Directx11學習筆記【五】 基本的數學知識----向量篇

本文參考dx11龍書 Chapter1 vector algebra(向量代數)

 

要想學好游戲編程，扎實的數學知識是尤為重要的，下面將對dx11龍書中有關向量的數學知識做一下總結。

在數學中，幾何向量（也稱為歐幾里得向量，通常簡稱向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向（direction）的幾何對象，可以形象化地表示為帶箭頭的線段，箭頭所指：代表向量的方向、線段長度：代表向量的大小。

向量的表示方式一般有3種：

　　1.代數表示：一般印刷用黑體小寫字母α、β、γ…或a、b、c… 等來表示，手寫用在a、b、c…等字母上加一箭頭表示

　　2.幾何表示：用有向線段表示

　　3.坐標表示

（注：directx使用的是左手系，下面不作說明均以左手系為准）

向量的一些基本操作（部分摘自百度百科）：

1.向量的模，即向量的長度。

向量a的模記作|a|。向量的模是非負實數，是可以比較大小的。因為方向不能比較大小，所以向量也就不能比較大小。對於向量來說“大於”和“小於”的概念是沒有意義的。例如，“向量AB>向量CD”是沒有意義的。

2.單位向量

長度為一個單位（即模為1）的向量，叫做單位向。與向量a同向，且長度為單位1的向量，叫做a方向上的單位向量，記作a0，a0=a/|a|。

3.向量的加減法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。OB+OA=OC。

a+0=0+a=a。

向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a；

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

減法與加法類似

4.數量積（點積）

定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b，則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量（沒有方向），記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定義有：cos〈a,b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共線，則a·b=±∣a∣∣b∣。

向量的數量積的坐標表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的數量積的運算律

a·b=b·a（交換律）

(λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的數量積的性質

a·a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

5.向量積（叉積）

定義：兩個向量a和b的向量積
（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這里“×”並不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“∧”）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b垂直，則∣a×b∣=|a|*|b|（此處與數量積不同，請注意），若a×b=0，則a、b平行。向量積即兩個不共線非零向量所在平面的一組法向量。

運算法則：運用三階行列式

設a,b,c分別為沿x,y,z軸的單位向量

A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）則A*B=

a b c

x1 y1 z1

x2 y2 z2

向量的向量積性質：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a平行b〈=〉a×b=0

向量的向量積運算律

a×b=－b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

a×（b+c）=a×b+a×c.

（a+b）×c=a×c+b×c.

6.向量投影

給定一個向量u和v，求u在v上的投影向量，如下圖。

假設u在v上的投影向量是u’，且向量u和v的夾角為theta。一個向量有兩個屬性，大小和方向，我們先確定u’的大小（即長度，或者模），從u的末端做v的垂線，那么d就是u’的長度。而u’和v的方向是相同的，v的方向v/|v|也就是u’的方向。所以有

                          (1)

再求d的長度。

                      (2)

最后求cos(theta)

                   (3)

聯合求解方程（1）（2）（3）得到

這就是最終的投影向量。

而這個向量的長度d是

============================

以下是舊的推導，也保留。

XNA MathVectors

下面介紹一些xna math庫中常用的向量結構及方法

 

1.向量類型

有XMVECTOR,XMFLOAT2，XMFLOAT3，XMFLOAT4等幾種類型，具體可以看dx11龍書1.6.1節

在這一章中作者給出使用向量類型應注意的5點：

(1)、 對局部變量和全局變量，使用XMVECTOR類型；

(2)、 對類的數據成員，使用XMFLOAT2, XMFLOAT3和XMFLOAT4數據成員；

(3)、 在進行計算之前，使用載入函數（loading functions）來將XMFLOAT*類型轉換成XMVECTOR類型；

(4)、 用XMVECTOR的實例進行計算；

(5)、 使用存儲函數（storage functions）來將XMVECTOR轉換成XMFLOAT*類型

 

2.Loading and Storage Methods（載入和存儲函數）

我們用下面的方法來加載數據，從XMFLOAT*到XMVECTOR

XMVECTOR XMLoadFloat3(CONST XMFLOAT3 *pSource);

XMVECTOR XMLoadInt3(CONST UINT* pSource);

XMVECTOR XMLoadColor(CONST XMCOLOR *pSource);

用下面的方法存儲數據，從XMVECTOR到XMFLOAT*

VOID XMStoreFloat3(XMFLOAT3 *pDestination,FXMVECTOR V);

......

3.Parameter Passing參數傳遞

龍書中主要介紹了CXMVECTOR 和FXMVECTOR 這兩種參數類型，並告訴了我們在定義函數時，參數類型的注意事項：

函數的前三個XMVECTOR類型必須是FXMVECTOR，而后面的都是CXMVECTOR。

 

4.Constant Vectors常向量

需要初始化的XMVECTOR常量應該定義為XMVECTORF32類型（用於存儲浮點向量）或XMVECTORU32類型（用於存儲整數向量）.

 

5.Vector Functions一些向量運算有關的函數

XMVECTOR XMVectorZero();//返回零向量

XMVECTOR XMVectorSplatOne();//返回(1,1,1,1)

XMVECTOR XMVectorSet(FLOAT x,FLOAT y,FLOAT z,FLOAT w);//返回(x,y,z,w)

XMVECTOR XMVectorReplicate(FLOAT s);//返回(s,s,s,s)

XMVECTOR XMVectorSplatX(FXMVECTOR V);//返回(vx,vx,vx,vx)

 

XMVECTOR XMVector3Length(FXMVECTOR V);//返回向量v的模所構成的新的向量，例如向量v模為2，則返回(2,2,2)

XMVECTOR XMVector3LengthSq(FXMVECTOR V);//模的平方

XMVECTOR XMVector3Dot(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//點積

XMVECTOR XMVector3Cross(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//叉積

XMVECTOR XMVector3Normalize(FXMVECTOR V);//單位化

XMVECTOR XMVector3Orthogonal(FXMVECTOR V);//得到一個與其垂直的向量

XMVECTOR XMVector3AngleBetweenVectors(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//兩個向量的夾角

VOID XMVector3ComponentsFromNormal(XMVECTOR* pParallel,XMVECTOR* pPerpendicular,FXMVECTOR V,FXMVECTOR Normal);//向量的投影

BOOL XMVector3Equal(FXMVECTOR V1,FXMVECTOR V2);//判斷兩個向量是否相等

 

6.Floating-Point Error浮點數計算誤差

用浮點數進行計算（甚至單純地表示）時，會出現誤差，所以等判斷相等時，需要定義一個容許誤差。

 

 

 

附：dx11龍書測試的源碼及測試結果

1.

#include <windows.h>
#include <xnamath.h>
#include <iostream>
using namespace std;

//重載<<操作符
ostream& operator<<(ostream &os, FXMVECTOR v)
{
    XMFLOAT3 dest;
    XMStoreFloat3(&dest, v);
    os << "(" << dest.x << "," << dest.y << "," << dest.z << ")";
    return os;
}

int main()
{
    cout.setf(ios_base::boolalpha);//cout格式化 輸入輸出bool值可以為true和false

    //檢查是否支持SSE2
    if (!XMVerifyCPUSupport())
    {
        cout << "xna math not supported" << endl;
        return 0;
    }
    XMVECTOR p = XMVectorZero();
    XMVECTOR q = XMVectorSplatOne();
    XMVECTOR u = XMVectorSet(1.0f, 2.0f, 3.0f, 0.0f);
    XMVECTOR v = XMVectorSplatX(u);
    XMVECTOR w = XMVectorReplicate(-3.5f);

    cout << "p = " << p << endl;
    cout << "q = " << q << endl;
    cout << "u = " << u << endl;
    cout << "v = " << v << endl;
    cout << "w = " << w << endl;

    return 0;
}

 

2.

#include <windows.h>
#include <xnamath.h>
#include <iostream>
using namespace std;

ostream& operator<<(ostream &os, FXMVECTOR v)
{
    XMFLOAT3 dest;
    XMStoreFloat3(&dest, v);
    os << "(" << dest.x << "," << dest.y << "," << dest.z << ")";
    return os;
}

int main()
{
    cout.setf(ios_base::boolalpha);
    if (!XMVerifyCPUSupport())
    {
        cout << "xna math not supported" << endl;
        return 0;
    }
    XMVECTOR n = XMVectorSet(1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f);
    XMVECTOR u = XMVectorSet(1.0f, 2.0f, 3.0f, 0.0f);
    XMVECTOR v = XMVectorSet(-2.0f, 1.0f, -3.0f, 0.0f);
    XMVECTOR w = XMVectorSet(0.707f, 0.707f, 0.0f, 0.0f);

    XMVECTOR a = u + v;
    XMVECTOR b = u - v;
    XMVECTOR c = 10.0f * u;
    XMVECTOR L = XMVector3Length(u);
    XMVECTOR d = XMVector3Normalize(u);
    XMVECTOR s = XMVector3Dot(u, v);
    XMVECTOR e = XMVector3Cross(u, v);

    XMVECTOR projW;
    XMVECTOR perpW;
    XMVector3ComponentsFromNormal(&projW, &perpW, w, n);

    bool equal = XMVector3Equal(projW + perpW, w) != 0;
    bool notEqual = XMVector3NotEqual(projW + perpW, w) != 0;
    XMVECTOR angelVec = XMVector3AngleBetweenVectors(projW, perpW);
    float angleRadians = XMVectorGetX(angelVec);
    float angleDegrees = XMConvertToDegrees(angleRadians);

    cout << "u                   = " << u << endl;
    cout << "v                   = " << v << endl;
    cout << "w                   = " << w << endl;
    cout << "n                   = " << n << endl;
    cout << "a = u + v           = " << a << endl;
    cout << "b = u - v           = " << b << endl;
    cout << "c = 10 * u          = " << c << endl;
    cout << "d = u / ||u||       = " << d << endl;
    cout << "e = u x v           = " << e << endl;
    cout << "L  = ||u||          = " << L << endl;
    cout << "s = u.v             = " << s << endl;
    cout << "projW               = " << projW << endl;
    cout << "perpW               = " << perpW << endl;
    cout << "projW + perpW == w  = " << equal << endl;
    cout << "projW + perpW != w  = " << notEqual << endl;
    cout << "angle               = " << angleDegrees << endl;

    return 0;
}

 

3.

#include <windows.h> // for FLOAT definition
#include <xnamath.h>
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
cout.precision(8);

// Check support for SSE2 (Pentium4, AMD K8, and above).
if( !XMVerifyCPUSupport() )
{
cout << "xna math not supported" << endl;
return 0;
}

XMVECTOR u = XMVectorSet(1.0f, 1.0f, 1.0f, 0.0f);
XMVECTOR n = XMVector3Normalize(u);

float LU = XMVectorGetX(XMVector3Length(n));

// Mathematically, the length should be 1.  Is it numerically?
cout << LU << endl;
if( LU == 1.0f )
cout << "Length 1" << endl;
else
cout << "Length not 1" << endl;

// Raising 1 to any power should still be 1.  Is it?
float powLU = powf(LU, 1.0e6f);
cout << "LU^(10^6) = " << powLU << endl;
}