水知乎的时候发现了一篇回答，用很巧妙的方法证明了调和级数\(H(n)\)的发散。
有哪些经典的反直觉数学结论？ - 知乎 (zhihu.com)
呐，大体思路就是对于每个i，取\([\frac{1}{2^i+1},\frac{1}{2^{i+1}}]\)这个区间，把每个数都缩小到\(\frac{1}{2^{i+1}}\)，这样区间的和为\(\frac{1}{2}\)。如果希望\(H(n)\)大于某个给定的常数\(a\)就加\(2a\)个区间，即可让\(H(n)\)的下界大于\(a\)，因此是发散的。
简单推广一下，类似地去计算\(H(n)\)的上界，也就是对于每个区间，把每个数都放大到\(\frac{1}{2^i}\)，这样区间和为\(1\)。那么想要让\(H(n)\)上界+1就得让n翻倍，也就证明了\(H(n)=O(\log n)\)。