證明:素數有無窮多個


特殊值法:(證明在最后)

eg:假設當前只有有限個素數,素數集合為 {2,3,5,7}

a = 2*3*5*7 + 1 = 211

211/2 除不盡

211/3 除不盡

211/5 除不盡

211/7 除不盡

211 是素數,且不存在於原素數集合中,和原假設矛盾,所以素數是有限的

 

eg:假設當前只有有限個素數,素數集合為 {2,3,5,7,11,13}

a = 2*3*5*7*11*13+1 = 30031

30031/2 除不盡

30031/3 除不盡

30031/5 除不盡

30031/7 除不盡

30031/11 除不盡

30031/13 除不盡

30031 是合數,可被分解為 59 × 509,59 和 509 都是素數,且不存在於原素數集合中,和原假設矛盾,所以素數是有限的

 

素數性質:若a為合數,則a的最小真因子為素數p,故 p|a (即,a = p*q,a,p,q 屬於整數)

來源:歐幾里得《幾何原本》

證明:

假設:只有有限個素數,分別是:2,3,5,7,…,Pn

構造一個數:a = 2*3*5*7*…*Pn + 1 

現在a要么是素數,要么不是素數

1)如果a是素數,那么a是不在我們列表中的素數,說明假設錯誤,即 素數有無限個

2)如果a是合數,那么a可以被分解為 2,3,5,7,…,Pn 中某些數的乘積(合數一定能被分解成質數的乘積 eg:6=2*3)

但因為 a = 2*3*5*7*…*Pn + 1 ,因為有 1 的存在, a 不能被 2,3,5,7,…,Pn 中的任何數整除

設P 屬於 {2,3,5,7,…,Pn} , a/P = 2*3*5*7*…*Pn / P + 1/P ,第一項是整數,但第二項 1/P 是小數,除不盡

說明 a 不能被 當前有限個素數(2,3,5,7,…,Pn)分解。

但 a 是合數,一定能被質數分解,所以,能夠分解 a 的質數 不存在於 當前有限個素數中,即 不屬於 {2,3,5,7,…,Pn}

說明,當前有限個素數不全面,還有不在該有限集合中的素數,說明假設錯誤,即 素數有無限個

 


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