先說結論：
假設平面的一般式方程
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Ax +By +Cz + D = 0
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其中n = (A, B, C)是平面的法向量
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法向量的A，B，C可以和D同時乘以或除以一個數，所代表的平面不變。
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任意一個點到平面距離一般形式：（更高緯也ok）
\[d=\frac{平面方程代入點坐標}{平面法向量的二范數} \]
- 標量形式：
\[d=\frac{Ax +By +Cz+D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]
- 向量形式：
平面可以表示為\(w^Tx + b = 0\),可以是N維超平面，則：
\[d=\frac{|w^Tx + b|}{||w||} \]
標量形式，以三維為例：
平面的一般式方程
Ax +By +Cz + D = 0
其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是將平面平移到坐標原點所需距離（所以D=0時，平面過原點）
向量的模（長度/二范數）
給定一個向量V（x, y, z),則\(|V| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
向量的點積（內積）
給定兩個向量\(\vec V_1(x_1, y_1, z_1)\)和\(\vec V_2(x_2, y_2, z_2)\)則他們的內積是
\(<V_1·V_2> = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\)
點到平面的距離
幾何解法：
有了上面的准備知識，則求點到直線的距離不再是難事，有圖有真相
如果法相量是單位向量的話，那么分母為1
向量形式：
其實就是SVM的幾何間隔過程，假設有平面：
如果已知平面方程\(w^Tx + b = 0\)和A點的坐標
For point A, which represents the input \(x^{(i)}\) with label \(y ^{(i)} = 1\), its distance to the decision boundary,$y ^{(i)} $ , is given by the line segment AB.
**Question: how to find the value of \(γ ^{(i)}\) ?
** 如何計算出來A到平面的距離 \(γ ^{(i)}\) ？
- Point B is given by \(x ^{(i)} − γ ^{(i)} ω/ ||ω||_2\)
- 假如A是\((x^{(i)},y^{(i)})\),B的X坐標可以使用γ和A的坐標計算出來。
- 就是： \(x ^{(i)} − γ ^{(i)} ω/ ||ω||_2\) （因為長度是\(γ\),w是法向，除掉之后是單位向量。A的x減去法向上的長度就是B的x的值？）
- B lies in the decision boundary:
- 因為B在決策邊界（分類面）上，把B的x坐標代入分類面（或直線）方程：