（十九）查找算法——斐波那契(黃金分割法)查找

1.斐波那契(黃金分割法)查找基本介紹:

1. 黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。取其前三位數字的近似值是 0.618。由於按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個神奇的數字，會帶來意向不大的效果。
2. 斐波那契數列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 發現斐波那契數列的兩個相鄰數 的比例，無限接近 黃金分割值0.618

2.斐波那契(黃金分割法)原理:

斐波那契查找原理與前兩種相似，僅僅改變了中間結點（mid）的位置，mid 不再是中間或插值得到，而是位於黃金分割點附近，即 mid=low+F(k-1)-1（F 代表斐波那契數列），如下圖所示

• 對 F(k-1)-1 的理解：

1. 由斐波那契數列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性質，可以得到 （F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。該式說明：只要順序表的長度為 F[k]-1，則可以將該表分成長度為 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的兩段，即如上圖所示。從而中間位置為 mid=low+F(k-1)-1
2. 類似的，每一子段也可以用相同的方式分割
3. 但順序表長度 n 不一定剛好等於 F[k]-1，所以需要將原來的順序表長度 n 增加至 F[k]-1。這里的 k 值只要能使得 F[k]-1 恰好大於或等於 n 即可，由以下代碼得到,順序表長度增加后，新增的位置（從 n+1 到 F[k]-1 位置），都賦為 n 位置的值即可。
   while(n>fib(k)-1)
   k++;

3.斐波那契查找應用案例：

請對一個 有序數組進行斐波那契查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，輸入一個數看看該數組是否存在此數，並且求出下標，如果沒有就提示"沒有這個數"。

• 代碼實現(韓老師)

import java.util.Arrays;

public class FibonacciSearch {

    public static int maxSize = 20;

    public static void main(String[] args) {

        int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};
        System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 189));// 0
    }

    //因為后面我們 mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契數列，因此我們需要先獲取到一個斐波那契數列
    //非遞歸方法得到一個斐波那契數列
    public static int[] fib() {
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }
        return f;
    }

    //編寫斐波那契查找算法
    //使用非遞歸的方式編寫算法

    /**
     * @param a   數組
     * @param key 我們需要查找的關鍵碼(值)
     * @return 返回對應的下標，如果沒有-1
     */
    public static int fibSearch(int[] a, int key) {
        int low = 0;
        int high = a.length - 1;
        int k = 0; //表示斐波那契分割數值的下標
        int mid = 0; //存放 mid 值
        int f[] = fib(); //獲取到斐波那契數列
        //獲取到斐波那契分割數值的下標
        while (high > f[k] - 1) {
            k++;
        }
        //因為 f[k] 值 可能大於 a 的 長度，因此我們需要使用 Arrays 類，構造一個新的數組，並指向 temp[]
        //不足的部分會使用 0 填充
        int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
        //實際上需求使用 a 數組最后的數填充 temp
        //舉例:
        //temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0} => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
        for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
            temp[i] = a[high];
        }
        // 使用 while 來循環處理，找到我們的數 key
        while (low <= high) { // 只要這個條件滿足，就可以找
            mid = low + f[k - 1] - 1;
            if (key < temp[mid]) { //我們應該繼續向數組的前面查找(左邊)
                high = mid - 1;
                //為甚是 k--
                //說明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后邊元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //因為 前面有 f[k-1]個元素,所以可以繼續拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
                //即 在 f[k-1] 的前面繼續查找 k--
                //即下次循環 mid = f[k-1-1]-1
                k--;
            } else if (key > temp[mid]) { // 我們應該繼續向數組的后面查找(右邊)
                low = mid + 1;
                //為什么是 k -=2
                //說明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后邊元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //3. 因為后面我們有 f[k-2] 所以可以繼續拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
                //4. 即在 f[k-2] 的前面進行查找 k -=2
                //5. 即下次循環 mid = f[k - 1 - 2] - 1
                k -= 2;
            } else { //找到
                //需要確定，返回的是哪個下標
                if (mid <= high) {
                    return mid;
                } else {
                    return high;
                }
            }
        }
        return -1;
    }

}

• 代碼實現(自己)

/**
 * 斐波那契查找
 */
public class FibonacciSearch {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};
        int index = fibSearch(arr, 89);
        System.out.println("index:" + index);
    }

    /**
     * 獲取斐波那契查數列
     *
     * @return
     */
    public static int[] fib() {
        int[] f = new int[20];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < f.length; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }
        return f;
    }

    /**
     * 斐波那契查找
     *
     * @param arr
     * @param findVal
     * @return
     */
    public static int fibSearch(int[] arr, int findVal) {
        int low = 0;
        int high = arr.length - 1;
        int[] f = fib();
        int k = 0;
        while (arr.length > f[k]) {
            k++;
        }

        int[] temp = Arrays.copyOf(arr, f[k]);
        for (int i = arr.length; i < temp.length; i++) {
            temp[i] = arr[arr.length - 1];
        }

        int mid;
        while (low <= high) {
            mid = low + f[k - 1] - 1;
            if (findVal < temp[mid]) {
                high = mid - 1;
                k -= 1;
            } else if (findVal > temp[mid]) {
                low = mid + 1;
                k -= 2;
            } else {
                if (mid <= high) {
                    return mid;
                } else {
                    return high;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}