C++迪傑斯特拉算法求最短路徑

一：算法歷史
　　迪傑斯特拉算法是由荷蘭計算機科學家狄克斯特拉於1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是從一個頂點到其余各頂點的最短路徑算法，解決的是有向圖中最短路徑問題。迪傑斯特拉算法主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。
二：算法思想
　　按路徑長度遞增次序產生算法：
　　把頂點集合V分成兩組：
　　（1）S：已求出的頂點的集合（初始時只含有源點V0）
　　（2）V-S=T：尚未確定的頂點集合
　　將T中頂點按遞增的次序加入到S中，保證：
　　（1）從源點V0到S中其他各頂點的長度都不大於從V0到T中任何頂點的最短路徑長度
　　（2）每個頂點對應一個距離值
　　S中頂點：從V0到此頂點的長度
　　T中頂點：從V0到此頂點的只包括S中頂點作中間頂點的最短路徑長度
　　依據：可以證明V0到T中頂點Vk的，或是從V0到Vk的直接路徑的權值；或是從V0經S中頂點到Vk的路徑權值之和
三：應用舉例
　　（1）題目：編寫一個校園導游程序，為來訪的客人提供各種信息查詢服務。
　　　　主要功能：1.設計學校的校園平面圖，所含景點不少於10個：頂點表示景點，邊表示路徑等；
　　　　　　　　　2.為客人提供圖中任意景點相關信息的查詢；
　　　　　　　　　3.為客人提供圖中任意景點的問路查詢，即查詢人以景點間的一條最短路徑。
　　　　　　要求：1.設計一個主界面；
　　　　　　        2.設計功能菜單，供用戶選擇
　　　　　　        3.有一定的實用性。
　　（2）設計思路：
　　　　1、該題主要有算法思路以及程序的邏輯思路，首先從邏輯思路講，進入程序，首先設計一個主菜單，選項有景點信息查詢，最短路徑查詢以及顯示景點的平面視圖三個子菜單，然后根據用戶的輸入選擇的子菜單前的編號，分進入不同的子菜單；該功能是由if….else if…. 語句實現。在景點信息查詢和最短路徑查詢子菜單下還有二級子菜　單，都是列 出所有景點並在前面編號，查詢景點信息時，輸入景點前面的編號即可，查詢最短路徑時，先輸入起點的編號，再輸入終點的編號。而顯示景點視圖則調用景點平面圖函數即可顯 示。
　　　　2、算法思路主要是迪傑斯特拉算法的思路，利用迪傑斯特拉算法求最短路徑。
　　　　3、先定義好圖的儲存結構，本題采用鄰接矩陣的方式來表示圖，並在主函數中初始化該圖；
　　　　4、定義三個全局一維數組，一個bool類型數組S[]用來記錄從v0到vi是否已經確定了最短路徑，是則記S[i]=true,否記S[i]= flase；一個int 類型數組Path[]用來記錄從v0到vi的當前最短路徑上的vi的直接前驅頂點編號，若v 到vi之間有邊則記Path[i] = v的編號，否則記Path[i] = -1；最后一個數組D[]用來記錄從v0到vi之間的最短路徑長度，存在則記v0到vi之間邊的權值或者權值和，否則記為MAX
　　　　5、定義一個求最短路徑的函數，傳入的參數為圖和起點，首先進行初始化工作，初始化S[]數組全為false，D[]數組初始化為起點到各個頂點的權值，Path[]數組初始化為起點是否與各頂點有邊，有則記v0否則記-1；
　　　　6、然后進行n-1次for循環，找出vo到其余n-1個頂點之間的最短路徑，比較當前D[]數組中最小值，找到最小值的編號v，該編號就是從v0出發到所有頂點中距離最短的頂點編號，然后把S[v]的值置為true。說明從v0出發到頂點v已經找到最短路徑；
　　　　7、接着就要更新D[]數組，因為D[]數組是記錄最短路徑的，現在已經找到了一個頂點的最短路徑，已該頂點v為中間點，判斷從該頂點v出發到剩下的頂點的路徑長度加上該點到v0的路徑長度是否小於直接從v0出發到其余頂點的路徑長度，如果小於，則更新D[i]為以該頂點v為中間點求得的路徑長度。更新Path[i] = v；即i的前驅不再是v0而是v;
　　　　8、循環（6）（7）兩步n-1次即可得到D[]數組，輸出D[]數組既是v0到所有頂點的最短路徑長度；

　　（3）源代碼：

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<string>
using namespace std;
/**
 *作者：Dmego
 *時間：2016-12-12
 */
#define MAX 1000000  //表示極大值∞
#define max 10
bool S[max];   //記錄從源點V0到終點Vi是否已經確定為最短路徑，確定了記true，否則記false
int Path[max]; //記錄從源點V0到終點Vi的當前最短路徑上終點Vi的直接前驅頂點序號，若V0到Vi之間有邊前驅為V0否則為-1 
int D[max];  //記錄源點到終點之間最短路徑的長度，存在記V0到Vi的邊的權值，否則記為MAX       
typedef struct
{
    string vexs[max];       //頂點表
    int arcs[max][max];      //鄰接矩陣        
    int vexnum, arcnum;    //圖當前點數和邊數

}AMGraph;
//利用迪傑斯特拉算法求最短路徑
void ShortestPath_DIJ(AMGraph &G, int v0)
{//使用迪傑斯特拉算法求有向網G中的V0 定點到其余頂點的最短路徑
    int n = G.vexnum;//頂點數
    for (int v = 0; v < n; v++)//n個頂點依次初始化
    {
        S[v] = false;//S初始化為空集
        D[v] = G.arcs[v0][v];//將v0到各個終點的最短路徑長度初始化為邊上的權值
        if (D[v] < MAX)
            Path[v] = v0;//如果v0和v之間有邊，則將v的前驅初始化為v0
        else
            Path[v] = -1;//如果v0和v之間無邊，則將v的前驅初始化為-1
    }
    S[v0] = true; //將v0加入s
    D[v0] = 0;//源點到源點的權值為0
    //---------初始化結束，開始主循環，每次求得v0到某個頂點的最短路徑，將v加到S數組
    for (int i = 1; i < n; i++)//依次對其余n-1個頂點進行計算
    {
        int    min = MAX;
        int v = v0;
        for (int w = 0; w < n; w++)
        {
            if (!S[w] && D[w] < min)
            {//選擇一條當前最短路徑，終點為v
                v = w;
                min = D[w];
            }
            S[v] = true;//將v加到s集合中
            for (int w = 0; w < n; w++)
            {//更新從v0出發到集合V-S上所有頂點的最短路徑長度
                if (!S[w] && (D[v] + G.arcs[v][w] < D[w]))
                {
                    D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];//更新D[w]
                    Path[w] = v;//更改w的前驅為v
                }
            }
        }
    }
}
//背景函數
void backGround()
{
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << "    |------------------------鐵大旅游景點圖-----------------|"     << endl;
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << "|           ⑦                                          單位：米  |" << endl;
    cout << "|           九教                                                  |" << endl;
    cout << "|            ◎                                      ⑧           |" << endl;
    cout << "|           ↗↖                                    九棟          |" << endl;
    cout << "|  ③  200╱    ╲                                   ◎           |" << endl;
    cout << "|  西   ↙        ╲ 150                            ↗ ↖         |" << endl;
    cout << "|  操 ◎            ╲       ①               160 ╱     ╲ 200   |" << endl;
    cout << "|  場  ↖150          ╲    信息          ⑥    ╱         ╲     |" << endl;
    cout << "|    ④  ↘    140      ↘  學院  200    基教 ↙     230     ↘   |" << endl;
    cout << "|   體育館 ◎-------------→◎←--------------→◎←--------------→◎ |" << endl;
    cout << "|            ↖         ↗ ↖              ↗ ↖             ↗② |" << endl;
    cout << "|          100 ╲     ╱     ╲ 125      ╱     ╲ 150     ╱  綜 |" << endl;
    cout << "|                ↘ ↙ 100     ╲      ╱135      ╲     ╱145 餐 |" << endl;
    cout << "|                  ◎            ↘  ↙             ↘ ↙        |" << endl;
    cout << "|             ⑨ 沁園              ◎                 ◎         |" << endl;
    cout << "|                             ⑩ 翠園          ⑤  春暉樓         |" << endl;
    cout << "|                                                               |" << endl;
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;

}
//主菜單
void menu()
{
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << "|----------------------------鐵大導游小程序-----------------------|" << endl;
    cout << "    |*********************************************************|" << endl;
    cout << "        |--------------------1-景點信息查詢--------------|" << endl;
    cout << "        |--------------------2-最短路徑查詢--------------|" << endl;
    cout << "        |--------------------3-顯示景點視圖--------------|" << endl;
    cout << "        |-------------------4-退出導游程序------ --------|" << endl;
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << ">>>請選擇：";
}
//景點信息查詢二級菜單
void jmenu()
{
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << "    |-------------------------景點信息查詢------------------------|" << endl;
    cout << "    |***********************************************************|" << endl;
    cout << "      |----------------------1-信息學院介紹-------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------2-綜合餐廳介紹-------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------3-西操場介紹---------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------4-體育館介紹---------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------5-春暉樓介紹---------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------6-基教介紹-----------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------7-九教介紹-----------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------8-九棟介紹-----------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------9-沁園介紹-----------------------| " << endl;
    cout << "      |---------------------10-翠園介紹-----------------------| " << endl;
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << ">>>請要查詢的景點編號：";
}
//最短路徑查詢二級菜單
void pmenu()
{
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << "    |-------------------------最短路徑查詢------------------------|" << endl;
    cout << "    |***********************************************************|" << endl;
    cout << "        |---------------------1-信息學院-------------------| " << endl;
    cout << "        | --------------------2-綜合餐廳-------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------3-西操場---------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------4-體育館---------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------5-春暉樓---------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------6-基教-----------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------7-九教-----------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------8-九棟-----------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------9-沁園-----------------------| " << endl;
    cout << "        |--------------------10-翠園-----------------------| " << endl;
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << ">>>請依次輸入起點編號和終點編號：";
}
void main()
{
     //初始化操作
    AMGraph amg = { { "信息學院","綜合餐廳","西操場","體育館","春暉樓",
                      "基教",    "九教",    "九棟",   "沁園", "翠園" },
        //-1代表兩邊不相連，權值無限大
        //鄰接矩陣   /* 信  綜  西  體  春  基  教  棟  沁  翠*/    
                     {{MAX,MAX,MAX,140,MAX,200,150,MAX,100,125 },
                      {MAX,MAX,MAX,MAX,145,230,MAX,100,MAX,MAX },
                      {MAX,MAX,MAX,150,MAX,MAX,200,MAX,MAX,MAX },
                      {140,MAX,150,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,100,MAX },
                      {MAX,145,MAX,MAX,MAX,150,MAX,MAX,MAX,MAX },
                      {200,230,MAX,MAX,150,MAX,MAX,160,MAX,135 },
                      {150,MAX,200,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX },
                      {MAX,200,MAX,MAX,MAX,160,MAX,MAX,MAX,MAX },
                      {100,MAX,MAX,100,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX },
                      {125,MAX,MAX,MAX,MAX,135,MAX,MAX,MAX,MAX }
                      },10,14};
    int f, ff;
    int start, end;
    while (true)
    {
        cout << endl;
        menu();
        cin >> f;
        if (f == 1)
        {
            jmenu();
            cin >> ff;
　　　　　　　//景點信息從文件中讀取
            ifstream outfile("schooltravel.txt", ios :: out | ios :: binary);
            if (!outfile)
            {
                cerr << "讀取景點介紹文件失敗！" << endl;
                exit(1);
            }
            string str[max];
            int i = 0;
            while (getline(outfile, str[i++]));
            cout << "|-----------------------景點介紹-------------------| " << endl;
            if (ff == 1)
                cout << str[0] << endl;
            else if (ff == 2)
                cout << str[1] << endl;
            else if (ff == 3)
                cout << str[2] << endl;
            else if(ff == 4)
                cout << str[3] << endl;
            else if (ff == 5)
                cout << str[4] << endl;
            else if (ff == 6)
                cout << str[5] << endl;
            else if (ff == 7)
                cout << str[6] << endl;
            else if (ff == 8)
                cout << str[7] << endl;
            else if (ff == 9)
                cout << str[8] << endl;
            else if (ff == 10)
                cout << str[9] << endl;
            cout << "|-------------------------------------------------|" << endl;
        }
        else if (f == 2)
        {
            pmenu();
            cin >> start >> end;
            ShortestPath_DIJ(amg, start - 1);
            int temp = end-1;
            int temp1, temp2;
            int flag[max], m = 0;
            cout << "從" << amg.vexs[start - 1] << "到" << amg.vexs[end - 1] << "最短路徑為：" ;
            while (temp!= -1)
            {
                flag[m++] = temp;
                temp1 = temp ;
                temp2 = Path[temp1];
                temp = temp2;
            }
            for (int i = m-1; i >= 0; i--)
            {
                cout <<amg.vexs[flag[i]] << "->";
            }
            cout << endl;
            cout << "最短路徑值為：" << D[end - 1] <<"米"<< endl;
        }
        else if (f == 3)
        {
            backGround();
        }
        else if (f == 4)
        {
            cout << ">>>退出成功！" << endl;
            exit(0);
        }
    }
}

 

　　（4）運行截圖：

　                               　

                                       

                                   

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