c/c++ 圖的最短路徑 Dijkstra(迪傑斯特拉)算法

c/c++ 圖的最短路徑 Dijkstra(迪傑斯特拉)算法

圖的最短路徑的概念：

一位旅客要從城市A到城市B，他希望選擇一條途中中轉次數最少的路線。假設途中每一站都需要換車，則這個問題反映到圖上就是要找一條從頂點A到B所含邊的數量最少的路徑。我們只需從頂點A出發對圖作廣度優先遍歷，一旦遇到頂點B就終止。由此所得廣度優先生成樹上，從根頂點A到頂點B的路徑就是中轉次數最少的路徑。但是這只是一類最簡單的圖的最短路徑問題。有時，對於旅客來說，可能更關心的是節省交通費用；而對於司機來說，里程和速度則是他們感興趣的的信息。為了在圖上表示相關信息，可對邊賦以權值，權值可以表示兩個城市之間的距離，或途中所需時間，或交通費用等等。此時路徑長度的度量就不再是路徑上邊的數目，而是路徑上邊權值之和。

實現思路：

• 創建2個輔助int*數組dist path,1個bool數組s
• dist 存放目標頂點到每個頂點的最短距離
• path 存放目標頂點到每個頂點的路徑
• s 被查找過的頂點設置為true，否則為false

圖為下圖

1，假設目標頂點為A，先從A開始找到各個頂點的權值,

	A	B	C	D	E
dist	0	10	無窮大	30	100
path	-1	0	0	0	0
s	true	false	false	false	false

path含義：比如path[1]=0,就代表從下標為0的頂點（A頂點）到B頂點

2，從dist里找到s為false的最小值，也就是dist[1]的值10，下標1說明是頂點B，再從B開始找到各個頂點的權值，更新dist和path，並設置B為true

	A	B	C	D	E
dist	0	10	60	30	100
path	-1	0	1	0	0
s	true	true	false	false	false

3,從dist里找到s為false最小值，也就是dist[3]的值30，下標3說明是頂點D，再從D開始找到各個頂點的權值，更新dist和path，並設置D為true

	A	B	C	D	E
dist	0	10	50	30	90
path	-1	0	3	0	3
s	true	true	false	true	false

4,從dist里找到s為false最小值，也就是dist[2]的值50，下標2說明是頂點C，再從C開始找到各個頂點的權值，更新dist和path，並設置C為true

	A	B	C	D	E
dist	0	10	50	30	60
path	-1	0	3	0	2
s	true	true	true	true	false

5,從dist里找到s為false最小值，也就是dist[4]的值60，下標4說明是頂點E，再從E開始找到各個頂點的權值，更新dist和path，並設置E為true

	A	B	C	D	E
dist	0	10	50	30	60
path	-1	0	3	0	2
s	true	true	true	true	true

下面兩幅圖可以幫助理解

dijkstra.h

#ifndef __mixspantree__
#define __mixspantree__

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include <assert.h>
#include <memory.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

#define Default_vertex_size 20

#define T char//dai biao ding dian de lei xing
#define E int
#define MAX_COST 0x7FFFFFFF


typedef struct GraphMtx{
  int MaxVertices;//zui da ding dian shu liang]
  int NumVertices;//shi ji ding dian shu liang
  int NumEdges;//bian de shu lian

  T* VerticesList;//ding dian list
  int** Edge;//bian de lian jie xin xi, bu shi 0 jiu shi 1
}GraphMtx;

//chu shi hua tu
void init_graph(GraphMtx* gm);
//打印二維數組
void show_graph(GraphMtx* gm);
//插入頂點
void insert_vertex(GraphMtx* gm, T v);
//添加頂點間的線
void insert_edge(GraphMtx* gm, T v1, T v2, E cost);

//最短路徑
void short_path(GraphMtx* g,T v,E* dist, int* path);
#endif

dijkstra.c

#include "dijkstra.h"

void init_graph(GraphMtx* gm){
  gm->MaxVertices = Default_vertex_size;
  gm->NumEdges = gm->NumVertices = 0;

  //kai pi ding dian de nei cun kong jian
  gm->VerticesList = (T*)malloc(sizeof(T) * (gm->MaxVertices));
  assert(NULL != gm->VerticesList);

  //創建二維數組
  //讓一個int的二級指針，指向一個有8個int一級指針的數組
  //開辟一個能存放gm->MaxVertices個int一級指針的內存空間
  gm->Edge = (int**)malloc(sizeof(int*) * (gm->MaxVertices));
  assert(NULL != gm->Edge);
  //開辟gm->MaxVertices組，能存放gm->MaxVertices個int的內存空間
  for(int i = 0; i < gm->MaxVertices; ++i){
    gm->Edge[i] = (int*)malloc(sizeof(int) * gm->MaxVertices);
  }
  //初始化二維數組
  //讓每個頂點之間的邊的關系都為不相連的
  for(int i = 0; i < gm->MaxVertices; ++i){
    for(int j = 0; j < gm->MaxVertices; ++j){
      if(i == j)
	gm->Edge[i][j] = 0;
      else
	gm->Edge[i][j] = MAX_COST;
    }
  }
}
//打印二維數組
void show_graph(GraphMtx* gm){
  printf("  ");
  for(int i = 0; i < gm->NumVertices; ++i){
    printf("%3c  ", gm->VerticesList[i]);
  }
  printf("\n");
  for(int i = 0; i < gm->NumVertices; ++i){
    //在行首,打印出頂點的名字
    printf("%c:", gm->VerticesList[i]);
    for(int j = 0; j < gm->NumVertices; ++j){
      if(gm->Edge[i][j] == MAX_COST){
	printf("%3c  ", '*');
      }
      else{
	printf("%3d  ", gm->Edge[i][j]);
      }
    }
    printf("\n");
  }
  printf("\n");
}
//插入頂點
void insert_vertex(GraphMtx* gm, T v){
  //頂點空間已滿，不能再插入頂點了
  if(gm->NumVertices >= gm->MaxVertices){
    return;
  }
  gm->VerticesList[gm->NumVertices++] = v;
}

int getVertexIndex(GraphMtx* gm, T v){
  for(int i = 0; i < gm->NumVertices; ++i){
    if(gm->VerticesList[i] == v)return i;
  }
  return -1;
}
//添加頂點間的線
void insert_edge(GraphMtx* gm, T v1, T v2, E cost){
  if(v1 == v2)return;
  
  //查找2個頂點的下標
  int j = getVertexIndex(gm, v1);
  int k = getVertexIndex(gm, v2);
  //說明找到頂點了,並且點之間還沒有線
  if(j != -1 && k != -1 ){
    //因為是有方向，所以更新1個值
    gm->Edge[j][k] = cost;
    //邊數加一
    gm->NumEdges++;
  }
}

//取得2個頂點之間的權值
E getWeight(GraphMtx* g, int v1, int v2){
  if(v1 == -1 || v2 == -1) return MAX_COST;
  return g->Edge[v1][v2];
}
//最短路徑
void short_path(GraphMtx* g,T v,E* dist, int* path){
  int n = g->NumVertices;
  bool* s = (bool*)malloc(sizeof(bool) * n);
  assert(NULL != s);

  int vi = getVertexIndex(g, v);
  for(int i = 0; i < n; ++i){
    //獲得各個頂點與目標頂點之間的權值
    dist[i] = getWeight(g, vi, i);
    s[i] = false;
    if(i != vi && dist[i] < MAX_COST){
      path[i] = vi;
    }
    else{
      path[i] = -1;
    }
  }

  s[vi] = true;
  int min;
  int w;
  for(int i = 0; i < n - 1; ++i){
    min = MAX_COST;
    //u為最短路徑頂點的下標
    int u = vi;
    for(int j = 0; j < n; ++j){
      if(!s[j] && dist[j] < min){
	u = j;
	min = dist[j];
      }
    }
    //把u加入到s集合
    s[u] = true;

    //更新下一個點到所有點的權值
    for(int k = 0; k < n; ++k){
      w = getWeight(g, u, k);
      if(!s[k] && w < MAX_COST && dist[u] + w < dist[k]){
	dist[k] = dist[u] + w;
	path[k] = u;
      }
    }
  }
}

dijkstramain.c

#include "dijkstra.h"

int main(){
  GraphMtx gm;
  //初始化圖
  init_graph(&gm);
  //插入頂點
  insert_vertex(&gm, 'A');
  insert_vertex(&gm, 'B');
  insert_vertex(&gm, 'C');
  insert_vertex(&gm, 'D');
  insert_vertex(&gm, 'E');

  //添加連線
  insert_edge(&gm, 'A', 'B', 10);
  insert_edge(&gm, 'A', 'D', 30);
  insert_edge(&gm, 'A', 'E', 100);
  insert_edge(&gm, 'B', 'C', 50);
  insert_edge(&gm, 'C', 'E', 10);
  insert_edge(&gm, 'D', 'C', 20);
  insert_edge(&gm, 'D', 'E', 60);
  //打印圖
  show_graph(&gm);

  int n = gm.NumVertices;
  E* dist = (E*)malloc(sizeof(E) * n);
  int* path = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
  assert(NULL != dist && NULL != path);

  //最短路徑
  short_path(&gm, 'A', dist, path);

}

完整代碼

編譯方法：gcc -g dijkstra.c dijkstramain.c
執行結果如下圖：