作者簡介：常遇，阿里巴巴高級技術專家，一直關注前端和機器學習鄰域相關技術，在知乎和微信公眾號的“全棧深入”分享深度硬核技術文章。
下面的基礎數學知識涉及很多數學公式，這些公式編輯起來累S我了。如果你覺得有幫助請幫忙點個贊、收個藏，這是對我幾天寫這篇文章的最大鼓勵了，謝謝大家！也歡迎大家關注我的微信公眾號：全棧深入。
在機器學習的過程中，用到了很多算法知識，而算法中用到很多推導和計算，涉及到很多初中數學、高中數學、高等數學中的知識。在市面的機器學習書籍中，往往最基礎的代數運行、多項式運算、函數等沒有涉及，這對很多畢業多年的人來說或數學基礎不好的人來說，在學習的過程中並不是很順暢。而市面也沒有一本數學大全將不同的數學知識涵蓋起來。因此，筆者梳理了人民教育出版社的初中數學、高中數學，同濟大學出版的高等數學中算法學習相關的16個知識點，方便學習和復習。關注 全棧深入 公眾號並發送 數學 到聊天窗口下載初中數學合集，高中數學合集PDF。
數學包括對數量（數論/算術）、結構（代數）、空間（幾何）、變化（分析）的研究，還包括邏輯、集合、應用數學等的研究。
01、初中數學 - 數論中的數學概念
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整數：正整數，0，負整數統稱為整數
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分數：正分數，負分數統稱為分數
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有理數：整數和分數統稱為有理數（rational number)
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相反數：正負的兩個數互為相反數(opposite number)
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倒數：一個數x與其相乘為1的數，記為1/x，其中x!=0
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無理數：無限不循環小數叫無理數，包括正負無理數，如很多數的平方根或立方根是無理數。如\(\sqrt 2, \sqrt[3] {3}\)。
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實數：有理數 + 無理數統稱為實數。包括正實數 + 負實數。對應平面上的橫軸。
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虛數：將偶指數冪是負數的數定義為純虛數（形如a+bxi的數，其中a,b是實數，且b≠0,i²=-1。a為實部，b為虛部），虛數無算術根。對應平面上的縱軸。
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復數：實數 + 虛數稱為復數。
02、初中數學 - 整式乘法
1、多項式相乘
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
\((a+b)(p+q)=a(p+q) + b(p+q)\)
\(\Rightarrow ap + aq + bp + bq\)
2、平方差公式
formula for the difference of squares：兩個數的和與兩個數的差的積，等於這兩個數的平方差。
\((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)
3、平方和公式
formula for the square of the sum：兩個數的和（或差）的平方，等於他們的平方和，加上（或減去）它們積的2倍。
\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\)
4、因式分解
\(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\)
\(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\)
\(a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\)
03、初中數學 - 一元二次方程
\(ax^2 + bx = - c\)
\(\Rightarrow x^2 + \frac b a x = - \frac c a\)
\(\Rightarrow x^2 + \frac b a x + (\frac {b} {2a})^2 = - \frac c a + (\frac {b} {2a})^2\)
\(\Rightarrow (x + \frac {b} {2a})^2 = \frac {b^2-4ac} {4a^2}\)
\(\Rightarrow x =\pm \sqrt {\frac {b^2-4ac} {4a^2}} - \frac {b} {2a}\)
\(\Rightarrow x=-b \pm \frac {\sqrt {b^2-4ac} } {2a}\)
\(\Rightarrow 得到兩個不相等的實根：x1=-b + \frac {\sqrt {b^2-4ac} } {2a} , \;\; x2=-b - \frac {\sqrt {b^2-4ac} } {2a}\)
04、初中數學 - 多項式
Polynomial,由稱為未知數的變量和稱為系數的常數通過有限次加減法、乘法以及自然數冪次的乘方運算得到的代數表達式。
單項式：僅由一項構成的多項式稱為單項式
常數項：一項中不含未知數
示例
\(x^{2} + 3x -4\) 為三項一元二次多項式
\(x^{3} + 2y^2 -4z\) 為三項三元三次多項式
應用
1、多項式的加減乘除
2、多項式的矩陣乘除
3、因式分解
4、多項式方程、函數
05、高中數學 - 集合
把對象稱為元素(element)，把元素組成的總體叫集合，簡稱集(set)。如果兩個集合的元素相同則兩個集合相等。
- a屬於集合記為：\(a \in A\)
- a不屬於集合B記為：\(a \notin B\)
1、集合的表示
列舉法：把集合里的所有元素一一列舉出來，並用 {} 括起來表示集合的方法。如：{a,b}
描述法：無法用列舉法表示的無窮個元素的集合，利用集合中元素的共同特征來表示的方法。如：\(\{x \in R | x <10\}\)
2、集合的關系
1）子集
對於兩個集合A和B，如果集合A中任意一個元素都是B中的元素，則稱集合A為B的子集。記作：\(A \subseteq B\) 或 \(B \supseteq A\)
韋恩圖(Venn)：平面上封閉曲線的內部代表集合。
子集韋恩圖：
2）真子集
如果集合 \(A \subseteq B\)，但存在元素 $ x \in B$，且 $ x \notin A\(，則稱集合A是集合B的真子集(proper subset)。記作：\)A \subseteqq B$ 或 \(A \supseteqq B\)
3）空集
不包含任何元素的集合叫空集(empty set)。記作：\(\varnothing\)
3、集合的基本運算
1）並集
由所屬集合A及所屬集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的並集(union set)，記作：\(A \cup B\)。即:\(A \cup B = \{x | x \in A, 或 x \in B \}\)
2）交集
由屬於集合A且屬於集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集(intersection set)，記作：\(A \cap B\)。即:\(A \cap B = \{x | x \in A, 且 x \in B \}\)
3）全集
一個集合包含研究問題中涉及的所有元素，則該集合為全集(universe set)，記作U。
4）補集
對於一個集合，由全集U中不屬於集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對於全集U的補集(complementary set)，記作：\(C_{U}A\)，即：\(C_{U}A = \{x | x \in U, 且 x \notin A \}\)
06、高中數學 - 充要條件
1、真命題
若p，則q，即由p可以推出q，記作：\(p \Rightarrow q\)。
- p是q的充分條件(sufficient condition)
- q是p的必要條件(necessary condition)
2、假命題
若p，不能得出q，即由p不能得出結論q。記作：\(p \nRightarrow q\)
3、逆命題
“若p，則q” 中的條件p和結論q互換，得到一個新的命題 “若q，則p”，則該命題為原命題的逆命題。
4、充要條件
“若p，則q” 中的條件p和結論q互換，得到一個新的命題 “若q，則p”，均為真命題，即：\(p \Leftarrow q\)，又 \(q \Rightarrow p\)，記作：$ p \Leftrightarrow q$。
此時 p即是q的充要條件，也是q的必要條件，則說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件(sufficient adn necessary condition)
5、全稱量詞
短語 “所有的”、“任意一個” 在邏輯中通常叫做全稱量詞(universal proposition)。用符號：\(\forall\) 表示。
含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題(universal proposition)。
對於M中任意一個x, p(x)成立，記作：\(\forall x \in M, p(x)\)
6、存在量詞
短語 “存在一個”，“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞(existential quantifier)，用符號：\(\exists\) 表示。
含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題(existential proposition)。
存在M中的元素x，p(x)成立，記作：\(\exists x \in M, p(x)\)
7、全稱量詞的否定
\(\forall x \in M, p(x)\)
否定：
\(\exists x \in M, \lnot p(x)\)
8、存在量詞的否定
\(\exists x \in M, p(x)\)
否定：
\(\forall x \in M, \lnot p(x)\)
07、高中數學 - 函數
函數是刻畫變量之間對應關系的數學模型和工具。
設A,B是非空的實數集，如果對於集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系 f, 在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，則稱f: \(a \rightarrow B\)為從集合A到B的一個函數(function)。記作：\(y=f(x), x \in A\)
其中：
- x:自變量
- x的取值范圍叫做函數的定義域(domain)
- 與x值對應的y值叫做函數值，也是函數的值域(range)。即\(\{f(x)|x \in A\}\)
1、開閉區間
研究函數時常會用到區間的概念，設a,b是兩個實數,而且a<b
(1)滿足不等式a≤x≤b的實數x的集合叫做閉區間,表示為[a,b]
(2)滿足不等式a<x<b的實數x的集合叫做開區間,表示為(a,b)
(3)滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實數x的集合叫做半開半閉區間,分別表示為[a,b),(a,b].
實數a與b都叫做相應區間的端點這些區間的幾何表示如下所示，在數軸表示時,用實心點表示包括在區間內的端點,用空心點表示不包括在區間內的端點。實數集R可以用區間表示為(-∞,+∞),"∞”讀作"無窮大”,"-∞”讀作"負無窮大”,”讀作"正無窮大”
2、函數的表示
坐標線
3、單調性與最大值、最小值
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單調性：利用函數圖像研究函數值隨自變量的增大而增大（或減少）的性質叫函數的單調性。
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單調遞增：設函數f(x)的定義域為I ,區間D是I的真子集。如果Vx1,x2∈D,當x1 < x2時, 都有 f(x1) < f(x2),那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞增。
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增函數：當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時,我們就稱它是增函數(increase function)
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單調遞減：設函數f(x)的定義域為I ,區間D是I的真子集。如果Vx1,x2∈D,當x1 > x2時, 都有 f(x1) > f(x2),那么就稱函數f(x)在區間D上單調遞減。
-
減函數：當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時,我們就稱它是減函數(increase function)
-
單調區間：如果函數y=f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減, 那么就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性,區間D叫做y=f(x)的單調區間
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最大值：
設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足 (1)Vx∈I ,都有f(x)≤M; (2)彐x0∈I,使得f(x0)=M 則M是函數y=f(x)的最大值( maximum value). -
最小值：
設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數M滿足 (1)Vx∈I ,都有f(x)>=M; (2)彐x0∈I,使得f(x0)=M 則M是函數y=f(x)的最小值( minimum value).
4、奇偶性
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偶函數(even function)：設函數f(x)的定義域為I,如果Vx∈I,都有-x∈I, 且f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數(even function).
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奇函數(odd function）：設函數f(x)的定義域為I, 如果x∈I,都有一x∈I, 且f(-x)=-f(x), 那么函數f(x)就叫做奇函數( odd function)
08、高中數學 - 冪函數
形如 \(y=x^a\)的函數，都是以冪的底數為自變量，指數為常數，這些函數稱為冪函數(power function)
09、高中數學 - 指數函數
1、n次方根
如果 \(x^n=a\)，則x叫做a的n次方根，其中n>1且\(n\in N\)。a的n次方根用符號：\(\sqrt[n]{a}\) 表示
根式：\(\sqrt[n]{a}\)叫根式(radical)，n為根指數，a叫被開n次方。
n為奇數、偶數時n次方根計算：
-
當n是奇數時, 正數的n次方根是一個正數, 負數的n次方根是一個負數. 這時, a的n次方根用符號表示 \(\sqrt[n] a\).
-
當n是偶數時, 正數的n次方根有兩個,這兩個數互為相反數. 正數a的正的n次方根用符號 \(\sqrt[n] a\) 表示, 負的n次方根用符號— \(\sqrt[n] a\).表示, 正的n次方根與負的n次方根可以合並寫成± \(\sqrt[n] a\) (a>0).
負數沒有偶次方根
0的任何次方根都是0,記作0=0.
性質
- \((\sqrt[n]{a})^n = a\)
- \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac {m} {n}} (a>0, m,n \in N, n>1)\)
- \(\frac {1} {\sqrt[n]{a^m}} = a^{-\frac {m} {n}} (a>0, m,n \in N, n>1)\)
- 0的正分數指數冪為0，0的負分數指數冪沒有意義
- \(a^ra^s = a^{r+s} (a>0, r,s \in R)\)
- \((a^r)^s = a^{rs} (a>0, r,s \in R)\)
- \((ab)^r = a^{r}b^{r} (a>0, b>0, r\in R)\)
2、指數函數
1、指數函數
函數\(y=a^x(a>0且a\neq 1)\)叫指數函數(exponential function)，其中x為自變量，定義域為R。
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函數y=a(a>0,且a≠1)的圖象.由於底數a可取大於0且不等於1的所有實數,所以不妨用一端圓定於y軸的水平線段PA的長度來表示底數a的值, 即點A的橫坐標xA顯示的就是a的取值
-
如圖1,從左向右拖動點A(0<xA<1),則xA的值逐漸增大,當xA 的值越來越接近於1時,圖象就越來越接近於直線y=1;當xA=1時,圖象就是直線y=1; 繼續向右拖動點A(xA>1),如圖2,圖象發生了變化
2、指數函數乘除
同底數冪相除，底數不變，指數相減。
\(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
同底數冪相乘，底數不變，指數相加。
\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
10、高中數學 - 對數函數
如果 \(a^x=N(a>0且a \neq 1)\)，那么數x叫做以a為底N的對數(logarithm)，記作：\(x=log_{a}N\)。其中a為對數的底數，N為真數。
- 常用對數：common logarithm, 以10為底的對數，即\(log_{10}N\)，簡寫為：\(lgN\)
- 自然對數：natural logarithm, 以科技、經濟、生活中常用的無理數e=2.71828..為底數的對象，即\(log_{e}N = lnN\)（N>0)
- 計算機以2為底的對數：\(log_{2}N = lgN\)
1、指數與對數的關系
\(a^x = N \Leftrightarrow x=log_{a}N (其中a>0且a \neq 1)\)
2、對數規則
- 負數與0沒有對數
- \(log_{a}1=0, log_{a}a=1\)
3、對數的性質
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\(log_{a}(MN) = log_{a}M + log_{a}N\) 推導過程見高一上Page127
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\(log_{a}\frac M N = log_{a}M - log_{a}N\)
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\(log_{a}M^n = nlog_{a}M \;\; (n \in R)\)
4、對數的運算
對數換底公式：\(log_{a}b = \frac {log_{c}b} {log_{c}a} \;\; (a>0且a \neq 1; b>0;c>0且c \neq 1)\)
5、對數函數
函數\(y=log_{a}x \;\;(a>0且a\neq1)叫對數函數(logarithmic function)，x為自變量，定義域為(0,+\infty)\)
6、對象的性質
11、高中數學 - 反函數
\(x=log_{a}b，y \in (0,1] 是函數 y=a^{x}，x \in \[0, + \infty)\) 的反函數。基定義域互換。
12、高中數學 - 三角函數
1、正弦函數
\(y=sin x, x \in [0,2\pi]\)
2、余弦函數
\(y=cos x, x \in R\)
3、正切函數
\(y=tan x, x \in R, x \neq \frac {\pi} {2} + k\pi, k \in Z\)
13、高中數學 - 數列
按確定順序排列的數稱為數列。用正整數表示事物發展過程的先后順序，把正整數作為自變量的取值，把事務對應數值看作是相應的函數值，數列是定義在正整數集上的一類離散函數。
- 數列形式：a1, a2, a3, ..., an 簡記為: \(\{a_{n}\}\)
因為：\(\{a_{n}\}\) 中每一項\({a_{n}}\)和它的序號n有關系，所以數列\({a_{n}}\)是從正整數集N或它的子集 到 實數集R的函數,自變量為n。記為：\(a_{n}=f(n)\)
- 遞增數列：每一項都大於它前一項的數列
- 遞減數列：每一項都小於它前一項的數列
- 常數列：每一項都相等的數列
- 通項公式：數列 \(\{a_{n}\}\) 的第 n 項 \(a_{n}\) 與序號 n之間的對應關系可用一個式子來表示，式子即為數列的通項公式
- 數列前\(\{a_{n}\}\)前n項和：\(S_{n}\) = a1 + a2 + ... + an
應用
1、根據通項公式求指定項的值，並作出圖像
2、根據數列前n項寫出通項公式
3、根據通項公式判斷指定是否為數列的項，求序號
4、斐波那契數列
1、等差數列
一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差都等於同一個常數，就叫等差數列，常數叫的公差，常以字母 d 表示。
等差中項：在a和b間存在一個數使得 2A = a+b，則A為a和b的等差中項。
應用
1、等差數列求和，利用等差中項來計算
2、等比數列
一個數列從第2項起，每一項與它前一項的比都等於同一個常數，就叫等比數列，常數叫數列的公比，常以字母 q 表示。
等比中項：在a和b間存在一個數使得 G2 = ab，則G為a和b的等比中項。
等比數列前n項公式: \(S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ..+ a_{n}\)
=>由等比公式得到A式：\(S_{n} =a_{1}q^0 + a_{1}q^1 + a_{1}q^2 + ..+ a_{1}q^{n-1}\)
=>左右都乘以公比得到B式：\(qS_{n} =a_{1}q^1 + a_{1}q^2 + a_{1}q^3 + ..+ a_{1}q^n\)
=>A式B式左右相減：\((1-q)S_{n} =a_{1} + a_{1}q^n\)
=>\(S_{n} =a_{1}\frac {1-q^n} {1-q} (其中q!=1)\)
14、高中數學 - 導數
1、微積分的創立與四類科學相關
- 已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度和加速度。反之已知物體的加速度作為時間的函數，求速度與路程
- 求曲線的切線
- 求函數的最大值、最小值
- 求長度、面積、體積、重心等
2、導數及應用
導數定量地刻畫函數的局部變化，是研究函數增減、變化快慢、最大值、最小值等性質的基本方法，是解決如增長率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等實際問題的基本工具。
3、平均變化率
對於函數 \(y=f(x)\)，設自變量x從\(x_{0}\)變化到\(x_{0}+\triangle x\)，相應地值y就從\(f(x_{0})\)變化到了\(f(x_{0}+\triangle x)\)。此時x, y的變化量為：
\(\triangle y = f(x_{0} + \triangle x) - f(x_{0})\)
比值 \(\frac {\triangle y} {\triangle x} = \frac {f(x_{0} + \triangle x) - f(x_{0})} {\triangle x}\) 叫做函數 \(y=f(x)\)從\(x_{0}\)到 \(x_{0}+\triangle x\) 的平均變化率
4、導數
當\(\triangle x \to 0\)時，平均變化率 \(\frac {\triangle y} {\triangle x}\) 無限趨近於一個確定的值，即 \(\frac {\triangle y} {\triangle x}\) 有極限，則稱 y=f(x)在 \(x=x_{0}\) 處可導，並把這個確定的值叫做 \(y=f(x)在x=x_{0}\) 處的導數(derivative)。也叫瞬時變化率，記作 \(f'(x_{0})\) 或 \(y'|_{x=x_{0}}\)。即：
\(\displaystyle f'(x_{0}) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac {\triangle x} {\triangle y} = \lim_{\triangle x \to 0} \frac {f(x_{0} + \triangle x) - f(x_{0})} {\triangle x}\)
5、求導數
- 設 $f(x)=\frac 1 x \(， 求\)f'(1)$
解：
\(\displaystyle f'(1)= \lim_{\triangle x \to 0} \frac {f(1+\triangle x)-f(1)} {\triangle x}\)
\(\displaystyle = \lim_{\triangle x \to 0} \frac {\frac {1} {1+\triangle x } -1} {\triangle x}\)
\(\displaystyle = \lim_{\triangle x \to 0} (-\frac 1 {1+\triangle x})\)
\(=-1\)
- 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產，需要對原油進行冷卻和加熱。已知在x 時，原油的溫度為\(y=f(x)=x^2-7x+15\)，（0<=x<=8)。計算第2h時第6h時原油的瞬時變化率並說明它們的意義。
解: 在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率就是f'(2)和f'(6). 根據導數的定義:
\(\displaystyle \frac {△y} {△x} = \frac {f(2+△x)-f(2)} {△x}\)
\(\displaystyle = \frac {(2+△x)^2-7(2+△x)+15-(2^2-7×2+15)} {△x}\)
\(\displaystyle = \frac {(4△x + (△x)^2-7△x)} {△x}\)
\(\displaystyle = △x - 3\)
所以 \(\displaystyle f'(2) = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac {△y} {△x} = \lim_{△x \rightarrow 0}(△x-3) = -3\)
同埋可得: f'(6) = 5
在第2h與第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為-3C/h與5℃/h。說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速度下降;在第5h附近,原池溫度大約以5℃/h的速率上升。一般地 f'(x0) (0≤x0≤8)反映了原油溫度在時刻x0附近的變化情況
3）一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設t s時汽車的速度為\(y=v(t)=-t^2+6t+60\)，求汽車在第2s與第6s時的瞬時加速度，並說明他們的意義。
分析: 瞬時加速度是速度關於時間的瞬時變化率, 因此在第2s與第6s時汽車的時加速度分別為v'(2), v'(6)
解: 在第2s和第6s時,汽車的瞬時加速度就是v'(2)和v'(6)
根據導數的定義
\(\displaystyle \frac {△y} {△t} = \frac {v(2+△t) - v(2)} {△t}\)
\(\displaystyle = \frac {( 2 + △t)^2 + 6(2+△t) + 60 - (-2^2 + 6 * 2 + 60)} {△t}\)
\(\displaystyle = -△t + 2\)
所以 \(\displaystyle v'(2) = \lim_{△t \rightarrow 0} \frac {△y} {△t} = \lim_{△t \rightarrow 0} (-△t + 2) =2\)
同理可得: v'(6)=-6.
在第2s與第6s時,汽車的瞬時加速度分別是2m/s2與-6m/s2. 說明在第2s附近汽車的速度每秒大約增加2m/s; 在第6s附近,汽車的速度每秒大約減少6m/s
6、導數的運算
1、常用函數的導數
1）\(y=f(x)=c\)
\(\Rightarrow \frac {\triangle y} {\triangle x} = \frac {f(x+\triangle x) - f(x)} {\triangle x} = \frac {c-c} {\triangle x} = 0\)
2）\(y=f(x)=x\)
\(y = \frac {△y} {△x} = \frac {f(x+△x) - f(x)} {△x} = \frac {(x+△x-x)} {△x} = 1\)
3）\(y=f(x)=x^2\)
\(\displaystyle \frac {△y} {△x} = \frac {f(x+△x)-f(x)} {△x} = \frac {(x+△x)^2-x^2} {△x}\)
\(\displaystyle = \frac {x^2 + 2x * △x + (△x)^2 - x^2} {△x}\)
\(\displaystyle = 2x + △x\)
所以：\(\displaystyle y' = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac {△y} {△x} = \lim_{△x \rightarrow 0} (2x + △x) = 2x\)
4）\(y=f(x)=\frac 1 x\)
\(\displaystyle \frac {△y} {△x} = \frac {f(x+△x) - f(x)} {△x} = \frac 1 {x+△x - 1/x } {△x}\)
\(\displaystyle = \frac {x - (x + △x)} {x (x + △x) △x} = - \frac 1 {x^2 + x * △x}\)
\(\displaystyle y' = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac {△y} {△x} = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac {- 1} {x^2 + x * △x} = - \frac 1 {x^2}\)
5）\(y=f(x)=\sqrt x\)
\(\displaystyle = \frac {△y} {△x} = \frac {f(x+△x) - f(x)} {△x}\)
\(\displaystyle \frac {\sqrt {x+△x} - \sqrt x} {△x} = \frac 1 {\sqrt {x+△x} + \sqrt x}\)
所以 \(\displaystyle y' = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac {△y} {△x} = \lim_{△x \rightarrow 0} \frac 1 {\sqrt {x+△x} + \sqrt x} = \frac 1 {2\sqrt x}\)
2、基本初等函數的導數公式
基本初等函數的導數公式
- 若f(x)=c(c為常數),則f'(x)=0
- 若f(x)=x(n∈Q),則f'(x)=nx^(n-1)
- 若f(x)=sinx,則f'(x)=cosx
- 若f(x)=cosx,則f'(x)=-sinx
- 若f(x)=ax,則f'(x)=ax lna;
- 若f(x)=ex,則f'(x)=ex;
- 若f(x)=loga x,則f'(x)=1 / (xlna)
- 若f(x)=lnx,則f'(x)=1/x
練習
- 求函數的導數：\(y=x^3-2x+3\)
\(y'=(x^3-2x+3)' = (x^3)' - (2x)' + (3)' = 3x^2 - 2 \times 1 + 0 = 3x^2 - 2\)
- 求函數的導數：\(y=(2x+3)^2\)
- 求函數的導數：\(y=e^{-0.05x+1}\)
- 求函數的導數：\(y=sin(\pi x+\phi) 其中\pi和\phi為常數\)
3、復合函數求導
$y=f(u)=f(g(x)) \(求導：\)y_x' = y_u' \times u_x'$
4、導數運算法則
導數運算法則
- [f(x) ± g(x)]'=f'(x) ± g'(x)
- [f(x) · g(x)]'=f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
- [f(x) / g(x)]'=（f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2 (其中g(x)≠0)
7、導數在研究函數中的應用
1、函數的單調性
在某個區間(a,b)內, 如果f'(x)>0,那么函數y=f(x)在這個區間內單調遞增; 如果f'(x)<0,那么函數y=f(x)在這個區間內單調遞減0
2、函數的極值與導數
求函數y=f(x)的極值的方法是:
解方程f'(x)=0. 當f(x0)=0時:
(1) 如果在x0附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0,那么f(x0)是極大值;
(2) 如果在x0附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0,那么f(x0)是極小值
3、生活中優化問題
導數是求函數最大值、最小會上有力的工具。
練習1:
學校或班級舉行活動, 通常需要張貼海報進行宣傳. 現讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報, 要求版心面積為128dm^2, 上、下兩邊各空2dm, 左、右兩邊各空1dm. 如何設計海報的尺寸,才能使四周空白面積最小?
解法：設版心的高度為x dm，則版心的寬為 128/x dm, 四周空白面積為：S(x) = (x + 4)(128/x + 2) -128 = 2x + 512/x + 8, x>0
S'(x) = 2 - 512 /x^2 => x=+-16，舍去負數，當\(x \in (0,16)\)時，S'(x)<0, 當\(x \in (16, +∞ )時，S'(x) > 0\)
當x=16時函數S(x)的極小值點也是最小點，所版版心高為16dm，寬為8dm時，四周空白面積最小。
15、高中數學 - 定積分
1、近似替代法求曲面的面積及加速行汽車的距離。
練習1
陰影部分類似於一個梯形,但有一邊是曲錢y=f(x)的一段。我們把由直線x=a, x=b(a≠b), y=0和曲線 y=f(x) 所圍成的圖形稱為曲邊梯形. 當 y= x^2, x=1, y=0時，如何計算這個曲邊梯形的面積呢?
求解步驟
1）分割：將區間[0, 1]分割成n個小區間，用表達式計算每個小區間的長度△x=i/n - (i-1)/n = 1/n，面積△S ，總面積\(\displaystyle S = \sum_{i=1}^n △S_i\).
2）近似替代：當n很大，△x很小時，可認為每個區間f(x)=x2值變化很小，近似等於一個常數（可認為是左端點處的函數值y=x2）。即用直線段近似地代替小曲邊，近似可用小矩形面積代替曲邊梯形面積。得到面積△S的表達式 (i-1/n)^2 * 1/n 其中i為第i個小區間,。
3）求和：通過將n段的每個△S進行相加，得到一個表達式，進行代數運算后得到總面積S一個簡單的表達式 $ S \approx S_n= 1/n^3 [12+22+…+(n-1)^2] =1/3(1-1/n)(1-1/2n)$。
4）取極限：當n取無窮大時，即△x趨向於0時，得到總面S的會上為1/3
練習2
汽車以速度v作勻速直線運動時,經過時間t所行駛的路程為s=vt. 如果汽車作變速直線運動,在時刻t的速度為v(t)=-t^2+2 (t的單位:h,v的單位:km/h), 那么它在0≤t≤1這段時間內行駛的路程s(單位:km)是多少?
求解步驟：參照上個練習，得到最終答案為：\(\displaystyle s \approx \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^n \frac 1 n v(\frac {i-1} n) = \lim_{n \rightarrow \infty} [-1/3(1-1/n)(1-1/2n)+2] = 5/3\)
2、定積分
由近似替代法求曲面的面積及加速行汽車的距離都可歸結為求這種特定形式和的極限。將區間[a,b]等分成n個小區間,在每個小區間[x_i-1,x_i]上任取一點(i=1,2,…,n)作和式為：
$ \displaystyle \sum_{i=1}^n f(\epsilon_i)△x = \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac {b-a} n f(\epsilon_i)$
當\(n \rightarrow \infty\)時，該和式無限接近某個常數，該常數叫做函數f(x)在區間[a,b]上的定積分(definite integral)，記作：\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {b-a} n f(\epsilon_i)\)
其中：
- a和b：積分上限和積分下限
- 區間[a,b]：積分區間
- 函數f(x)：被積函數
- x：積分變量
- f(x)dx：被積式
上面曲邊梯形面積定積分表示：\(\displaystyle S=\int_0^1 f(x)dx = \int_0^1 x^2 dx = \frac 1 3\)
幾何意義：\(\displaystyle S=\int_0^1 f(x)dx\) 表示由直線x=a, x=b （a!=b），y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。
上面汽車路徑定積分表示：\(\displaystyle S=\int_0^1 v(t)dt = \int_0^1 (-t^2+2)dt = \frac 5 3\)
練習
1）計算 \(\displaystyle \int_0^1 x^3 dx\)的值
解題步驟：
- 分割：區間[0,1]等分為n個區間, [i-1/n, i/n] （i=1,2,3..n）,每個小區間長度△x=i/n - (i-1)/n = 1/n
- 近似代替、作和：\(\displaystyle \int_0^1 x^3 dx = S_n = \sum_{i=1}^n f(\frac i n) * \triangle x = \frac 1 4 (1+ \frac 1 n)^2\)
- 取極限：\(\displaystyle \int_0^1 x^3 dx = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac 1 4(1+ \frac 1 n)^2 = \frac 1 4\)
定積分性質：
- $\displaystyle \int_a^b kf(x)dx = \displaystyle k \int_a^b f(x)dx $ 其中k為常數
- \(\displaystyle \int_a^b [f_1(x) \pm f_2(x)] dx = \displaystyle \int_a^b f_1(x)dx \pm f_2(x)dx\)
- \(\displaystyle \int_a^b f(x)dx = \displaystyle \int_a^{\epsilon} f(x)dx + \int_{\epsilon}^b f(x)dx\) 其中 \(a \leq \epsilon \leq b\)
16、高等數學 - 微積分
1、微積分
用定積分的定義計算\(\int_0^1 x^3dx\)的值比較麻煩，導數和定積分存在聯系。
一個作變速直線運動的物體的運動規律是y=y(t). 由導數的概念可知,它在任意時刻t的速度v(t)=y'(t). 設這個物體在時間段[a,b]內的位移為s,你能分別用y(t),v(t)表示s嗎?
解：
1）物體的位移s是函數y=y(t)在t=b處與t=a處的函數值之差，即 s=y(b)-y(a)
2) 用定積分求位移：
- 分割
- 近似替代、求和
- 求極限
得到 \(\displaystyle s=\sum_{i=1}^n \triangle S_i \approx \sum_{i=1}^n h_i = \sum_{i=1}^n v(t_{i-1}) \triangle t = \sum_{i=1}^n y'(i_{i-1}) \triangle t\)
n越大，△t越小，區間[a,b]划分的越細，\(\sum_{i=1}^n v(t_{i-1}) \triangle t = \sum_{i=1}^n y'(i_{i-1}) \triangle t\) 與s的近似程度就越好。
-
由定積分得到
\(\displaystyle s=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac {b-a} n v(t_{i-1})\)
\(\displaystyle = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac {b-a} n v(t_{i-1})\)
\(\displaystyle = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac {b-a} n y'(t_{i-1})\)
\(\displaystyle = \int_a^b v(t) dt = \int_a^b y'(t) dt\) -
由1），2）結果得到
\(\displaystyle s = \int_a^b v(t) dt = \int_a^b y'(t) dt = y(b) -y(a)\) -
微積分基本定理
fundamental theorem of calculus,（牛頓-萊布尼茲公式, Newton-Leibniz Formula）.
一般地如果f(x)是區間[a,b]上的連續函數，且F'(x) = f(x)，則\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\)，則F(b)-F(a)常記作\(F(x)|_a^b\)，即： \(\displaystyle \int_a^b f(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\)
計算定積分的關鍵是找到滿足 \(F'(x) = f(x)\)的函數F(x)，通常可運用基本初等函數的求導公式和導數的四則運算法則從反方向上求出F(x)
練習
1、計算下列定積分
- \(\int_1^2 \frac 1 x dx\)
- \(\int_1^3(2x-\frac 1 {x^2}) dx\)
- \(\int_0^{\pi}sinx dx\)
- \(\int_{\pi}^{2\pi} sinx dx\)
- \(\int_0^{2\pi} sinx dx\)
解
- 因為 (lnx)' = 1/x，所以 \(\int_1^2 \frac 1 x dx = lnx |_1^2 = ln2 - ln1 = ln2\)
- 因為 \((x^2)' = 2x, (- \frac 1 x)' = \frac 1 {x^2}\) , 所以 \(\int_1^3(2x-\frac 1 {x^2}) dx = \int_1^3 x^2 dx - \int_1^3 \frac 1 {x^2} dx = x^2 |_1^3 -(- \frac 1 x)|_1^3 = (9-1) - (\frac 1 3 -1) = \frac 22 3\)
- \(\int_0^{\pi}sinx dx = -cosx|_0^{\pi}=(-cos \pi) - (-cos 0) = -(-1) - (-1) = 2\)
三角函數的定積分等於三角函數的面積
- \(\int_{\pi}^{2\pi} sinx dx = -cosx|_{\pi}^{2\pi} = (-cos 2\pi) - (-cos \pi) = (-1) - (-(-1)) = -2\)
- \(\int_0^{2\pi} sinx dx = 0\)
參考：基本初等函數的求導公式
- 若f(x)=c(c為常數),則f'(x)=0
- 若f(x)=x(n∈Q),則f'(x)=nx^(n-1)
- 若f(x)=sinx,則f'(x)=cosx
- 若f(x)=cosx,則f'(x)=-sinx
- 若f(x)=ax,則f'(x)=ax lna;
- 若f(x)=ex,則f'(x)=ex;
- 若f(x)=loga x,則f'(x)=1 / (xlna)
- 若f(x)=lnx,則f'(x)=1/x
2、定積分的簡單應用
1、計算曲線\(y^2=x, y=x^2\)所圍圖形的面積S
解：
-
畫出草圖
-
解方程
- \(y^2=x \Rightarrow y = \sqrt x\)
- \(y=x^2\)
得到的解為交點的橫坐標為x=0, x=1
- 求圖形面積
S = S曲邊形梯形OABC - S曲邊形梯形OABD = \(\int_0^1 \sqrt x dx - \int_0^1 x^2 dx = \frac 2 3 x^{\frac 1 2} |_0^1 - \frac 1 3 x^3|_0^1 = \frac 1 3\)
2、計算直線y=x-4, 曲線\(y = \sqrt {2x}\)所圍圖形的面積S
-
畫出草圖
-
解方程
- \(y = \sqrt {2x}\)
- \(y=x-4\)
直線與曲線交點的坐標為(8,4)，直線與x軸交點坐標為(4,0)
- 求圖形面積
\(S = S_1+S_2=\int_0^4 \sqrt {2x} dx + [ \int_4^8 \sqrt {2x} dx - \int_4^8(x-4)dx] = \frac {40} 3\)
3、變速直線運動的路程
作變速直線運動的物體所經過的路程s,等於其速度函數v=v(t) （v(t)≥0）在時間區間[a,b]上的定積分 \(s=\int_a^b v(t)dt\)
輛汽車的速度-時間曲線如圖所示,求汽車在這1min行駛的路程.
解：
3、小結
17、高等數學 - 矩陣
1、矩陣與向量
- 矩陣
矩陣是矩形的數組。
- 矩陣表示：\(A = (a_{ij})\), 其中i=1, 2; j=1,2,3。
- 矩陣元素表示：第i行，第j列的元素通常表示為\(a_{ij}\)。用大寫字母表示矩陣，用小寫字母表示矩陣中的元素。
- 矩陣集合：用\(R^{m \times n}\)所有元素為實數的m x n矩陣集合。
- 矩陣來自集合表示：元素來自集合S的m x n 矩陣的集合可用\(S^{m \times n}\)表示。
\(A =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}\)
- 矩陣轉置
交換矩陣的行和列，獲得的矩陣是矩陣A的轉置\(A^T\)
\(A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \\ a_{13} & a_{23} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \\ \end{bmatrix}\)
- 向量
向量是一維數組。長度為n的向量稱為n向量，用\(x_i\)表示向量中第i個元素，其中i=1,2,3..n。將向量的標准形式定義為列向量，是n x 1的矩陣，轉置后是行向量。
\(x = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}\)
\(x^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \end{bmatrix}\)
- 單位向量：\(e_i\)是除第i個元素為1，其他均為0的向量。
2、各種矩陣
- 零矩陣：所有元素均為0的矩陣，常表示為0。
- 方陣：正方形 n x n的矩陣
- 對角矩陣：一個矩陣中對於任意\(i \neq j\)，均有\(a_{ij}=0\)。即非對角元素均為0。
\(diag(a_{11},a_{12},...,a_{mn})= \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{ij} \\ \end{bmatrix}\)
-
單位矩陣：\(I_n\), 對角線元素均為1的n x n對角矩陣。
\(I_n = diag(1,1,...,1)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix}\) -
三對角矩陣：若一個矩陣滿足當 |i-j|>1時\(t_{ij}=0\)。
-
上三角矩陣：若一個矩陣滿足對任意 i>j，有\(u_{ij}=0\)
-
單位上三角矩陣：若一個上三角矩陣對角線上元素均為1
-
下三角矩陣：若一個矩陣滿足對任意 i<j，有\(u_{ij}=0\)
-
單位下三角矩陣：若一個下三角矩陣對角線上元素均為1
-
排列矩陣 P：若一個矩陣每行每列均有且僅有一個1，其他 位置均為0
-
對稱矩陣：若一個矩陣轉置后 \(A = A^T\)
\(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 6 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ \end{bmatrix}\)
3、矩陣基本操作
矩陣或向量中的元素是實數、復數、或整數取模某素數等數系中的數。
- 矩陣加法
如果矩陣\(A=(a_{ij}), B=(b_{ij})\)是m x n矩陣，兩者的矩陣和是對應位置上的元素進行相加，得到的和\(C = (c_{ij})=A+B\)也是m x n的矩陣。即\(c_{ij}=a_{ij} + b_{ij}\)
零矩陣相加
是矩陣加法的單位元，A+0=0+A=A
-
矩陣數乘
標量倍數：\(\lambda A=(\lambda a_{ij})\) 是A的標量倍數。通過將\(\lambda\)分別乘以每個元素。\(-1 \cdot A = -A\) -
矩陣減法
A + (-B) = A - B
A + (-A) = -A + A = 0 -
矩陣乘法
兩個相容的矩陣A和B，即A的列數與B的行數相等才能相乘。\(A_{m \times n}B_{n \times p} = C_{m \times p}\)
\(\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\)
示例：求矩陣 \(A =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{bmatrix}， B =\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ \end{bmatrix}，求C=A \times B\)
計算過程
\(C=A \times B=\begin{bmatrix} a_{11} \times b_{11} + a_{12} \times b_{21} + a_{13} \times b_{31} & a_{11} \times b_{12} + a_{12} \times b_{22} + a_{13} \times b_{32}\\ a_{21} \times b_{11} + a_{22} \times b_{21} + a_{23} \times b_{31} & a_{21} \times b_{12} + a_{22} \times b_{22} + a_{23} \times b_{32} \\ \end{bmatrix}\)
1）看紫色線
2）看綠色線
3）看藍色線
4）看紅色線
各矩陣相乘
- 單位矩陣相乘：\(I_mA=AI_n=A\)
- 零矩陣相相乘：A0=0
- 矩陣乘法結合率：A(BC)=(AB)C
- 矩陣乘法對加法滿足分配律：A(B+C)=AB+AC。例外：n>1，n x n的矩陣乘法不滿足交換律。如下：
\(A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\)
\(B=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\)
\(AB=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\)
\(BA=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)
- 矩陣向量乘積：可把向量看作n x 1的矩陣相乘。
- 內積：如果兩個向量相乘，則\(\displaystyle x^Ty=\sum_{i=1}^n x_i y_i\)是一個1x1的矩陣，稱之為x與y的內積。
- 外積：矩陣\(xy^T\)是n x n的矩陣Z，稱為x與y的外積。
- 歐幾里德范式：定義 n 向量x的范式 \(\left \| x \right \|=(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)^{1/2}=(x^Tx)^{1/2}\)，x的范式是其在n維歐幾里德空間內的長度。
4、矩陣的基本性質
1）矩陣的逆
定義 n x n的矩陣A的逆\(A^{-1}\)為滿足\(AA^{-1} = A^{-1}A= I_n\)的n x n矩陣(即為原矩陣的倒數）。許多非零矩陣沒有逆矩陣。
\(A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac 1 A = \frac 1 {\begin{bmatrix} m & n \\ p & q \\ \end{bmatrix}} =\begin{bmatrix} a \times m + b \times p & a \times n + b \times q \\ c \times m + d \times p & b \times n + d \times q \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)
如求\(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}^{-1} \Rightarrow \begin{bmatrix} m+p=1 & n+q=0 \\ m+0=0 & n+0=1 \\ \end{bmatrix}^{-1} \Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix}^{-1}\)
- 可逆矩陣：若矩陣可逆則稱為可逆矩陣或非奇異矩陣，如果存在則其是唯一的。
- 不可逆矩陣：沒有逆的矩陣為不可逆的或奇異的。 \((BA)^{-1}=A^{-1} b^{-1}\)
- 逆操作與轉置操作可交換順序：\((A^{-1})^T =(A^T)^{-1}\)
2）矩陣的線性相關和無關
- 線性相關：若存在不全為零的相關系數 c1,c2, ..,cn，使得\(c_1x_1+c_2x_2+..+c_nx_n=0\)，則稱向量\(x_1,x_2,..,x_n\)是線性相關的。
行向量\(x_1=(1 \; 2 \; 3), x_2=(2 \; 6 \; 4), x_3=(4 \; 11 \;9)\)是線性相關的，因為存在非全零\(c_1, c_2, c_3\)使得 \(c_1x_1 + c_2x_2 + c_3x_3=0\)，例如\(2x_1 + 3x_2 - 2x_3=0\)，即\((2, 4, 6) + (6, 18, 12) - (8, 22, 18) = 0\) - 線性無關：不是線性相關的。單位矩陣的列向量是線性無關的。
3）矩陣的秩
對於非零 m x n的矩陣A：
- 列秩：最大線性無關
列集合的大小 - 行秩：最大線性無關
行集合的大小
任意矩陣A所共有的一個基本性質是A的行秩等於其列秩。簡稱為A的迭。
秩：非零m x n矩陣A， m x r的矩陣B，r x n的矩陣C，使得 A = BC時最小數值r是A的秩。
矩陣的秩
- 矩陣的秩是[0, min(m, n)]內的整數
- 零矩陣的秩是0，而n x n單位矩陣的秩是n
滿秩
- 如果 n x n方陣的秩是n，則它是滿秩的。
- 如果 m x n矩陣的秩是n，則它是列滿秩的。
定理
- 定理1：一個方陣是滿秩的，當且僅當該方陣是非奇異的。
- 定理2：一個矩陣A是列滿秩的，當且僅當該矩陣不存在空向量
- 推論3：一個方陣是奇異的，當且僅當它有空向量
4）矩陣的行列式
n x n(n>1)矩陣A的第i行j列子矩陣，是一個刪除A中i行j列后得到的(n-1)x(n-1)矩陣\(A_{[ij]}\)。利用子矩陣遞歸定義該矩陣的行列式。
\( det(A) = \begin{cases} a_{11} & \text 若n=1 \\ \displaystyle \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}det(A_{[1j]}) & \text 若n>1 \end{cases} \)
\((-1)^{1+j} a_{1j}det(A_{[1j]})\)為元素\(a_{ij}\)的代數余子式。
行列式性質
定理4：
- 如果矩陣A中某行或某列為0，則det(A)=0
- 當將矩陣A的任意一行（或列）的每個元素乘以\(\lambda\)后，A的行列式乘以\(\lambda\)
- 當將矩陣A的任意一行（或列）的每個元素加到另一行（或列）的元素上，則A的行列式不變
- 矩陣A的行列式與其轉置\(A^T\)的行列式相等
- 當交換A的任意兩行（或兩列）時，行列式改變正負號
定理5：
n x n 矩陣A是奇異的，當且僅當dt(A)=0。
正定矩陣：如果n x n矩陣A滿足對於所有n向量\(x \neq 0\)，有\(x^TAx>0\)，則稱A是正定的。\(x^TI_nx=x^Tx = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2 > 0\)
定理6：
對於任意列滿秩的矩陣A，矩陣\(A^TA\)是正定的。
