前言
作為導數的作用之一，還可以求解直線上的任意動點到曲線上任意動點連線的距離的最小值，采用的思路就是平行線法，其中關聯的知識點比較多，比如直線和曲線相切問題，轉化划歸思想，點到直線的距離等。
模型積累
思路：平行線法，設和直線\(y=x\)平行且和函數\(y=lnx\)相切的直線為\(y=x+m\)，
切點為\(P_0(x_0,y_0)\)，則有\(\begin{cases} y_0=x_{0}+ m \\ y_0=lnx_0 \\ f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}=1\end{cases}\)；
從而解得\(x_0=1,y_0=0,m=-1\)
則所求的 \(|PQ|\) 的最小值，就轉化為切點 \(P_0(1,0)\) 到直線 \(x-y=0\) 的點線距，或者兩條直線 \(y=x\) ，\(y=x-1\) 的線線距了。
故 \(|PQ|_{min}=\cfrac{|1-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)；
典例剖析
分析：設函數\(y=kx\)與函數\(y=lnx\)切點為\(Q(x_0,y_0)\)，則有
\(\begin{cases} y_0=kx_0 \\ y_0=lnx_0 \\ k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}\end{cases}\)；
從而解得\(x_0=e,y_0=1,k=\cfrac{1}{e}\)，故切點\(Q\)的坐標為\((e，1)\) 具體參見課件
分析：設函數\(y=mx\)與函數\(y=e^x\)切點為\(P(x_0,y_0)\)，則有
\(\begin{cases} y_0=mx_0 \\ y_0=e^{x_0} \\ m=f'(x_0)=e^{x_0}\end{cases}\)；
從而解得\(x_0=1,y_0=e,m=e\)，故切點\(P\)的坐標為\((1，e)\)。
法1：導數法，仿上題可知，函數\(y=mx\)與函數\(y=e^x\)的圖像沒有交點，所求的\(m\)取值范圍為$0\leq m<e $。
法2：轉化法，則方程\(e^x=mx\)無解，即方程\(m=\cfrac{e^x}{x}\)無解，令函數\(g(x)=\cfrac{e^x}{x}\)，
利用導數求得值域為\(g(x)\in (-\infty，0)\cup[e，+\infty)\)，故要使得方程\(m=g(x)\)無解，得到$0\leq m<e $。
轉化划歸
分析：由 \(\left\{\begin{array}{l}x=x_1\\y=\ln x_1\end{array}\right.\) ，消去參數\(x_1\)，即 \(M\) 為曲線 \(y=\ln x\) 上的動點，
由 \(\left\{\begin{array}{l}x=x_2-3\\y=2x_2\end{array}\right.\) ，消去參數\(x_2\)，即 \(N\) 為直線 \(y=2x+6\) 上的動點，
設曲線 \(y=\ln x\) 在某點處的切線為 \(l\)，當切線 \(l\) 與直線 \(y=2x-6\) 平行時，切線的斜率為 \(2\)，
設切點 \(P(a,b)\)，又曲線 \(y=\ln x\) 在點 \(P(a,b)\) 處的切線斜率為 \(y'=\cfrac{1}{x}|_{x=a}=\cfrac{1}{a}\)，
所以 \(\cfrac{1}{a}=2\)，解得 \(a=\cfrac{1}{2}\)，故切點 \(P\) 的坐標為 \((\cfrac{1}{2},-\ln 2)\)，
切點 \(P(\cfrac{1}{2},-\ln 2)\) 到直線 \(2x-y+6=0\)的距離為
\(d=\cfrac{|\cfrac{1}{2}\times 2+(-\ln 2)\times (-1)+6|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\cfrac{7+\ln2}{\sqrt{5}}=\cfrac{(7+\ln 2)\sqrt{5}}{5}\)，
所以線段 \(MN\) 長度的最小值為 \(\cfrac{(7+\ln 2)\sqrt{5}}{5}\).
分析：檢索自己的數學知識儲備，我們能發現，不等式的左端的結構和平面內兩點間的距離公式非常接近，
故我們主動聯想，向兩點間的距離公式的幾何意義做靠攏，從而轉化為求兩點間的距離的最小值的平方。
解法1：表達式\((x-a)^2+(x-lna)^2\)的幾何意義是直線\(y=x\)上的點\((x，x)\)到曲線\(y=lnx\)上的點\((a，lna)\)距離的平方，
如果令\(f(x)=(x-a)^2+(x-lna)^2\)，則由\(m<f(x)\)對任意\(x\in R\)，\(a\in (0，+\infty)\)恆成立，
即需要我們求\(f(x)\)的最小值；這樣題目首先轉化為以下的題目：
即，直線\(y=x\)上的點為\(P(x，x)\)，函數\(y=lnx\)上的點是\(Q(a，lna)\)，求\(\sqrt{(x-a)^2+(x-lna)^2}\)的最小值。
設和直線\(y=x\)平行且和函數\(y=lnx\)相切的直線為\(y=x+m\)，
切點為\(P_0(x_0，y_0)\)，則有
\(\begin{cases} y_0=x_{0}+ m \\ y_0=lnx_0 \\ f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}=1\end{cases}\)；
從而解得\(x_0=1，y_0=0，m=-1\)
所以所求的點點距的最小值，就轉化為切點\(P_0(1，0)\)到直線\(y=x\)的點線距，
或者兩條直線\(y=x\)，\(y=x-1\)的線線距了。
此時\(|PQ|_{min}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)；
由上述題目可知，\(f(x)_{min}=(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\cfrac{1}{2}\)，
故實數\(m\)的取值范圍是\(m<\cfrac{1}{2}\)，即\(m\in (-\infty，\cfrac{1}{2})\)。
分析：由於題目告訴我們，存在\(x_0\)，使得\(f(x_0)\leq \cfrac{4}{5}\)成立，
則需要我們求解函數\(f(x)\)的最小值，最容易想到的就是利用導數求解函數的最小值，
這個最小值中會含有參數\(a\)，讓其小於等於\(\cfrac{4}{5}\)，求解即可。
但是觀察函數的特征，你會感覺這可能不是一個很好的選擇。
那么有沒有更好的選擇呢，詳細觀察所給的函數結構特征，發現其和平面內任意兩點見的距離公式很接近，
所以我們可以這樣考慮：
函數\(f(x)\)的最小值應該是點\((x，lnx^2)\)和點\((a，2a)\)之間的最小距離的平方，再次轉化為
函數\(y=g(x)=lnx^2=2lnx\)上的動點\((x，y)\)與函數\(y=h(x)=2x\)上的動點\((m，n)\)之間的最小距離的平方，
從而問題轉化為先求解曲線\(y=2lnx\)上的動點到直線\(y=2x\)的最小距離了。
利用平行線法，設直線\(y=2x+m\)與曲線相切於點\((x_0，y_0)\)，
則有\(g'(x_0)=\cfrac{2}{x_0}=2\)，解得\(x_0=1\)，
代入\(y=2lnx\)，得到\(y_0=0\)，即切點為\((1，0)\)點，
代入\(y=2x+m\)，得到\(m=-2\)
即切線為\(y=2x-2\)，此時函數\(f(x)\)的最小值，也就是曲線上的點\((1，0)\)到直線\(y=2x\)的點線距的平方，
也是兩條直線\(y=2x\)和\(y=2x-2\)之間的線線距的平方，其中線線距\(d=\cfrac{|2|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\cfrac{2}{\sqrt{5}}\)
故\(d^2=\cfrac{4}{5}\)，說明這樣的\(x_0\)是存在的且唯一的，\(x_0=1\)，
那么\(a\)為多少?該如何求解呢？由於\(a\)是使得函數\(f(x)\)取得最小值的參數，
即本題目中應該是點\((1，0)\)在直線\(y=2x\)上的垂足的橫坐標。
由於過點\((1，0)\)和\(y=2x\)垂直的直線為\(y-0=-\cfrac{1}{2}(x-1)\)，
聯立\(\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\cfrac{1}{2}(x-1)}\end{array}\right.\)，解得\(x=\cfrac{1}{5}\)，
即\(a=\cfrac{1}{5}\)，故選\(B\)。