Dijkstra 算法（C++）

本文轉載自查看原文 2021-05-14 21:47 1009 數據結構與算法

一、Dijkstra 算法的基本思想

Dijkstra 算法是解決單源最短路徑問題的一般方法，它是一種貪心算法，要求圖中所有邊的權重非負。它的基本思想是：從一個起始頂點開始向外擴張，持續不斷地將生成的圖擴展到已知距離和最短路徑的區域。簡單地說，就是先加入最近的頂點，然后加入更遠一些的頂點。

Dijkstra 算法類似廣度優先搜索，擴展也是按照階段進行的。設圖的頂點集為 V，邊集為 E，已知最短路徑的頂點集為 R，（R 是 V 的一個子集），起始頂點為 s。在每個階段，Dijkstra 算法從集合 V-R 中選擇最短路徑估計最小的頂點 v（在 V-R 中距離 s 最近的頂點），將 v 加入已知區域 R，然后對 v 的鄰接點的最短距離進行調整更新（松弛）。

下面給出拓展 R 的偽代碼：

二、算法要點

該算法有幾個要點。

圖的存儲方式。這里使用鄰接表較為簡單。

vector< pair<int, int> > adj[1501];  // adj[i].first為鄰接點的編號，adj[i].second為到邊距離。

每個結點需要建立一個結構體
```
struct Vertex
{
    int index;
    int known;
    int dist;
    int path;
    Vertex() : index(-1), known(0), dist(INT_MAX), path(-1) {}
};
Vertex table[1501];
```
- index 為圖中結點的編號（可有可無）
- known 用來標記該節點的最短路徑是否已知（true 已知，false 未知）。true 表明該節點屬於已知區域 R，false 表明該節點屬於 V - R。
- dist 表示起始頂點 s 到該節點的距離。如果 known 為 true，則 d 為最短距離。
- path 表示起始頂點 s 到該結點路徑中的上一個結點（前驅），它用來打印路徑。

核心部分（參考偽代碼寫出）

void Dijkstra(int start, int n)
{
    table[start].dist = 0;	// 起始頂點的距離為0。

    for (;;)
    {
        int k = findmin(n);		// 找到V-R中距離s最近的頂點。
        if (k == -1)			// 所有的頂點都已知最短路徑了，即V=R。
            break;
        table[k].known = 1;		// 將該節點加入已知區域R中。

        // 更新當前節點的所有鄰接點的最短路徑（松弛）
        for (int i = 0; i < adj[k].size(); ++i)
        {
            int v = adj[k][i].first;
            if (table[v].known == 0 && table[v].dist > table[k].dist + adj[k][i].second)
            {
                table[v].dist = table[k].dist + adj[k][i].second;
                table[v].path = k;
            }
            // 如果節點v最短路徑未知，且經過當前頂點k的路徑，能夠使得從源節點s到結點v的最短路徑的權重比當前的估計值更小，則我們對結點v的估計值dist和前驅path進行更新。
        }
    }
}

具體細節在注釋。在 main 函數中已經使用 Initiate 進行初始化（其實也不需要，因為 Vertex 類的默認構造函數已經初始化了）。

對於 findmin，可以使用優先隊列，但是本人水平有限，就使用暴力搜索的方式。

int findmin(int n)
{
    int min = INT_MAX, key = -1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if (!table[i].known && table[i].dist < min)
        {
            min = table[i].dist;
            key = i;
        }
    }

    return key;
}

三、時間復雜度

這里我使用了數組來存儲結點 dist 的信息，所以 findmin 操作（找到 V-R 中 dist 最小值的頂點）會花費 O(|V|) 時間，松弛操作又花費 O(|E|) 時間，所以運行時間為 O(|V|^2)。
補充：采用不同數據結構時間復雜度

四、測試代碼

最后給出測試代碼，如果有錯請指出。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

vector< pair<int, int> > adj[1501];

struct Vertex
{
    int index;
    int known;
    int dist;
    int path;
    Vertex() : index(-1), known(0), dist(INT_MAX), path(-1) {}
};
Vertex table[1501];

void Initiate(int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        table[i].index = i;
        table[i].known = 0;
        table[i].dist = INT_MAX;
        table[i].path = -1;
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        adj[i].clear();
    }
}

int findmin(int n)
{
    int min = INT_MAX, key = -1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if (!table[i].known && table[i].dist < min)
        {
            min = table[i].dist;
            key = i;
        }
    }

    return key;
}

void Dijkstra(int start, int n)
{
    table[start].dist = 0;

    for (;;)
    {
        int k = findmin(n);
        if (k == -1)
            break;
        table[k].known = 1;

        // 更新當前節點的所有鄰接點
        for (int i = 0; i < adj[k].size(); ++i)
        {
            int v = adj[k][i].first;
            if (table[v].known == 0 && table[v].dist > table[k].dist + adj[k][i].second)
            {
                table[v].dist = table[k].dist + adj[k][i].second;
                table[v].path = k;
            }
        }
    }
}

void Print(int start, int n){
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        if(table[i].known == 1)
            cout << start << "-" << i << ":" << table[i].dist << endl;
    }
}

void print_path(Vertex v) {
    if(v.path != -1) {
        print_path(table[v.path]);
        cout << " to ";
    }
    cout << v.index;
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;   // 樣例數
    for (int i = 1; i <= t; ++i)
    {
        int n, m;
        cin >> n >> m;      // 頂點數，邊數
        Initiate(n);
        int u, v, w;
        for (int i = 1; i <= m; ++i)
        {
            cin >> u >> v >> w;
            adj[u].push_back({v, w});
        }

        int src;
        cin >> src;
        Dijkstra(src, n);
        Print(src, n);      // 輸出從源點到其他點的最短路徑
    }

    return 0;
}

五、參考文獻

算法概論 作者: Sanjoy Dasgupta / Christos Papadimitriou / Umesh Vazirani 出版社: 清華大學出版社，P127-P129
算法導論第三版，P383-P385

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