一、霍夫變換（Hough）
A-基本原理
一條直線可由兩個點A=(X1,Y1)和B=(X2,Y2)確定(笛卡爾坐標)
另一方面，
也可以寫成關於（k,q）的函數表達式（霍夫空間）：
對應的變換可以通過圖形直觀表示：
變換后的空間成為霍夫空間。即：笛卡爾坐標系中一條直線，對應霍夫空間的一個點。
反過來同樣成立（霍夫空間的一條直線，對應笛卡爾坐標系的一個點）：
再來看看A、B兩個點，對應霍夫空間的情形：
一步步來，再看一下三個點共線的情況：
可以看出如果笛卡爾坐標系的點共線，這些點在霍夫空間對應的直線交於一點：這也是必然，共線只有一種取值可能。
如果不止一條直線呢？再看看多個點的情況（有兩條直線）：
其實（3，2）與（4，1）也可以組成直線，只不過它有兩個點確定，而圖中A、B兩點是由三條直線匯成，這也是霍夫變換的后處理的基本方式：選擇由盡可能多直線匯成的點。
看看，霍夫空間：選擇由三條交匯直線確定的點（中間圖），對應的笛卡爾坐標系的直線（右圖）。
到這里問題似乎解決了，已經完成了霍夫變換的求解，但是如果像下圖這種情況呢？
k=∞是不方便表示的，而且q怎么取值呢，這樣不是辦法。因此考慮將笛卡爾坐標系換為：極坐標表示。
在極坐標系下，其實是一樣的：極坐標的點→霍夫空間的直線，只不過霍夫空間不再是[k,q]的參數，而是
的參數，給出對比圖：
是不是就一目了然了？
給出霍夫變換的算法步驟：
對應code:
1 function [ Hough, theta_range, rho_range ] = naiveHough(I) 2 %NAIVEHOUGH Peforms the Hough transform in a straightforward way. 3 %
4 [rows, cols] = size(I); 5
6 theta_maximum = 90; 7 rho_maximum = floor(sqrt(rows^2 + cols^2)) - 1; 8 theta_range = -theta_maximum:theta_maximum - 1; 9 rho_range = -rho_maximum:rho_maximum; 10
11 Hough = zeros(length(rho_range), length(theta_range)); 12 for row = 1:rows 13 for col = 1:cols 14 if I(row, col) > 0 %only find: pixel > 0
15 x = col - 1; 16 y = row - 1; 17 for theta = theta_range 18 rho = round((x * cosd(theta)) + (y * sind(theta))); %approximate 19 rho_index = rho + rho_maximum + 1; 20 theta_index = theta + theta_maximum + 1; 21 Hough(rho_index, theta_index) = Hough(rho_index, theta_index) + 1; 22 end 23 end 24 end 25 end
其實本質上就是：
交點怎么求解呢？細化成坐標形式，取整后將交點對應的坐標進行累加，最后找到數值最大的點就是求解的
，也就求解出了直線。
B-理論應用
這里給出MATLAB自帶的一個應用，主要是對一幅圖像進行直線檢驗，原圖像為：
首先是對其進行邊緣檢測：
邊緣檢測后並二值化，就可以通過找非零點的坐標確定數據點。從而對數據點進行霍夫變換。對應映射到霍夫空間的結果為：
找出其中數值較大的一些點，通常可以給定一個閾值，Threshold一下。
這就完成了霍夫變換的整個過程。這個時候求解出來了其實就是多條直線的斜率k以及截距q，通常會根據直線的特性進一步判斷，從而將直線變為線段：
不過這一步更類似后處理，其實已經不是霍夫變換本身的特性了。
給出對應的代碼：
1 clc;clear all;close all; 2 I = imread('circuit.tif'); 3 rotI = imrotate(I,40,'crop'); 4 subplot 221
5 fig1 = imshow(rotI); 6 BW = edge(rotI,'canny'); 7 title('原圖像'); 8 subplot 222
9 imshow(BW); 10 [H,theta,rho] = hough(BW); 11 title('圖像邊緣檢測'); 12 subplot 223
13 imshow(imadjust(mat2gray(H)),[],'XData',theta,'YData',rho,... 14 'InitialMagnification','fit'); 15 xlabel('\theta (degrees)'), ylabel('\rho'); 16 axis on, axis normal, hold on; 17 colormap(hot) 18 P = houghpeaks(H,5,'threshold',ceil(0.7*max(H(:)))); 19 x = theta(P(:,2)); 20 y = rho(P(:,1)); 21 plot(x,y,'s','color','black'); 22 lines = houghlines(BW,theta,rho,P,'FillGap',5,'MinLength',7); 23 title('Hough空間'); 24 subplot 224, imshow(rotI), hold on 25 max_len = 0; 26 for k = 1:length(lines) 27 xy = [lines(k).point1; lines(k).point2]; 28 plot(xy(:,1),xy(:,2),'LineWidth',2,'Color','green'); 29
30 % Plot beginnings and ends of lines 31 plot(xy(1,1),xy(1,2),'x','LineWidth',2,'Color','yellow'); 32 plot(xy(2,1),xy(2,2),'x','LineWidth',2,'Color','red'); 33
34 % Determine the endpoints of the longest line segment 35 len = norm(lines(k).point1 - lines(k).point2); 36 if ( len > max_len) 37 max_len = len; 38 xy_long = xy; 39 end 40 end 41
42 % highlight the longest line segment 43 plot(xy_long(:,1),xy_long(:,2),'LineWidth',2,'Color','red'); 44 title('直線檢測');
對比自帶的Hough與編寫的Hough:
效果還是比較接近的。
看到Stackoverflow上的一個答案，覺得很好，收藏一下：
