先说结论：
假设平面的一般式方程
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Ax +By +Cz + D = 0
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其中n = (A, B, C)是平面的法向量
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法向量的A，B，C可以和D同时乘以或除以一个数，所代表的平面不变。
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任意一个点到平面距离一般形式：（更高纬也ok）
\[d=\frac{平面方程代入点坐标}{平面法向量的二范数} \]
- 标量形式：
\[d=\frac{Ax +By +Cz+D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]
- 向量形式：
平面可以表示为\(w^Tx + b = 0\),可以是N维超平面，则：
\[d=\frac{|w^Tx + b|}{||w||} \]
标量形式，以三维为例：
平面的一般式方程
Ax +By +Cz + D = 0
其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离（所以D=0时，平面过原点）
向量的模（长度/二范数）
给定一个向量V（x, y, z),则\(|V| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)
向量的点积（内积）
给定两个向量\(\vec V_1(x_1, y_1, z_1)\)和\(\vec V_2(x_2, y_2, z_2)\)则他们的内积是
\(<V_1·V_2> = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\)
点到平面的距离
几何解法：
有了上面的准备知识，则求点到直线的距离不再是难事，有图有真相
如果法相量是单位向量的话，那么分母为1
向量形式：
其实就是SVM的几何间隔过程，假设有平面：
如果已知平面方程\(w^Tx + b = 0\)和A点的坐标
For point A, which represents the input \(x^{(i)}\) with label \(y ^{(i)} = 1\), its distance to the decision boundary,$y ^{(i)} $ , is given by the line segment AB.
**Question: how to find the value of \(γ ^{(i)}\) ?
** 如何计算出来A到平面的距离 \(γ ^{(i)}\) ？
- Point B is given by \(x ^{(i)} − γ ^{(i)} ω/ ||ω||_2\)
- 假如A是\((x^{(i)},y^{(i)})\),B的X坐标可以使用γ和A的坐标计算出来。
- 就是： \(x ^{(i)} − γ ^{(i)} ω/ ||ω||_2\) （因为长度是\(γ\),w是法向，除掉之后是单位向量。A的x减去法向上的长度就是B的x的值？）
- B lies in the decision boundary:
- 因为B在决策边界（分类面）上，把B的x坐标代入分类面（或直线）方程：