作者：桂。
時間：2017-04-24 12:18:17
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前言
今天群里有人問到一個圖像的問題，但本質上是一個基本最小二乘問題，涉及到霍夫變換（Hough Transform），用到了就順便總結一下。
內容為自己的學習記錄，其中多有參考他人，最后一並給出鏈接。
一、霍夫變換（Hough）
A-基本原理
一條直線可由兩個點A=(X1,Y1)和B=(X2,Y2)確定(笛卡爾坐標)
另一方面，
也可以寫成關於（k,q）的函數表達式（霍夫空間）：
對應的變換可以通過圖形直觀表示：
變換后的空間成為霍夫空間。即：笛卡爾坐標系中一條直線，對應霍夫空間的一個點。
反過來同樣成立（霍夫空間的一條直線，對應笛卡爾坐標系的一個點）：
再來看看A、B兩個點，對應霍夫空間的情形：
一步步來，再看一下三個點共線的情況：
可以看出如果笛卡爾坐標系的點共線，這些點在霍夫空間對應的直線交於一點：這也是必然，共線只有一種取值可能。
如果不止一條直線呢？再看看多個點的情況（有兩條直線）：
其實（3，2）與（4，1）也可以組成直線，只不過它有兩個點確定，而圖中A、B兩點是由三條直線匯成，這也是霍夫變換的后處理的基本方式：選擇由盡可能多直線匯成的點。
看看，霍夫空間：選擇由三條交匯直線確定的點（中間圖），對應的笛卡爾坐標系的直線（右圖）。
到這里問題似乎解決了，已經完成了霍夫變換的求解，但是如果像下圖這種情況呢？
k=∞是不方便表示的，而且q怎么取值呢，這樣不是辦法。因此考慮將笛卡爾坐標系換為：極坐標表示。
在極坐標系下，其實是一樣的：極坐標的點→霍夫空間的直線，只不過霍夫空間不再是[k,q]的參數，而是
的參數，給出對比圖：
是不是就一目了然了？
給出霍夫變換的算法步驟：
對應code:
function [ Hough, theta_range, rho_range ] = naiveHough(I)
%NAIVEHOUGH Peforms the Hough transform in a straightforward way.
%
[rows, cols] = size(I);
theta_maximum = 90;
rho_maximum = floor(sqrt(rows^2 + cols^2)) - 1;
theta_range = -theta_maximum:theta_maximum - 1;
rho_range = -rho_maximum:rho_maximum;
Hough = zeros(length(rho_range), length(theta_range));
for row = 1:rows
for col = 1:cols
if I(row, col) > 0 %only find: pixel > 0
x = col - 1;
y = row - 1;
for theta = theta_range
rho = round((x * cosd(theta)) + (y * sind(theta))); %approximate
rho_index = rho + rho_maximum + 1;
theta_index = theta + theta_maximum + 1;
Hough(rho_index, theta_index) = Hough(rho_index, theta_index) + 1;
end
end
end
end
其實本質上就是：
交點怎么求解呢？細化成坐標形式，取整后將交點對應的坐標進行累加，最后找到數值最大的點就是求解的，也就求解出了直線。
B-理論應用
這里給出MATLAB自帶的一個應用，主要是對一幅圖像進行直線檢驗，原圖像為：
首先是對其進行邊緣檢測：
邊緣檢測后並二值化，就可以通過找非零點的坐標確定數據點。從而對數據點進行霍夫變換。對應映射到霍夫空間的結果為：
找出其中數值較大的一些點，通常可以給定一個閾值，Threshold一下。
這就完成了霍夫變換的整個過程。這個時候求解出來了其實就是多條直線的斜率k以及截距q，通常會根據直線的特性進一步判斷，從而將直線變為線段：
不過這一步更類似后處理，其實已經不是霍夫變換本身的特性了。
給出對應的代碼：
clc;clear all;close all;
I = imread('circuit.tif');
rotI = imrotate(I,40,'crop');
subplot 221
fig1 = imshow(rotI);
BW = edge(rotI,'canny');
title('原圖像');
subplot 222
imshow(BW);
[H,theta,rho] = hough(BW);
title('圖像邊緣檢測');
subplot 223
imshow(imadjust(mat2gray(H)),[],'XData',theta,'YData',rho,...
'InitialMagnification','fit');
xlabel('\theta (degrees)'), ylabel('\rho');
axis on, axis normal, hold on;
colormap(hot)
P = houghpeaks(H,5,'threshold',ceil(0.7*max(H(:))));
x = theta(P(:,2));
y = rho(P(:,1));
plot(x,y,'s','color','black');
lines = houghlines(BW,theta,rho,P,'FillGap',5,'MinLength',7);
title('Hough空間');
subplot 224, imshow(rotI), hold on
max_len = 0;
for k = 1:length(lines)
xy = [lines(k).point1; lines(k).point2];
plot(xy(:,1),xy(:,2),'LineWidth',2,'Color','green');
% Plot beginnings and ends of lines
plot(xy(1,1),xy(1,2),'x','LineWidth',2,'Color','yellow');
plot(xy(2,1),xy(2,2),'x','LineWidth',2,'Color','red');
% Determine the endpoints of the longest line segment
len = norm(lines(k).point1 - lines(k).point2);
if ( len > max_len)
max_len = len;
xy_long = xy;
end
end
% highlight the longest line segment
plot(xy_long(:,1),xy_long(:,2),'LineWidth',2,'Color','red');
title('直線檢測');
對比自帶的Hough與編寫的Hough:
效果還是比較接近的。
看到Stackoverflow上的一個答案，覺得很好，收藏一下：
參考：