前言
總結歸納求曲線上的動點到直線的距離的最值問題，這樣的曲線常見的有圓，橢圓，雙曲線，拋物線，以及還可以拓展到函數圖像上的動點到直線的距離的最值問題。
類型總結
- Ⅰ：圓上的動點到直線的距離[點線距]的最值
如給定圓\(C：x^2+y^2=4\)，和直線\(y=x+4\)，求圓上任意一點到直線的距離[點線距]的最大值和最小值。
常用方法：
①幾何方法，圓心到直線的距離為\(d\)，則點線距的最大值為\(d+r\)，最小值為\(d-r\)；
②平行線法，先設與已知直線平行且和圓相切的直線為\(y=x+m\)，聯立方程組，利用\(\Delta=0\)求得\(m\)的兩個值，則點線距的最小值為線線距中的最小值，其最大值為線線距中的最大值；
③參數方程法[或三角函數法]，圓上任意一點坐標\((2cos\theta，2sin\theta)\)，利用點到直線的距離公式轉化為三角函數求最值；
其中以幾何方法最為簡單；
- Ⅱ：橢圓上的動點到直線的距離[點線距]的最值
如給定橢圓\(C：\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)，和直線\(y=x+4\)，求橢圓上任意一點到直線的距離[點線距]的最大值和最小值。
常用方法：
①幾何方法，失效；
②平行線法，先設與已知直線平行且和橢圓相切的直線為\(y=x+m\)，聯立方程組，利用\(\Delta=0\)求得\(m\)的兩個值，則點線距的最小值為線線距中的最小值，其最大值為線線距中的最大值；
③參數方程法[或三角函數法]，橢圓上任意一點坐標\((2cos\theta，\sqrt{3}sin\theta)\)，利用點到直線的距離公式轉化為三角函數求最值；
分析：首先易知橢圓和直線沒有交點，即二者相離，從而可以考慮用橢圓的參數方程或平行線法求解。
法1、利用橢圓的參數方程，由橢圓方程\(\cfrac{x^2}{3}+y^2=1\)可知，動點坐標\(P(\sqrt{3}cos\theta，sin\theta)\)，
則點P到直線\(x+y-8=0\)的距離為\(d\)，則有
\(d(\theta)=\cfrac{|\sqrt{3}cos\theta+sin\theta-8|}{\sqrt{2}}=\cfrac{|2sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})-8|}{\sqrt{2}}\)，
故當\(sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})=1\)時，\(d_{min}=\cfrac{|2-8|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)；
\(sin(\theta+\cfrac{\pi}{3})=-1\)時，\(d_{max}=\cfrac{|-2-8|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\)；[1]
法2、平行線法，設和已知平行且和已知橢圓相切的直線\(x+y+m=0\)，
則由\(x+y+m=0\)和\(\cfrac{x^2}{3}+y^2=1\)，消去\(y\)可得\(4x^2+6mx+3m^2-3=0\)，
由二者相切可知，\(\Delta=36m^2-4\times4(3m^2-3)=0\)，解得\(m=\pm 2\)，
即和橢圓相切的直線有\(x+y-2=0\)和\(x+y+2=0\)，故切點到直線\(x+y-8=0\)的距離就可以用兩條平行線間的距離來刻畫，
則\(d_{max}=\cfrac{|2-(-8)|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\)，\(d_{min}=\cfrac{|-2-(-8)|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\)。
- Ⅲ：拋物線上的動點到直線的距離[點線距]的最值
如給定拋物線\(C：y^2=4x\)，和直線\(y=x+4\)，求拋物線上任意一點到直線的距離[點線距]的最大值和最小值。
常用方法：
①幾何方法，失效；
②平行線法，先設與已知直線平行且和拋物線相切的直線為\(y=x+m\)，聯立方程組，利用\(\Delta=0\)求得\(m\)的一個值，則線線距即為所求的點線距的最小值；
③參數方程法[或二次函數法]，由拋物線的參數方程，比如其上任意一點坐標\((2s^2，2\sqrt{2}s)\)，利用點到直線的距離公式轉化為二次函數求最值；
曲線\(C\)的參數方程是\(\begin{cases}x=2s^2\\y=2\sqrt{2}s\end{cases}(s為參數)\)，設\(P\)為曲線\(C\)上的動點，求點\(P\)到直線\(l\)的距離的最小值。
分析：直線\(l\)的直角坐標方程是\(x-2y+8=0\)，曲線\(C\)上的動點\(P\)的坐標\((2s^2，2\sqrt{2}s)\)，
則由點到直線的距離公式可得，
\(d=d(s)=\cfrac{|2s^2-4\sqrt{2}s+8|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\)\(=\cfrac{|2(s-\sqrt{2})^2+4|}{\sqrt{5}}\)
當\(s=\sqrt{2}\)時，\(d_{min}=\cfrac{4\sqrt{5}}{5}\)。
- Ⅳ：函數圖像上的動點到直線的距離[點線距]的最值
常用方法：
①幾何方法，失效；
②平行線法[切線法]，先設與已知直線平行且和拋物線相切的直線為\(y=x+m\)，此時不能利用\(\Delta=0\)求解，
只能用切線法，則線線距即為所求的點線距的最小值；
③參數方程法，失效；
【等價題目】直線\(y=x\)上的點為\(P(x，y)\)，函數\(y=lnx\)上的點是\(Q(m，n)\)，求\(\sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}\)的最小值。
思路：平行線法，設和直線\(y=x\)平行且和函數\(y=lnx\)相切的直線為\(y=x+m\)，
切點為\(P_0(x_0，y_0)\)，則有
\(\begin{cases} y_0=x_{0}+ m \\ y_0=lnx_0 \\ f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}=1\end{cases}\)；
從而解得\(x_0=1，y_0=0，m=-1\)
所以所求的點點距的最小值，就轉化為切點\(P_0(1,0)\)到直線\(x-y=0\)的點線距，
\(d=\cfrac{|1-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)。
或者兩條直線\(y=x，y=x-1\)的線線距\(d=\cfrac{|1-0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)。課件地址
對應練習
問題：為什么不設點P的坐標為\((x，y)\)而采用參數坐標形式\((\sqrt{3}cos\theta，sin\theta)\)?前者坐標形式是二元形式，后者是一元形式，故后者簡單。 ↩︎