最短路徑---迪傑斯特拉算法[圖中一個頂點到其他頂點的最短距離]

轉自大神：https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711512.html

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迪傑斯特拉算法介紹

迪傑斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路徑算法，用於計算一個節點到其他節點的最短路徑。 
它的主要特點是以起始點為中心向外層層擴展(廣度優先搜索思想)，直到擴展到終點為止。

基本思想

     通過Dijkstra計算圖G中的最短路徑時，需要指定起點s(即從頂點s開始計算)。

     此外，引進兩個集合S和U。S的作用是記錄已求出最短路徑的頂點(以及相應的最短路徑長度)，而U則是記錄還未求出最短路徑的頂點(以及該頂點到起點s的距離)。

     初始時，S中只有起點s；U中是除s之外的頂點，並且U中頂點的路徑是"起點s到該頂點的路徑"。然后，從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 然后，再從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 ... 重復該操作，直到遍歷完所有頂點。

操作步驟

(1) 初始時，S只包含起點s；U包含除s外的其他頂點，且U中頂點的距離為"起點s到該頂點的距離"[例如，U中頂點v的距離為(s,v)的長度，然后s和v不相鄰，則v的距離為∞]。

(2) 從U中選出"距離最短的頂點k"，並將頂點k加入到S中；同時，從U中移除頂點k。

(3) 更新U中各個頂點到起點s的距離。之所以更新U中頂點的距離，是由於上一步中確定了k是求出最短路徑的頂點，從而可以利用k來更新其它頂點的距離；例如，(s,v)的距離可能大於(s,k)+(k,v)的距離。

(4) 重復步驟(2)和(3)，直到遍歷完所有頂點。

單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面通過實例來對該算法進行說明。

 

迪傑斯特拉算法圖解

以上圖G4為例，來對迪傑斯特拉進行算法演示(以第4個頂點D為起點)。

初始狀態：S是已計算出最短路徑的頂點集合，U是未計算除最短路徑的頂點的集合！ 
第1步：將頂點D加入到S中。 
    此時，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。     注:C(3)表示C到起點D的距離是3。

第2步：將頂點C加入到S中。 
    上一步操作之后，U中頂點C到起點D的距離最短；因此，將C加入到S中，同時更新U中頂點的距離。以頂點F為例，之前F到D的距離為∞；但是將C加入到S之后，F到D的距離為9=(F,C)+(C,D)。 
    此時，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：將頂點E加入到S中。 
    上一步操作之后，U中頂點E到起點D的距離最短；因此，將E加入到S中，同時更新U中頂點的距離。還是以頂點F為例，之前F到D的距離為9；但是將E加入到S之后，F到D的距離為6=(F,E)+(E,D)。 
    此時，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。

第4步：將頂點F加入到S中。 
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：將頂點G加入到S中。 
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：將頂點B加入到S中。 
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：將頂點A加入到S中。 
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此時，起點D到各個頂點的最短距離就計算出來了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

 

迪傑斯特拉算法的代碼說明

以"鄰接矩陣"為例對迪傑斯特拉算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在后面會給出相應的源碼。

1. 基本定義

// 鄰接矩陣
typedef struct _graph
{
    char vexs[MAX];       // 頂點集合
    int vexnum;           // 頂點數
    int edgnum;           // 邊數
    int matrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣
}Graph, *PGraph;

// 邊的結構體
typedef struct _EdgeData
{
    char start; // 邊的起點
    char end;   // 邊的終點
    int weight; // 邊的權重
}EData;

Graph是鄰接矩陣對應的結構體。 
vexs用於保存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於保存矩陣信息的二維數組。例如，matrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即vexs[i])"和"頂點j(即vexs[j])"是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。 
EData是鄰接矩陣邊對應的結構體。

2. 迪傑斯特拉算法

/*
 * Dijkstra最短路徑。
 * 即，統計圖(G)中"頂點vs"到其它各個頂點的最短路徑。
 *
 * 參數說明：
 *        G -- 圖
 *       vs -- 起始頂點(start vertex)。即計算"頂點vs"到其它頂點的最短路徑。
 *     prev -- 前驅頂點數組。即，prev[i]的值是"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑所經歷的全部頂點中，位於"頂點i"之前的那個頂點。
 *     dist -- 長度數組。即，dist[i]是"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑的長度。
 */
void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[])
{
    int i,j,k;
    int min;
    int tmp;
    int flag[MAX];      // flag[i]=1表示"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑已成功獲取。

    // 初始化
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        flag[i] = 0;              // 頂點i的最短路徑還沒獲取到。
        prev[i] = 0;              // 頂點i的前驅頂點為0。
        dist[i] = G.matrix[vs][i];// 頂點i的最短路徑為"頂點vs"到"頂點i"的權。
    }

    // 對"頂點vs"自身進行初始化
    flag[vs] = 1;
    dist[vs] = 0;

    // 遍歷G.vexnum-1次；每次找出一個頂點的最短路徑。
    for (i = 1; i < G.vexnum; i++)
    {
        // 尋找當前最小的路徑；
        // 即，在未獲取最短路徑的頂點中，找到離vs最近的頂點(k)。
        min = INF;
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
            {
                min = dist[j];
                k = j;
            }
        }
        // 標記"頂點k"為已經獲取到最短路徑
        flag[k] = 1;

        // 修正當前最短路徑和前驅頂點
        // 即，當已經"頂點k的最短路徑"之后，更新"未獲取最短路徑的頂點的最短路徑和前驅頂點"。
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出
            if (flag[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) )
            {
                dist[j] = tmp;
                prev[j] = k;
            }
           /*關於這個tmp 就是新增了一個點，這個點先和周遭的點連一邊 判斷語句是距離是不是==INF,是的話連不上還是連不上，不是的話，連上再+它距離vs的
              距離(已經是最短路徑了)==其他點到vs的最短路徑通過這個點K之后等於多少，，這是tmp的意義， 再和人點之前的比，看看是否通過新增的點K，
              最短路徑是否發生了變化,我想到了克魯斯卡爾算法，那個是求最小生成樹的，就是遍歷圖中所有的點，n-1條邊，權值最小*/
        }
    }

    // 打印dijkstra最短路徑的結果
    printf("dijkstra(%c): \n", G.vexs[vs]);
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
        printf("  shortest(%c, %c)=%d\n", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
}