水知乎的時候發現了一篇回答，用很巧妙的方法證明了調和級數\(H(n)\)的發散。
有哪些經典的反直覺數學結論？ - 知乎 (zhihu.com)
吶，大體思路就是對於每個i，取\([\frac{1}{2^i+1},\frac{1}{2^{i+1}}]\)這個區間，把每個數都縮小到\(\frac{1}{2^{i+1}}\)，這樣區間的和為\(\frac{1}{2}\)。如果希望\(H(n)\)大於某個給定的常數\(a\)就加\(2a\)個區間，即可讓\(H(n)\)的下界大於\(a\)，因此是發散的。
簡單推廣一下，類似地去計算\(H(n)\)的上界，也就是對於每個區間，把每個數都放大到\(\frac{1}{2^i}\)，這樣區間和為\(1\)。那么想要讓\(H(n)\)上界+1就得讓n翻倍，也就證明了\(H(n)=O(\log n)\)。