定源于电场强度矢量在空间上的演进；
- 圆偏振光的电场强度矢量分解成任何两个相互垂直的分量时，幅度都是相等的，相位偏移也总是\(\pm\pi/2\)。
椭圆偏振态
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定义：如果一束光线的电场强度矢量的曲线轨迹是椭圆(在xy平面内)，那么这束光线是椭圆偏振的(最普遍情况！！！)
- 线偏振态和圆偏振态都是椭圆偏振态的特殊情况
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椭圆方程推导：
- 方程式（1.6-5）是电场强度矢量椭圆轨迹的参数表示
- 在空间中给定点（z=0）得式（1.6-6）
\(\left\{ \matrix{ {E_x} = {A_x}\cos (\omega t + {\delta _x}) \hfill \cr {E_y} = {A_y}\cos (\omega t + {\delta _y}) \hfill \cr} \right.\)（1.6-6）
- 椭圆方程可以通过消除式（1.6-6）中的\(\omega t\)来得到，经过几步初步代数变换后，得到：
Ps:
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从式（1.6-6）中可以看出，二次曲线被限制在一个矩形区域，这个矩形区域的边平行于坐标轴，且边长分别是\(2A_x\)和\(2A_y\)，因此，曲线一定是椭圆。
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光的偏振态一般是椭圆，一个椭圆偏振态的完整描述包括椭圆相对于坐标轴的方位、形状和电场旋向
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通过坐标系变换(旋转)，对角化式(1.6-12)，令\(x^‘\)和\(y^‘\)是沿着椭圆主轴的新坐标，新坐标系中的椭圆方程变为：
- a和b是椭圆半长轴和半短轴的长度，\({E_{{x^‘}}}\)、\({E_{{y^‘}}}\)是这个主坐标系的电场强度矢量。
- 令**$\phi \(**是\)x^‘$轴和x轴之间的夹角，见下图
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主轴长度：
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角度\(\phi\):
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如果\(\phi\)是方程的一个解，那么\(\phi+\pi/2\)也是方程的一个解
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椭圆偏振旋转的意义由\(sin\delta\)的符号决定
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\(sin\delta>0\)，电场强度矢量的末端将沿顺时针方向旋转
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\(sin\delta<0\)，电场强度矢量的末端将沿逆时针方向旋转
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椭圆偏振的椭圆率定义
- 当电场强度矢量是右旋时，椭圆率取正值
- 当电场强度矢量是左旋时，椭圆率取负值
- \(e = \pm 1\)时是圆偏振光
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一个椭圆偏振态总可以分解为两个相互正交的分量，两个分量之间的相对相移可以处于\(-\pi\)和\(\pi\)之间的任何地方
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在主轴坐标系中，两个正交分量的相对相移总是\(-\pi/2\)和\(\pi/2\)，这取决于旋转的方向
总结：
| 手性 | 电场强度矢量旋转方向 | \(\delta\)角正负 | \(\sin\delta\) | 椭圆率e |
|---|---|---|---|---|
| 右旋 | 逆时针 | 负 | 负 | 正 |
| 左旋 | 顺时针 | 正 | 正 | 负 |
复数表示
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预备知识：
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关于一个波的偏振态的所有信息都包含在平面波的复振幅A中：
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定义一个复数$\chi $，描述偏振态：
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角\(\psi\)定义在0和2\(\pi\)之间，\(\psi = {\rm{arctan}}{{{A_y}} \over {{A_x}}}\)
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一个椭圆偏振的完整描述包括
- 方位
- 旋向
- 椭圆率
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复平面中不同偏振态，如下图
- 右旋椭圆偏振态都在平面的下半部分，左旋椭圆偏振态在平面的上半部分
- 原点对应振动方向平行于x轴的线偏振状态
- x轴上每一点表示不同相角偏振的线偏振态，只有(0,\(\pm1\))两点对应圆偏振，复平面内其余的每一点对应一个唯一的椭圆偏振态
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倾斜角\(\phi\)和偏振椭圆的椭圆率角\(\theta\)($\theta\equiv tan^{-1}e \()对于一个给定的复数\)\chi $
琼斯矢量表示
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琼斯矢量描述平面波的偏振态非常方便，将平面波(1.6-4)可以用它的复振幅表示成列矢量
- 琼斯矢量是复矢量，它的元素是复数。
- J在实的物理空间中不是一个矢量，然而，在抽象的数学空间中，它是一个矢量
- 琼斯矢量包含了电场强度矢量分量中振幅和相位的全部信息，可以唯一确定波的偏振态
- 如果只对波的偏振态感兴趣，用归一化的琼斯矢量更方便，归一化琼斯矢量满足条件：\(J \cdot {J^*} = 1\)
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沿给定方向振荡的线偏振光可以由琼斯矢量表示：
\(\left[ \matrix{ \cos \psi \hfill \cr \sin \psi \hfill \cr} \right]\) (1.6-22)
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\(\psi\)是振荡方向相对于x轴的方位角
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和式(1.6-22)表示的态正交的偏振态可以通过用\(\psi+\pi/2\)代替\(\psi\)得到
\(\left[ \matrix{-\sin \psi \hfill \cr \cos \psi \hfill \cr} \right]\)
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当\(\psi=0\)时，表示电场强度矢量沿坐标轴振荡的线偏振态
\(\widehat x = \left[ \matrix{ 1 \hfill \cr 0 \hfill \cr} \right]\) \(\widehat y = \left[ \matrix{ 0 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right]\)
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右旋圆偏振光和左旋圆偏振光的琼斯矢量可以表示为
\(R = {1 \over {\sqrt 2 }}\left[ \matrix{ 1 \hfill \cr -i \hfill \cr} \right]\) \(L = {1 \over {\sqrt 2 }}\left[ \matrix{ 1 \hfill \cr i \hfill \cr} \right]\)
Ps:
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任何一对正交的琼斯矢量都可以当成所有琼斯矢量数学空间的基矢：任何偏振态都可以用两个正交的偏振态\(\widehat x\)和\(\widehat y\),或者R和L的叠加表示
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线性偏振态\(\widehat x\)和\(\widehat y\)与两个圆偏振态R和L的相互关系式：
- 圆偏振态在x和y方向存在线性振动，其幅度相等均为\({1 \over {\sqrt 2 }}\)，它们之间的相位差为\({\pi \over 2}\)
- 线性偏振态也可以看成是两个反向圆偏振态的叠加
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普遍情况下椭圆偏振态的琼斯矢量为：
\(J(\psi ,\delta ) = \left[ \matrix{ \cos \psi \hfill \cr {e^{i\delta }}\sin \psi \hfill \cr} \right]\)（1.6-32）
- 琼斯矢量所表示的偏振态与用复数$\chi = {e^{i\delta }}\tan \psi $表示的偏振态是相同的
- 典型偏振态的琼斯矢量
Ps:$\delta 、\psi 、\phi、 \theta $几个角度的区分：
\(\delta\):相对相位\(\delta = {\delta _y} - {\delta _x}\)
\(\psi\):振荡方向相对于x轴的方位角
\(\phi\):\(x^‘\)轴和x轴之间的夹角,倾斜角
\(\theta\):偏振椭圆的椭圆率角\(\theta\)($\theta\equiv tan^{-1}e $)
斯托克斯参数和部分偏振光
- 只限于研究准单色波，频谱限定在窄带$\Delta \omega \((亦即\)\Delta \omega \ll \omega $),这种波可以用方程式(1.6-4)表示，假设放宽振幅A不变的条件
- $\omega $是指中心频率，复振幅A是时间的函数
平均时间参数
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引入背景：带宽比较窄，A(t)只会在时间间隔\({1 \over {\Delta \omega }}\)内做很小的改变，是一个缓变时间函数，但如果探测器的时间常数\({\tau _D}\)远大于\({1 \over {\Delta \omega }}\)，A(t)将在时间间隔\({\tau _D}\)内显著变化，为了描述这种辐射形式的偏振态，引入平均时间参数
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这里假定幅度\({A_x}\)、\({A_ y}\)和相对相角\(\delta\)均与时间无关
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双括号表示对在检测过程中特征时间常数\({\tau _D}\)内取平均
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四个量被称为准单色平面波的斯托克斯参数，拥有相同的数量级
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斯托克斯参数满足下列关系：
等号适用于偏振波
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偏振光类型 斯托克斯参数 非偏振光 （1，0，0，0） 水平偏振波 （1，1，0，0） 垂直偏振波 （1，-1，0，0） 右旋圆偏振光（\(\delta = -\pi/2\)） （1，0，0，-1） 左旋圆偏振光（\(\delta = \pi/2\)） （1，0，0，1） -
如果光波是完全偏振波，\(S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = 1\)，因此，偏振度可以定义为：
\(\gamma = {{{{(S_1^2 + S_2^2 + S_3^2)}^{1/2}}} \over {{S_0}}}\)
- 参数\(\gamma\)是介于0~1的实数，在描述部分偏振光时很有用，部分偏振光的偏振程度从参数\(S_ 1\)\(S_ 2\)\(S_ 3\)的符号可以直接看出来
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参数 物理意义 具体 特殊情况 \(S_ 1\) 沿x轴或y轴方向的线偏振 线偏振光沿x轴方向概率\({1 \over 2}(1 + {S_1})\)，沿y轴方向方向概率\({1 \over 2}(1 - {S_1})\) 当\({S_1}\)=1,-1时对应的是沿这些方向的完全偏振 \(S_ 2\) 沿着与x轴夹角\(\phi=\pm45^ °\)的线偏振光 线偏振光沿x轴方向概率\({1 \over 2}(1 + {S_2})\)，沿y轴方向方向概率\({1 \over 2}(1 - {S_2})\) 当\({S_2}\)=1,-1时对应的是沿这些方向的完全偏振 \(S_ 3\) 圆偏振度 光波含右旋圆偏振概率\({1 \over 2}(1 - {S_3})\)，概光波含左旋圆偏振率\({1 \over 2}(1 + {S_3})\) -
用复数$\chi = {e^{i\delta }}\tan \psi $表示偏振光，它的斯托克斯参数为
$\eqalign{
& {S_0} = 1 \cr
& {S_1} = \cos 2\psi \cr
& {S_2} = \sin 2\psi \cos \delta \cr
& {S_3} = \sin 2\psi \sin \delta \cr} $ (1.6-36)$S_ 3 \(是正号则对应左旋椭圆偏振(sin\)\delta$>0,顺时针旋转)。
邦加球
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斯托克斯参数是用来描述部分偏振光，这些参数也可以用来描述偏振光的偏振态。对于偏振光，斯托克斯参数\(S_ 1\)\(S_ 2\)\(S_ 3\)都可以用来表示偏振态。
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当\(S_ 0=1\)时，坐标(\(S_ 1\),\(S_ 2,\)\(S_ 3\))上全部的点被限于一个三维(3-D)空间单位球的表面，这个球就是邦加球。
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球表面上的每个点代表了唯一的偏振态
- 北极(0,0,1)对应左旋圆(LHC)偏振态
- 南极(0,0-1)对应右旋圆(RHC)偏振态
- 点(1,0,0)代表平行于水平方向的线偏振态
- 点(-1,0,0)代表平行于垂直方向的线偏振态
- 赤道上的全部点都代表唯一的线偏振态，而其余的点代表椭圆偏振态
- 球上每一对对称的点(两个点相对球心坐标对称)代表正交偏振态
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根据方程（1.6-18）和（1.6-19），得到
- \(\phi\)是椭圆偏振的倾角，\(\theta\)是椭圆率角，定义\(\theta \equiv \arctan e\)
- \({S_2}/{S_1} = 常量\) 表示含两极的垂直平面，因为\({S_1}、{S_2}\)都被限定在偏振光的球表面，\({S_2}/{S_1}=常量\)实际上代表了子午线——一个连接南北极的半圈，\(\phi\)是子午线的常量，每条子午线代表了一组相同倾角\(\phi\)的椭圆偏振态，但对应不同的椭圆率
- \({S_3} = 常量\)表示平行于赤道平面的圆平面
- \(\theta\)是这个圆上的常量（经线或者纬线），所以每条经线（纬线）代表了一类具有相同椭圆率${\rm{e}} = \tan \phi $不同倾角的椭圆偏振态
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考虑邦加球上两个不同的点，每个点都代表一个偏振态，斯托克斯矢量表示为：
